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Mit Winkeln rechnen · Erklären & üben

Winkel berechnen

Beim Berechnen eines Winkels wählst du eine Beziehung, die zu den gegebenen Größen passt. Bekannte Winkel führen oft über Winkelsummen zum Ziel; bekannte Seiten können im rechtwinkligen Dreieck trigonometrische Funktionen erfordern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bekannte Winkel ergänzen

Die Innenwinkel eines ebenen Dreiecks ergeben zusammen 180∘\mathsf{180^\circ}, die eines einfachen Vierecks 360∘\mathsf{360^\circ}. Addiere die bekannten Innenwinkel und ziehe ihre Summe von der passenden Gesamtsumme ab. Achte darauf, keine Außenwinkel versehentlich als Innenwinkel einzusetzen.

  1. Erkenne die Figur und die bekannten Innenwinkel.

  2. Subtrahiere deren Summe von der Innenwinkelsumme.

γ=180∘−α−β\mathsf{\gamma=180^\circ-\alpha-\beta}

Fehlenden Innenwinkel ergänzen

So geht es am Beispiel

Ein Dreieck besitzt α=48∘\mathsf{\alpha=48^\circ} und β=67∘\mathsf{\beta=67^\circ}. Berechne γ\mathsf{\gamma}.

γ=180∘−48∘−67∘=65∘\mathsf{\gamma=180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ}

Ergebnis

γ=65∘\mathsf{\gamma=65^\circ}

So geht es am Beispiel

Ein einfaches Viereck besitzt die Innenwinkel 85∘\mathsf{85^\circ}, 95∘\mathsf{95^\circ} und 110∘\mathsf{110^\circ}. Berechne den vierten.

δ=360∘−(85∘+95∘+110∘)=70∘\mathsf{\delta=360^\circ-(85^\circ+95^\circ+110^\circ)=70^\circ}

Ergebnis

δ=70∘\mathsf{\delta=70^\circ}

Erklärung 02

Zwei spitze Winkel ergänzen sich

Im rechtwinkligen Dreieck ist bereits ein Winkel 90∘\mathsf{90^\circ} groß. Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen 90∘\mathsf{90^\circ}. Die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Gegenkathete und Ankathete werden immer bezogen auf den betrachteten spitzen Winkel benannt.

  1. Finde den rechten Winkel.

  2. Ziehe den bekannten spitzen Winkel von 90 Grad ab.

α+β=90∘\mathsf{\alpha+\beta=90^\circ}

Seitenbezeichnungen beziehen sich auf α

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat α=32∘\mathsf{\alpha=32^\circ}. Berechne den zweiten spitzen Winkel.

β=90∘−32∘=58∘\mathsf{\beta=90^\circ-32^\circ=58^\circ}

Ergebnis

β=58∘\mathsf{\beta=58^\circ}

Erklärung 03

Winkel aus Seitenlängen bestimmen

Diese Weiterführung setzt Sinus, Kosinus und Tangens voraus. Sinus verwendet Gegenkathete und Hypotenuse, Kosinus Ankathete und Hypotenuse, Tangens beide Katheten. Wähle die passende Umkehrfunktion auf dem Taschenrechner und stelle für Gradwerte den Modus DEG ein. Die Taste für den Arkussinus ist keine Kehrwertbildung. Runde erst das Endergebnis.

  1. Ordne die bekannten Seiten zum gesuchten Winkel zu.

  2. Bilde das passende Verhältnis.

  3. Verwende arcsin, arccos oder arctan im Gradmodus.

α=arcsin⁡GH=arccos⁡KH=arctan⁡GK\mathsf{\alpha=\arcsin\frac{G}{H}=\arccos\frac{K}{H}=\arctan\frac{G}{K}}

So geht es am Beispiel

Zum Winkel α\mathsf{\alpha} gehören Gegenkathete 3 cm\mathsf{3\,\mathsf{cm}}, Ankathete 4 cm\mathsf{4\,\mathsf{cm}} und Hypotenuse 5 cm\mathsf{5\,\mathsf{cm}}. Berechne α\mathsf{\alpha}.

