Winkel verstehen · Erklären & üben

Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende ist der vom Scheitel ausgehende Strahl, der den betrachteten Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Sie halbiert die Öffnung, nicht die gezeichneten Schenkellängen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zwei gleiche Winkelteile

Die Halbierende beginnt im Scheitel und liegt bei einem Winkel unter 180 Grad im Inneren seiner Öffnung. Jeder Teilwinkel ist halb so groß wie der ursprüngliche Winkel. Unterschiedlich lange gezeichnete Schenkel ändern daran nichts.

Bestimme den gesamten Winkel.
Teile seine Gradzahl durch zwei.

$\mathsf{\alpha_1=\alpha_2=\frac\alpha2}$

Die Winkelhalbierende teilt 86° in zwei gleiche Teile

So geht es am Beispiel

Ein Winkel misst $\mathsf{86^\circ}$ . Wie groß sind die beiden Teilwinkel an seiner Halbierenden?

\mathsf{86^\circ:2=43^\circ}

Erklärung 02

Mit Zirkel und Lineal konstruieren

Ein Kreisbogen um $\mathsf{S}$ schneidet die beiden Schenkel in $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ . Schlage um $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ mit gleichem Radius zwei Bögen, die sich im Winkelinneren in $\mathsf{P}$ schneiden. Wähle den Radius groß genug für einen Schnittpunkt. Der Strahl $\mathsf{SP}$ halbiert den Winkel: Die Dreiecke $\mathsf{SAP}$ und $\mathsf{SBP}$ haben drei übereinstimmende Seitenlängen und sind daher kongruent.

Zeichne einen Bogen um S, der beide Schenkel trifft.
Zeichne gleich große Bögen um A und B mit innerem Schnittpunkt P.
Ziehe den Strahl von S durch P; lass die Konstruktionsbögen sichtbar.

$\mathsf{SA=SB,\qquad AP=BP,\qquad SP=SP}$

Gleiche Radien liefern die Winkelhalbierende

So geht es am Beispiel

Konstruiere gedanklich die Halbierende eines $\mathsf{60^\circ}$ -Winkels. Warum sind die beiden Teilwinkel gleich?

Der erste Bogen liefert SA=SB.

Die beiden gleichen Zirkelradien liefern AP=BP; SP ist gemeinsam.

Kongruenz nach SSS liefert gleiche Winkel bei S.

Erklärung 03

Mit dem Geodreieck einzeichnen

Miss den Winkel, halbiere seinen Gradwert und trage den halben Wert vom Ausgangsschenkel aus ab. Verbinde die Markierung mit dem Scheitel. Diese Messmethode ist praktisch; eine Zirkelkonstruktion verwendet dagegen gleiche Abstände und braucht keinen gemessenen Gradwert.

Miss den gesamten Winkel mit der passenden Skala.
Halbiere den Messwert.
Markiere diesen Wert und ziehe den Strahl durch den Scheitel.

$\mathsf{134^\circ:2=67^\circ}$

So geht es am Beispiel

Ein Winkel misst $\mathsf{134^\circ}$ . Welchen Wert markierst du für seine Halbierende?

\mathsf{134^\circ/2=67^\circ}

Von einem Ausgangsschenkel aus werden 67 Grad im Winkelinneren abgetragen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Winkelhalbierende · basisEin Winkel misst $\mathsf{74^\circ}$ . Berechne beide Teilwinkel an seiner Halbierenden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Teilwinkel
Zweiter Teilwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{74^\circ:2=37^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Teilwinkel $\mathsf{37^\circ}$
2. Zweiter Teilwinkel $\mathsf{37^\circ}$
02
Aufgabe 2Winkelhalbierende · standardEin Teilwinkel zwischen einem Schenkel und der Winkelhalbierenden misst $\mathsf{28^\circ}$ . Bestimme den gesamten Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamter Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot28^\circ=56^\circ}$
Ergebnis
1. Gesamter Winkel $\mathsf{56^\circ}$
03
Aufgabe 3Winkelhalbierende · standardBei der Zirkelkonstruktion werden die Bögen um A und B mit unterschiedlichen Radien gezeichnet. Ist der gefundene Strahl sicher die Winkelhalbierende? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die gleiche Entfernung AP=BP ist dann nicht gesichert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Kongruenzbeweis nach SSS funktioniert damit nicht.
Ergebnis
1. BegründungNein. Beide Bögen müssen denselben Radius haben, damit AP und BP gleich lang sind.
04
Aufgabe 4Winkelhalbierende · standardKonstruiere mit Zirkel und Lineal die Halbierende des vorgegebenen Winkels. Lass die Hilfsbögen sichtbar und beschrifte die Schenkelschnittpunkte A und B sowie den inneren Bogenschnittpunkt P.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schlage einen gemeinsamen Bogen um S durch beide Schenkel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Schlage um A und B gleich große Bögen; wähle den Schnittpunkt P im Winkelinneren.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ziehe den Strahl SP.
Ergebnis
1. KonstruktionWinkelhalbierende SP mit gleichen Abständen SA=SB und AP=BP; beide Teilwinkel 40 Grad.
05
Aufgabe 5Winkelhalbierende · standardEin Strahl teilt einen Winkel in $\mathsf{41^\circ}$ und $\mathsf{43^\circ}$ . Ist er die Winkelhalbierende? Welchen Wert müssten beide Teilwinkel haben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Richtiger Teilwinkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{41^\circ+43^\circ=84^\circ}$
  $\mathsf{84^\circ:2=42^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die vorliegenden Teilwinkel sind nicht gleich groß.
Ergebnisse & Teilantworten
1. EntscheidungNein.
2. Richtiger Teilwinkel $\mathsf{42^\circ}$
06
Aufgabe 6Winkelhalbierende · transferZwei Nebenwinkel messen $\mathsf{120^\circ}$ und $\mathsf{60^\circ}$ . Ihre inneren Winkelhalbierenden werden eingezeichnet. Wie groß ist der Winkel zwischen diesen Halbierenden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel zwischen Halbierenden
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{120^\circ:2=60^\circ,\qquad60^\circ:2=30^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die beiden Hälften am gemeinsamen Schenkel liegen nebeneinander.
  $\mathsf{60^\circ+30^\circ=90^\circ}$
Ergebnis
1. Winkel zwischen Halbierenden $\mathsf{90^\circ}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne Scheitel und den gemeinten Winkelbereich.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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