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Winkel verstehen · Erklären & üben

Winkelsätze

Winkelsätze erlauben Rechnungen ohne Nachmessen. Prüfe zuerst die Anordnung: Treffen sich zwei Geraden, oder schneidet eine dritte Gerade zwei parallele Geraden?

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Nebenwinkel und Scheitelwinkel

Nebenwinkel haben einen gemeinsamen Schenkel; ihre anderen Schenkel sind entgegengesetzte Strahlen. Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel. Scheitelwinkel liegen sich am Schnitt zweier Geraden gegenüber und sind gleich groß: Beide ergänzen denselben Nebenwinkel zu 180 Grad.

  1. Erkenne gemeinsame oder gegenüberliegende Schenkel.

  2. Ergänze Nebenwinkel zu 180 Grad; übertrage Scheitelwinkel unverändert.

α+β=180∘,α=γ\mathsf{\alpha+\beta=180^\circ,\qquad\alpha=\gamma}

Nebenwinkel ergänzen sich; Scheitelwinkel sind gleich

So geht es am Beispiel

An einer Geradenkreuzung misst α=68∘\mathsf{\alpha=68^\circ}. Berechne den Nebenwinkel β\mathsf{\beta} und den gegenüberliegenden Winkel γ\mathsf{\gamma}.

β=180∘−68∘=112∘\mathsf{\beta=180^\circ-68^\circ=112^\circ}
γ=α=68∘\mathsf{\gamma=\alpha=68^\circ}

Ergebnis

β=112∘,γ=68∘\mathsf{\beta=112^\circ,\quad\gamma=68^\circ}

Erklärung 02

Stufenwinkel und Wechselwinkel

Schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden, sind Stufenwinkel in entsprechender Lage gleich groß. Wechselwinkel liegen auf verschiedenen Seiten der Schnittgeraden, entweder beide zwischen den Parallelen oder beide außerhalb. Sie sind ebenfalls gleich groß. Die Parallelität ist eine notwendige Voraussetzung für diese Gleichheitsregeln; bei beliebigen Geraden darfst du sie nicht voraussetzen.

  1. Prüfe die Parallelitätsangabe.

  2. Ordne die Lage an beiden Schnittpunkten zu.

  3. Nutze danach Neben- und Scheitelwinkel für weitere Größen.

α=δ=εbei g∥h\mathsf{\alpha=\delta=\varepsilon\quad\textsf{bei }g\parallel h}

Stufenwinkel und Wechselwinkel bei g ∥ h

So geht es am Beispiel

In der Parallelengrafik ist α=62∘\mathsf{\alpha=62^\circ}. Bestimme den Stufenwinkel δ\mathsf{\delta}, den Wechselwinkel ε\mathsf{\varepsilon} und einen Nebenwinkel zu α\mathsf{\alpha}.

δ=62∘,ε=62∘\mathsf{\delta=62^\circ,\qquad\varepsilon=62^\circ}
β=180∘−62∘=118∘\mathsf{\beta=180^\circ-62^\circ=118^\circ}

Ergebnis

δ=62∘,ε=62∘,β=118∘\mathsf{\delta=62^\circ,\quad\varepsilon=62^\circ,\quad\beta=118^\circ}

Erklärung 03

Gradmaß und Bogenmaß zuordnen

Ein Halbkreis entspricht 180∘\mathsf{180^\circ} beziehungsweise π\mathsf{\pi} Radiant. Diese Umrechnung ist eine optionale Ergänzung; die Winkelsätze gelten unabhängig von der verwendeten Einheit. Mische in einer Rechnung keine Gradwerte mit Radiantwerten.

  1. Multipliziere Gradwerte mit pi geteilt durch 180.

  2. Multipliziere Radiantwerte mit 180 geteilt durch pi.

αrad=π180∘ αGrad\mathsf{\alpha_{\mathsf{rad}}=\frac{\pi}{180^\circ}\,\alpha_{\mathsf{Grad}}}

So geht es am Beispiel

Rechne 60∘\mathsf{60^\circ} ins Bogenmaß um.

60∘⋅π180∘=π3\mathsf{60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac\pi3}

Ergebnis

π3 rad\mathsf{\frac\pi3\,\mathsf{rad}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Winkelsätze · basisEin Winkel misst 47∘\mathsf{47^\circ}. Berechne seinen Nebenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      180∘−47∘=133∘\mathsf{180^\circ-47^\circ=133^\circ}

    Ergebnis

    1. Nebenwinkel133∘\mathsf{133^\circ}
  2. Aufgabe 2Winkelsätze · standardAn einer Geradenkreuzung misst ein Winkel 123∘\mathsf{123^\circ}. Wie groß ist sein Scheitelwinkel? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Scheitelwinkel sind gleich groß.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Scheitelwinkel123∘\mathsf{123^\circ}
    2. BegründungGegenüberliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden sind gleich groß.
  3. Aufgabe 3Winkelsätze · standardZwei parallele Geraden werden von einer Schnittgeraden geschnitten. Ein Winkel misst 58∘\mathsf{58^\circ}. Berechne den entsprechenden Stufenwinkel und dessen Nebenwinkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      δ=58∘\mathsf{\delta=58^\circ}
      β=180∘−58∘=122∘\mathsf{\beta=180^\circ-58^\circ=122^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Stufenwinkel58∘\mathsf{58^\circ}
    2. Nebenwinkel122∘\mathsf{122^\circ}
  4. Aufgabe 4Winkelsätze · standardIn der Vorlage gilt g∥h\mathsf{g\parallel h}. Der Winkel α\mathsf{\alpha} ist markiert. Zeichne am unteren Schnittpunkt den Stufenwinkel zu α\mathsf{\alpha} als Bogen ein und beschrifte ihn mit δ\mathsf{\delta}. Markiere außerdem den Scheitelwinkel zu δ\mathsf{\delta} mit ε\mathsf{\varepsilon}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markierte Winkel

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Stufenwinkel liegt am unteren Schnittpunkt in derselben Lage oberhalb der waagerechten Geraden und rechts der schrägen Geraden.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Sein Scheitelwinkel liegt links unten.

    Ergebnis

    1. Markierte Winkelδ\mathsf{\delta} rechts oben am unteren Schnittpunkt; ε\mathsf{\varepsilon} links unten; beide gleich groß wie α\mathsf{\alpha}.
  5. Aufgabe 5Winkelsätze · transferZwei Geraden werden von einer dritten geschnitten. Die Zeichnung sieht fast parallel aus, es gibt aber keine Parallelitätsangabe. Darf man die Stufenwinkel ohne weitere Begründung gleichsetzen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Skizze beweist keine Parallelität.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gleichheitsregel für Stufenwinkel setzt parallele Geraden voraus.

    Ergebnis

    1. EntscheidungNein. Die Parallelität muss gegeben oder bewiesen sein.
  6. Aufgabe 6Winkelsätze · transferZwei Nebenwinkel haben die Größen (x+20)∘\mathsf{(x+20)^\circ} und (2x+10)∘\mathsf{(2x+10)^\circ}. Bestimme x\mathsf{x} und beide Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      x+20+2x+10=180\mathsf{x+20+2x+10=180}
      3x=150,x=50\mathsf{3x=150,\qquad x=50}
      α=70∘,β=110∘\mathsf{\alpha=70^\circ,\qquad\beta=110^\circ}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert xx=50\mathsf{x=50}
    2. Erster Winkel70∘\mathsf{70^\circ}
    3. Zweiter Winkel110∘\mathsf{110^\circ}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne Scheitel und den gemeinten Winkelbereich.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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