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Funktionsbegriffe · Erklären & üben

Wertebereich

Der Wertebereich enthält genau die Funktionswerte, die eine Funktion bei den erlaubten Eingaben tatsächlich annimmt. Er heißt auch Wertemenge. Ohne den Definitionsbereich ist diese Frage nicht vollständig bestimmt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erlaubte Eingaben und erreichte Ausgaben

Der Definitionsbereich D enthält die Eingaben x. Der Wertebereich lautet Wf={f(x)∣x∈D}\mathsf{W_f=\{f(x)\mid x\in D\}}. Er enthält die erreichten y-Werte, jeden nur einmal.

Eine vorgegebene Zielmenge kann größer als W sein. Wenn etwa eine Funktion reelle Werte liefern soll, bedeutet das nicht, dass sie jede reelle Zahl tatsächlich erreicht.

So geht es am Beispiel

Gegeben ist f(x) = x² mit D = {−2; −1; 0; 1; 2}.

f(−2)=4\mathsf{f(-2)=4}
f(−1)=1\mathsf{f(-1)=1}
f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
f(1)=1\mathsf{f(1)=1}
f(2)=4\mathsf{f(2)=4}

Doppelte Ausgaben werden in einer Menge nur einmal notiert.

Ergebnis

Wf={0;1;4}\mathsf{W_f=\{0;1;4\}}

Erklärung 02

Der Definitionsbereich verändert die Antwort

Für f(x) = x² auf ℝ gilt x² ≥ 0, und jeder nichtnegative Wert y wird durch x = √y erreicht. Deshalb ist Wf=[0;∞)\mathsf{W_f=[0;\infty)}.

Beschränken wir dieselbe Funktion auf [1; 3], werden nur die Werte von 1 bis 9 erreicht. Wegen der Stetigkeit und des strengen Steigens auf diesem Intervall gibt es dazwischen keine Lücken.

Parabelabschnitt auf dem geschlossenen Intervall von minus 1 bis 2; die erreichten y-Werte reichen von 0 bis 4.

So geht es am Beispiel

Bestimme W für f(x) = x² auf D = [−1; 2].

Das kleinste Quadrat ist 0; x = 0 liegt im Definitionsbereich.

Für alle x aus D ist |x| ≤ 2, also x² ≤ 4. Der Wert 4 wird bei x = 2 erreicht.

Bereits x von 0 bis 2 liefert stetig alle Werte von 0 bis 4.

Ergebnis

Wf=[0;4]\mathsf{W_f=[0;4]}

Erklärung 03

Offene und geschlossene Ränder

Eine eckige Klammer bedeutet: Der Randwert gehört dazu. Eine runde Klammer bedeutet: Er gehört nicht dazu. Bei ±∞ steht immer eine runde Klammer, da Unendlich keine angenommene reelle Zahl ist.

Entscheidend ist, ob der y-Wert irgendwo erreicht wird. Ein ausgeschlossener x-Rand muss nicht zu einem ausgeschlossenen y-Rand führen, wenn ein anderer zulässiger x-Wert dieselbe Ausgabe liefert.

Geradenabschnitt mit offenem Punkt (0 | 1) und eingeschlossenem Punkt (3 | 7); Wertebereich (1; 7].

So geht es am Beispiel

Bestimme W für f(x) = 2x+1 auf D = (0; 3].

Die Funktion steigt streng. Für x > 0 gilt 2x+1 > 1; der Wert 1 wird nicht erreicht.

f(3)=7\mathsf{f(3)=7} — der obere Rand wird erreicht.

Alle Werte zwischen 1 und 7 werden angenommen.

Ergebnis

Wf=(1;7]\mathsf{W_f=(1;7]}

Erklärung 04

Verschobene Parabeln und Wurzeln

Bei f(x) = (x−2)²−3 auf ℝ ist der quadratische Teil immer nichtnegativ. Das Minimum −3 wird bei x = 2 erreicht. Alle größeren Werte sind möglich.

Bei g(x) = √x mit D = [0; ∞) ist jede Ausgabe nichtnegativ. Für jedes y ≥ 0 liefert x = y² genau diese Ausgabe.

So geht es am Beispiel

Bestimme W für f(x) = (x−2)²−3 auf ℝ.

(x−2)2≥0\mathsf{(x-2)^2\ge0}
f(x)≥−3\mathsf{f(x)\ge-3}
f(2)=−3\mathsf{f(2)=-3}

Für jedes y ≥ −3 ist x = 2 + √(y+3) eine zulässige Eingabe.

