Wurzeln · Erklären & üben

Wurzeln

Eine Wurzel beschreibt die Umkehrung einer Potenz im passenden Wertebereich. Du lernst die Bestandteile des Wurzelausdrucks und die wichtigsten Rechenideen kennen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Begriffe und Bedeutung

Im Ausdruck $\mathsf{\sqrt[n]{a}}$ ist a der Radikand und n die Wurzelordnung. Die Ordnung ist hier eine ganze Zahl ab zwei. Der Wurzelwert ist die Zahl, deren n-te Potenz a ergibt, mit folgender Festlegung: Gerade Wurzeln sind nur für nichtnegative Radikanden reell definiert und liefern den nichtnegativen Wert. Bei der Quadratwurzel wird die kleine Zwei meist weggelassen.

Lies Ordnung und Radikand getrennt
Prüfe dann den reellen Definitionsbereich.

Eine gerade Hauptwurzel ist nie negativ.

Die vierte Wurzel aus einundachtzig ist drei. Beschriftungen zeigen die kleine Wurzelordnung vier, den Radikanden einundachtzig und den Wurzelwert drei. Probe drei hoch vier gleich einundachtzig.

So geht es am Beispiel

Benenne die Bestandteile von $\mathsf{\sqrt[4]{81}=3}$ .

Die Wurzelordnung ist vier, der Radikand einundachtzig und der Wurzelwert drei.

Die Probe lautet $\mathsf{3^4=81}$ .

Erklärung 02

Gerade und ungerade Wurzeln

Ungerade Wurzeln sind für jeden reellen Radikanden eindeutig definiert. Daher ist $\mathsf{\sqrt[3]{-64}=-4}$ . Ein negatives algebraisches Ergebnis beschreibt aber keine negative körperliche Kantenlänge. Bei einem Würfel mit positivem Volumen ist die Kantenlänge positiv. Das Wurzelsymbol und die Lösungen einer Gleichung sind zu unterscheiden: $\mathsf{\sqrt{16}=4}$ , während $\mathsf{x^2=16}$ die Lösungen minus vier und vier besitzt.

Prüfe gerade oder ungerade Ordnung
Unterscheide Wurzelwert und Gleichungslösungen.

Das Wurzelsymbol selbst steht für einen festgelegten Wert.

Schematischer Würfel mit Volumen hundertfünfundzwanzig Kubikzentimeter und Kantenlänge fünf Zentimeter. Das Produkt aus drei Kantenlängen ergibt das Volumen.

So geht es am Beispiel

Ein Würfel hat ein Volumen von 125 Kubikzentimetern. Bestimme seine Kantenlänge.

$\mathsf{a=\sqrt[3]{125\,\mathsf{cm}^3}}$

$\mathsf{a=5\,\mathsf{cm}}$

Erklärung 03

Rechnen und teilweise ziehen

Gleichartige Quadratwurzeln kannst du durch ihre Vorfaktoren zusammenfassen. Verschiedene Radikanden dürfen als Summe stehen bleiben. Für a und b nichtnegativ gilt $\mathsf{\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}}$ ; beim Quotienten muss der Nenner-Radikand positiv sein. Zerlege beim teilweisen Wurzelziehen den Radikanden in einen Quadratfaktor und einen Rest.

Suche einen passenden Quadratfaktor
Ziehe nur aus diesem die Wurzel.

Teilweises Ziehen verändert den Wert nicht.

Achtundvierzig ist sechzehn mal drei. Die Quadratwurzel wird in die Wurzeln aus sechzehn und drei zerlegt; das Ergebnis ist vier mal Wurzel drei.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{48}}$ .

$\mathsf{48=16\cdot3}$

$\mathsf{\sqrt{48}=\sqrt{16}\sqrt3}$

$\mathsf{\sqrt{16}\sqrt3=4\sqrt3}$

So geht es am Beispiel

Fasse $\mathsf{2\sqrt3+5\sqrt3}$ zusammen.

