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Winkelarten · Erklären & üben

Winkelarten

Winkelarten ordnen einen Winkel nach seiner Größe ein. Die Lage oder Länge der Schenkel ändert die Winkelart nicht; entscheidend ist der markierte Winkelbereich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Winkel benennen

Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden einen Winkel. Der Anfangspunkt heißt Scheitel, die Strahlen heißen Schenkel. Ein Bogen zeigt, welcher Winkelbereich gemeint ist. Winkel heißen etwa α oder β. Bei der Bezeichnung ABC ist immer B der Scheitel.

  1. Lies zuerst den markierten Winkelbereich.

  2. Bei drei Buchstaben steht der Scheitel in der Mitte.

∠ABC\mathsf{\angle ABC} hat den Scheitel B.

So geht es am Beispiel

Was bezeichnet ∠PQR\mathsf{\angle PQR}?

Q ist der mittlere Buchstabe.

Die Schenkel beginnen in Q und verlaufen durch P beziehungsweise R.

Ergebnis

Der Scheitel ist Q.

Erklärung 02

Die Grenzen gehören dazu

Nullwinkel: 0°.

Spitzer Winkel: größer als 0° und kleiner als 90°.

Rechter Winkel: genau 90°.

Stumpfer Winkel: größer als 90° und kleiner als 180°.

Gestreckter Winkel: genau 180°.

  1. Vergleiche zuerst mit 0°, 90° und 180°.

  2. Ein Grenzwert gehört zu seiner eigenen Winkelart.

0∘<α<90∘\mathsf{0^\circ<\alpha<90^\circ} ist spitz; 90∘<α<180∘\mathsf{90^\circ<\alpha<180^\circ} ist stumpf.

Schenkel SA und SB bilden den markierten spitzen Winkel von 38 Grad.
Schenkel SA und SB bilden den stumpfen Winkel von 147 Grad.

So geht es am Beispiel

Ordne 38° und 147° ein.

38° liegt zwischen 0° und 90°.

147° liegt zwischen 90° und 180°.

Ergebnis

38° ist spitz; 147° ist stumpf.

Erklärung 03

Mehr als eine halbe Drehung

Ein überstumpfer Winkel ist größer als 180° und kleiner als 360°. Ein Vollwinkel beträgt genau 360°. Bei Nullwinkel und Vollwinkel liegen die Schenkel aufeinander: Der markierte Drehweg unterscheidet keine Drehung von einer vollständigen Drehung.

  1. Bestimme den Drehweg, nicht nur die Endlage.

  2. Großer und kleiner Winkel zwischen denselben Schenkeln ergänzen sich zu 360°.

180∘<α<360∘\mathsf{180^\circ<\alpha<360^\circ} ist überstumpf.

Der gegen den Uhrzeigersinn markierte große Winkel beträgt 285 Grad; der übrige kleine Winkel beträgt 75 Grad.

So geht es am Beispiel

Der kleine Winkel zwischen zwei Schenkeln beträgt 75°. Wie groß ist der andere Winkel?

360∘−75∘=285∘\mathsf{360^\circ-75^\circ=285^\circ}

Ergebnis

285°; der andere Winkel ist überstumpf.

Erklärung 04

Winkelgröße und Winkelbeziehung

Scheitel-, Neben-, Stufen- und Wechselwinkel beschreiben Paare, keine Größenklasse. An einer Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel gleich groß; Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Stufen- und Wechselwinkel sind bei parallelen Geraden gleich groß.

  1. Unterscheide die Frage „Wie groß?“ von „Welche Lage zueinander?“.

Ein Winkel kann zugleich spitz und Teil eines Scheitelwinkelpaars sein.

Erklärung 05

Winkel berechnen

Die Größenklasse hilft dir, ein Ergebnis auf Plausibilität zu prüfen. Eine Rechnung benötigt zusätzlich eine begründete Beziehung, etwa die Nebenwinkelsumme.

  1. Weiterlernen: Scheitelwinkel und Nebenwinkel für Rechnungen an einer Kreuzung.

  2. Weiterlernen: Stufenwinkel und Wechselwinkel für parallele Doppelkreuzungen.

Aus einer groben Skizze allein folgt kein exakter Winkelwert.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Winkelarten · AnwendenWelche Winkelart hat ein Winkel von genau 90°? Begründe die Abgrenzung zum spitzen Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein spitzer Winkel ist strikt kleiner als 90°.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Grenzwert 90° ist ein rechter Winkel.

    Ergebnis

    1. Winkelart und AbgrenzungRechter Winkel; 90° gehört nicht zu den spitzen Winkeln.
  2. Aufgabe 2Winkelarten · AnwendenOrdne einen Winkel von 147° einer Winkelart zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      90∘<147∘<180∘\mathsf{90^\circ<147^\circ<180^\circ}

    Ergebnis

    1. WinkelartStumpfer Winkel
  3. Aufgabe 3Winkelarten · AnwendenDer kleine Winkel zwischen zwei Schenkeln beträgt 75°. Berechne den großen Winkel und nenne seine Art.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      360∘−75∘=285∘\mathsf{360^\circ-75^\circ=285^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      285° liegt zwischen 180° und 360°.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Großer Winkel285∘\mathsf{285^\circ}
    2. WinkelartÜberstumpfer Winkel
  4. Aufgabe 4Winkelarten · AnwendenZeichne von SA aus gegen den Uhrzeigersinn einen Winkel von 60°. Beschrifte den zweiten Schenkel mit B und markiere den Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Winkel von 60°

    Leere Zeichenvorlage: Scheitel S und erster Schenkel durch A.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Lege den Nullpunkt des Geodreiecks auf S und seine Grundlinie auf SA.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Markiere auf der passenden Skala 60° oberhalb von SA.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Zeichne den Strahl von S durch die Markierung und beschrifte B.

    Ergebnis

    1. Winkel von 60°SB verläuft von S aus unter 60° gegen den Uhrzeigersinn zu SA.
  5. Aufgabe 5Winkelarten · AnwendenZwei Schenkel liegen nach einer Drehung wieder aufeinander. Woran unterscheidest du Nullwinkel und Vollwinkel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Endlage der Schenkel allein genügt nicht.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Keine Drehung entspricht 0°; eine volle Umdrehung entspricht 360°.

    Ergebnis

    1. Entscheidendes MerkmalDer Drehweg: 0° ohne Drehung, 360° nach einer vollständigen Drehung.
  6. Aufgabe 6Winkelarten · AnwendenEin Winkel von 38° und sein Nebenwinkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Berechne den Nebenwinkel und nenne seine Art.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−38∘=142∘\mathsf{180^\circ-38^\circ=142^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      142° liegt zwischen 90° und 180°.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Nebenwinkel142∘\mathsf{142^\circ}
    2. WinkelartStumpfer Winkel

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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