Weitere Funktionstypen · Erklären & üben

Wurzelfunktion

Die Quadratwurzelfunktion f(x)=√x ordnet jeder nichtnegativen Zahl ihre nichtnegative Hauptwurzel zu. Das ist von der Lösung einer quadratischen Gleichung zu unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Hauptwurzel, Bereich und Werte

Für reelles √x muss x≥0 gelten. Der Funktionswert ist ebenfalls nichtnegativ. Definitions- und Wertebereich sind [0,∞).

√9=3, nicht ±3. Die Gleichung y²=9 hat dagegen die zwei Lösungen y=3 und y=−3.

Die Wurzelfunktion steigt streng, wird dabei aber zunehmend flacher. Bei 0 ist sie stetig; dort wird keine gewöhnliche endliche beidseitige Ableitung behauptet.

So geht es am Beispiel

Berechne √0,√1,√4 und √9.

$\mathsf{\sqrt0=0}$ .

$\mathsf{\sqrt1=1}$ .

$\mathsf{\sqrt4=2}$ .

$\mathsf{\sqrt9=3}$ .

Erklärung 02

Verschieben und Spiegeln

Für f(x)=√(x−d)+e gilt x≥d. Der Graph beginnt bei (d|e), steigt und hat Wertebereich [e,∞).

Für −√(x−d)+e bleibt der Definitionsbereich x≥d. Der Graph fällt und sein Wertebereich ist (−∞,e].

Ein Minus vor der Wurzel ist eine nachträgliche Spiegelung des Funktionswerts. Es ändert nicht die Definition der Hauptwurzel selbst.

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=√(x−2)+1.

$\mathsf{x-2\ge0\Rightarrow x\ge2}$ — Bereich.

$\mathsf{f(2)=1}$ — Startpunkt.

$\mathsf{f(3)=2}$ — Radikand 1.

$\mathsf{f(6)=3}$ — Radikand 4.

Erklärung 03

Lineare Ausdrücke unter der Wurzel

Der ganze Radikand muss nichtnegativ sein. Bei negativem x-Koeffizienten kehrt sich beim Teilen das Ungleichheitszeichen um.

Für √(4−x) ist x≤4 erlaubt. Wenn x wächst, wird der Radikand kleiner; der Graph fällt.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Bereich von √(6−2x).

$\mathsf{6-2x\ge0}$ — Bedingung.

$\mathsf{-2x\ge-6}$ — 6 abziehen.

$\mathsf{x\le3}$ — durch −2 teilen und Zeichen umkehren.

Erklärung 04

Umkehrbezug zur Quadratfunktion

Die Quadratfunktion ist auf ganz R nicht eindeutig umkehrbar, weil x und −x denselben Wert haben. Beschränkst du sie auf x≥0, ist √x ihre Umkehrfunktion.

Die Graphen von y=x² für x≥0 und y=√x sind Spiegelbilder an y=x. Vertausche für die Umkehrung die Koordinaten der Punkte.

Es gilt (√x)²=x für x≥0. Für beliebige reelle x gilt dagegen √(x²)=|x|, nicht immer x.

Gleich skalierte Graphen mit vertauschten Stützpunkten (4|2) und (2|4) verdeutlichen den Umkehrbezug.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzelfunktion · GrundlagenUnterscheide √16 und die Lösungen von y²=16.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt{16}=4}$ — Hauptwurzel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y^2=16\Rightarrow y=4\ \textsf{oder}\ y=-4}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisHauptwurzel 4; Gleichungslösungen ±4.
02
Aufgabe 2Wurzelfunktion · GrundlagenBestimme Bereich und Startpunkt von √(x+3).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3)=0}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=[−3,∞), Start (−3|0).
03
Aufgabe 3Wurzelfunktion · GrundlagenBestimme Bereich und Wertebereich von √x−2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Unter der Wurzel steht x: x≥0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  √x≥0, daher f(x)≥−2.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=[0,∞), W=[−2,∞).
04
Aufgabe 4Wurzelfunktion · AnwendenBestimme Bereich und Monotonie von √(5−x).Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5-x\ge0\Rightarrow x\le5}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei wachsendem x sinkt der Radikand.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisD=(−∞,5], streng fallend.
05
Aufgabe 5Wurzelfunktion · AnwendenBerechne f(2), f(3), f(6) für f(x)=−√(x−2)+4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=4}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(3)=-1+4=3}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(6)=-2+4=2}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis4,3,2.
06
Aufgabe 6Wurzelfunktion · AnwendenLöse √(x−1)=3 und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x\ge1}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-1=9}$ — quadrieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=10}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt{10-1}=3}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisx=10.
07
Aufgabe 7Wurzelfunktion · AnwendenKann √x=−2 eine reelle Lösung haben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Hauptwurzel ist immer nichtnegativ.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  −2 ist negativ.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; Quadrieren allein würde einen unzulässigen Kandidaten erzeugen.
08
Aufgabe 8Wurzelfunktion · VertiefenBerechne √((−5)²) und erkläre √(x²)=|x|.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-5)^2=25}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt{25}=5}$ — nichtnegative Hauptwurzel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für negatives x liefert das Quadrieren denselben Wert wie für −x.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisErgebnis 5; allgemein |x|.
09
Aufgabe 9Wurzelfunktion · VertiefenZeichne die Wurzelfunktion durch die gegebenen Punkte. Zeichne rechts den um 1 nach oben verschobenen Graphen; der neue Startpunkt ist gegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jeder y-Wert wird um 1 erhöht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  (0|0),(1|1),(4|2) werden zu (0|1),(1|2),(4|3).
Ergebnis
1. Antwort und BegründungRechts √x+1, Bereich x≥0, Wertebereich y≥1.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den reellen Definitionsbereich.
Ich begründe Symmetrie und Monotonie passend zur Familie.
Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.

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