$\mathsf{2\sqrt3+5\sqrt3=(2+5)\sqrt3}$

$\mathsf{(2+5)\sqrt3=7\sqrt3}$

Erklärung 04

Potenzen und Betrag

Für positive a gilt $\mathsf{\sqrt[n]{a}=a^{1/n}}$ . Dieser positive Bereich vermeidet pauschale Regeln für gebrochene Exponenten negativer Basen. Für alle reellen x ist $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ . Der Betrag sorgt dafür, dass der Wurzelwert nichtnegativ bleibt. Wurzelrechnung behandelt weitere Umformungen, etwa Quotienten und Nenner mit Wurzeln.

Prüfe die Vorzeichenbedingung
Schreibe bei einem Quadrat einer unbekannten reellen Zahl den Betrag.

Die Wurzel aus einem Quadrat ist nicht immer die ursprüngliche Zahl.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{(-6)^2}}$ .

$\mathsf{(-6)^2=36}$

$\mathsf{\sqrt{36}=6}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzeln · 1Nenne Wurzelordnung, Radikand und Wurzelwert von $\mathsf{\sqrt[3]{216}=6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelordnung
Radikand
Wurzelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gleichung $\mathsf{6^3=216}$ bestätigt den Wurzelwert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wurzelordnung3
2. Radikand216
3. Wurzelwert6
02
Aufgabe 2Wurzeln · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{100}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{10^2=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{100}=10}$
Ergebnis
1. Wurzelwert10
03
Aufgabe 3Wurzeln · 1Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-125}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-5)^3=-125}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[3]{-125}=-5}$
Ergebnis
1. Wurzelwert−5
04
Aufgabe 4Wurzeln · 1Ist $\mathsf{\sqrt{-16}}$ reell definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Reell definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine reelle Quadratwurzel benötigt einen nichtnegativen Radikanden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Reell definiert?Nein
2. BegründungDer Radikand minus sechzehn ist negativ. Das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein.
05
Aufgabe 5Wurzeln · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{75}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Ausdruck
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{75=25\cdot3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{75}=5\sqrt3}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Ausdruck $\mathsf{5\sqrt3}$
06
Aufgabe 6Wurzeln · 2Fasse $\mathsf{3\sqrt2+4\sqrt2}$ zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{3\sqrt2+4\sqrt2=(3+4)\sqrt2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(3+4)\sqrt2=7\sqrt2}$
Ergebnis
1. Summe $\mathsf{7\sqrt2}$
07
Aufgabe 7Wurzeln · 2Schreibe $\mathsf{\sqrt[5]{a}}$ für a positiv als Potenz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzschreibweise
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Kehrwert der Wurzelordnung wird Exponent: $\mathsf{\sqrt[5]{a}=a^{1/5}}$ .
Ergebnis
1. Potenzschreibweise $\mathsf{a^{1/5}}$
08
Aufgabe 8Wurzeln · 2Bestimme $\mathsf{\sqrt{49}}$ und löse getrennt davon $\mathsf{x^2=49}$ über den reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptwurzel
Lösungsmenge der Gleichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Hauptwurzel ist $\mathsf{\sqrt{49}=7}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auch $\mathsf{(-7)^2=49}$ gilt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptwurzel7
2. Lösungsmenge der Gleichung $\mathsf{L=\{-7;7\}}$
09
Aufgabe 9Wurzeln · 3Ein Würfel hat das Volumen 64 Kubikzentimeter. Bestimme seine Kantenlänge. Erkläre, warum keine negative Kantenlänge gewählt wird.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kantenlänge
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{a=\sqrt[3]{64\,\mathsf{cm}^3}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{a=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kantenlänge4 Zentimeter
2. BegründungEine körperliche Länge ist positiv. Außerdem ergibt die dritte Potenz von minus vier ein negatives Volumen und passt nicht zur Angabe.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.
Ich prüfe Radikand, Wurzelordnung und Nenner.
Ich beachte Beträge und die passenden Einheiten.

AT Academy · Version 2026-10-21