α=arcsin⁡(3/5)≈36,87∘\mathsf{\alpha=\arcsin(3/5)\approx36{,}87^\circ}
arccos⁡(4/5)≈36,87∘\mathsf{\arccos(4/5)\approx36{,}87^\circ}
arctan⁡(3/4)≈36,87∘\mathsf{\arctan(3/4)\approx36{,}87^\circ}

Ergebnis

α≈36,87∘\mathsf{\alpha\approx36{,}87^\circ}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Winkel berechnen · basisEin Dreieck hat Winkel 54∘\mathsf{54^\circ} und 71∘\mathsf{71^\circ}. Berechne den dritten Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−54∘−71∘=55∘\mathsf{180^\circ-54^\circ-71^\circ=55^\circ}

    Ergebnis

    1. Dritter Winkel55∘\mathsf{55^\circ}
  2. Aufgabe 2Winkel berechnen · standardEin einfaches Viereck besitzt Innenwinkel 80∘\mathsf{80^\circ}, 100∘\mathsf{100^\circ} und 95∘\mathsf{95^\circ}. Berechne den vierten Innenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      360∘−(80∘+100∘+95∘)=85∘\mathsf{360^\circ-(80^\circ+100^\circ+95^\circ)=85^\circ}

    Ergebnis

    1. Vierter Winkel85∘\mathsf{85^\circ}
  3. Aufgabe 3Winkel berechnen · standardIn einem rechtwinkligen Dreieck misst ein spitzer Winkel 27∘\mathsf{27^\circ}. Berechne den anderen spitzen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      90∘−27∘=63∘\mathsf{90^\circ-27^\circ=63^\circ}

    Ergebnis

    1. Anderer spitzer Winkel63∘\mathsf{63^\circ}
  4. Aufgabe 4Winkel berechnen · standardVerbinde die Rasterpunkte A(1∣1)\mathsf{A(1|1)}, B(5∣1)\mathsf{B(5|1)} und C(5∣4)\mathsf{C(5|4)}. Markiere den rechten Winkel und den Winkel α\mathsf{\alpha} bei A\mathsf{A}. Beschrifte die Seiten bezogen auf α\mathsf{\alpha} mit Gegenkathete G, Ankathete K und Hypotenuse H.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beschriftetes Dreieck

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      AB ist waagerecht, BC senkrecht; der rechte Winkel liegt bei B.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Bezogen auf A ist BC die Gegenkathete, AB die Ankathete und AC die Hypotenuse.

    Ergebnis

    1. Beschriftetes DreieckRechter Winkel bei B\mathsf{B}; α\mathsf{\alpha} bei A\mathsf{A}; BC=G\mathsf{BC=G}, AB=K\mathsf{AB=K}, AC=H\mathsf{AC=H}.
  5. Aufgabe 5Winkel berechnen · transferIm rechtwinkligen Dreieck sind zum gesuchten Winkel α\mathsf{\alpha} die Gegenkathete 6 cm\mathsf{6\,\mathsf{cm}} und die Hypotenuse 10 cm\mathsf{10\,\mathsf{cm}} bekannt. Berechne α\mathsf{\alpha} auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡α=6/10=0,6\mathsf{\sin\alpha=6/10=0{,}6}
      α=arcsin⁡(0,6)≈36,87∘\mathsf{\alpha=\arcsin(0{,}6)\approx36{,}87^\circ}

    Ergebnis

    1. Winkel36,87∘\mathsf{36{,}87^\circ}
  6. Aufgabe 6Winkel berechnen · transferDie Ankathete zu α\mathsf{\alpha} misst 12 cm\mathsf{12\,\mathsf{cm}}, die Hypotenuse 13 cm\mathsf{13\,\mathsf{cm}}. Berechne α\mathsf{\alpha} auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      cos⁡α=12/13\mathsf{\cos\alpha=12/13}
      α=arccos⁡(12/13)≈22,62∘\mathsf{\alpha=\arccos(12/13)\approx22{,}62^\circ}

    Ergebnis

    1. Winkel22,62∘\mathsf{22{,}62^\circ}
  7. Aufgabe 7Winkel berechnen · transferDie beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind jeweils 7 cm\mathsf{7\,\mathsf{cm}} lang. Berechne einen spitzen Winkel mit dem Tangens.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      tan⁡α=7/7=1\mathsf{\tan\alpha=7/7=1}
      α=arctan⁡(1)=45∘\mathsf{\alpha=\arctan(1)=45^\circ}

    Ergebnis

    1. Spitzer Winkel45∘\mathsf{45^\circ}
  8. Aufgabe 8Winkel berechnen · transferJemand berechnet für einen spitzen Winkel sin⁡α=1,2\mathsf{\sin\alpha=1{,}2}. Kann das zu einem rechtwinkligen Dreieck passen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse muss daher zwischen null und eins liegen.

    Ergebnis

    1. BeurteilungNein. Die Seitenzuordnung oder die Daten sind fehlerhaft; 1,2 ist hier kein möglicher Sinuswert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne Scheitel und den gemeinten Winkelbereich.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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