Ergebnis

Wf=[−3;∞)\mathsf{W_f=[-3;\infty)}

Erklärung 05

Ausgeschlossene Werte begründen

Für h(x) = 1/x mit D = ℝ ohne 0 ist die Ausgabe 0 unmöglich: Ein Bruch mit Zähler 1 kann nicht 0 sein. Jede andere Ausgabe y wird durch x = 1/y erreicht.

Eine endliche Wertetabelle zeigt nur ausgewählte Ausgaben. Sie beweist bei einem unendlichen Definitionsbereich nicht, dass es keine weiteren Werte gibt. Auch ein Graphenausschnitt zeigt möglicherweise nicht den ganzen Wertebereich.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Wertebereich · EinstiegBestimme W für f(x) = 2x−1 mit D = {−1; 0; 2}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=−3\mathsf{f(-1)=-3}
      f(0)=−1\mathsf{f(0)=-1}
      f(2)=3\mathsf{f(2)=3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf={−3;−1;3}\mathsf{W_f=\{-3;-1;3\}}
  2. Aufgabe 2Wertebereich · EinstiegBestimme und begründe W für f(x) = x²+2 auf ℝ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x2≥0\mathsf{x^2\ge0}
      f(x)≥2\mathsf{f(x)\ge2}
      f(0)=2\mathsf{f(0)=2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jeder Wert y ≥ 2 wird bei x = √(y−2) erreicht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=[2;∞)\mathsf{W_f=[2;\infty)}
  3. Aufgabe 3Wertebereich · StandardBestimme W für f(x) = −x²+4 auf D = [−2; 1].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Im Intervall gilt 0 ≤ x² ≤ 4.

      0≤−x2+4≤4\mathsf{0\le -x^2+4\le4}
      f(−2)=0\mathsf{f(-2)=0}
      f(0)=4\mathsf{f(0)=4}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Auf [−2; 0] werden stetig alle Zwischenwerte erreicht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=[0;4]\mathsf{W_f=[0;4]}
  4. Aufgabe 4Wertebereich · StandardBestimme W für f(x) = 3x−2 auf D = (1; 4).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Funktion steigt streng.

      3⋅1−2=1\mathsf{3\cdot1-2=1}
      3⋅4−2=10\mathsf{3\cdot4-2=10}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Randstellen sind ausgeschlossen; die Randwerte werden sonst nirgends erreicht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=(1;10)\mathsf{W_f=(1;10)}
  5. Aufgabe 5Wertebereich · StandardBestimme W für f(x) = x² auf D = (−2; 2]. Erkläre, ob 4 dazugehört.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      0 wird bei x = 0 erreicht.

      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Obwohl −2 ausgeschlossen ist, ist 2 erlaubt. Alle Werte zwischen 0 und 4 treten auf.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=[0;4]\mathsf{W_f=[0;4]}
  6. Aufgabe 6Wertebereich · StandardBestimme W für f(x) = √x auf D = [0; 9).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Wurzel steigt streng und liefert nichtnegative Werte.

      f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Für x < 9 ist √x < 3. Jeder Wert y mit 0 ≤ y < 3 entsteht bei x = y².

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=[0;3)\mathsf{W_f=[0;3)}
  7. Aufgabe 7Wertebereich · StandardBestimme W für f(x) = 1/x auf D = (0; ∞).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle Ausgaben sind positiv.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Für jedes y > 0 ist x = 1/y positiv und liefert f(x) = y. Der Wert 0 wird nicht erreicht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=(0;∞)\mathsf{W_f=(0;\infty)}
  8. Aufgabe 8Wertebereich · VertiefungEine Tabelle zu x² auf ℝ enthält nur die Eingaben −1, 0 und 1. Eine Person nennt {0; 1} als Wertebereich. Korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Tabelle enthält nur eine Auswahl der erlaubten Eingaben.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      f(2)=4\mathsf{f(2)=4} — bereits ein fehlender Wert.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Alle nichtnegativen Werte sind erreichbar.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf=[0;∞)\mathsf{W_f=[0;\infty)}
  9. Aufgabe 9Wertebereich · VertiefungBestimme W für f(x) = 5 auf D = [−10; 10].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede erlaubte Eingabe hat dieselbe Ausgabe 5. Andere Ausgaben entstehen nicht.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWf={5}\mathsf{W_f=\{5\}}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich nenne zuerst den Definitionsbereich.
  • Ich begründe sowohl ausgeschlossene als auch erreichte Werte.
  • Ich prüfe die Zugehörigkeit jedes endlichen Randwerts.

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