Wurzeln · Erklären & üben

Quadratwurzel

Die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl ist die eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl, deren Quadrat die Ausgangszahl ergibt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quadratfläche und Hauptwurzel

Für a nichtnegativ ist $\mathsf{\sqrt a}$ nichtnegativ und erfüllt $\mathsf{(\sqrt a)^2=a}$ . Bei einer Quadratfläche gibt die Wurzel aus dem Flächeninhalt die Seitenlänge an. Die Gleichung $\mathsf{x^2=a}$ hat für a positiv zwei reelle Lösungen, während der Wurzelausdruck nur den nichtnegativen Wert bezeichnet. Für a gleich null fallen beide Lösungen zu null zusammen.

Suche eine nichtnegative Zahl mit dem gesuchten Quadrat
Achte auf die Einheit der Seitenlänge.

Die Hauptwurzel ist ein einzelner nichtnegativer Wert.

Quadrat mit Flächeninhalt hundertvierundvierzig Quadratzentimeter. Die positive Seitenlänge ist zwölf Zentimeter; die Einheit wechselt von Quadratzentimeter zu Zentimeter.

Die Quadratwurzel aus einundachtzig ist nur neun. Die Gleichung x Quadrat gleich einundachtzig besitzt dagegen die beiden reellen Lösungen minus neun und neun.

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat 144 Quadratzentimeter Fläche. Bestimme die Seitenlänge.

$\mathsf{12^2=144}$

$\mathsf{\sqrt{144\,\mathsf{cm}^2}=12\,\mathsf{cm}}$

Erklärung 02

Quadratzahlen und negative Zahlen

Quadratzahlen wie eins, vier, neun oder sechzehn besitzen ganzzahlige Quadratwurzeln. Zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen liegt der Wurzelwert zwischen den zugehörigen ganzen Zahlen. Negative Radikanden haben keine reelle Quadratwurzel. Dagegen ist ein Quadrat einer negativen Zahl nichtnegativ: $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ .

Vergleiche mit bekannten Quadratzahlen
Unterscheide einen negativen Radikanden von einer quadrierten negativen Zahl.

Ein Minus unter der Wurzel ist anders als ein Minus innerhalb eines quadrierten Ausdrucks.

Die Quadratzahlen vierundsechzig und einundachtzig gehören zu acht und neun. Da siebzig dazwischenliegt, liegt seine Quadratwurzel strikt zwischen acht und neun. Die Grafik markiert nur das Intervall, keinen exakten Punkt.

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{\sqrt{30}}$ zwischen zwei benachbarte ganze Zahlen ein.

$\mathsf{5^2=25}$

$\mathsf{6^2=36}$

$\mathsf{25<30<36}$

$\mathsf{5<\sqrt{30}<6}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{(-8)^2}}$ .

$\mathsf{(-8)^2=64}$

$\mathsf{\sqrt{64}=8}$

Erklärung 03

Brüche und Dezimalzahlen

Für a nichtnegativ und b positiv gilt $\mathsf{\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}}$ . Sind Zähler und Nenner Quadratzahlen, ist der Wert exakt als Bruch bestimmbar. Endliche Dezimalzahlen kannst du vorher als Bruch schreiben. Eine Näherung wird mit einem Näherungszeichen gekennzeichnet.

Prüfe Zähler und Nenner
Ziehe im zulässigen Bereich die beiden Wurzeln getrennt.

Der Nenner-Radikand muss positiv sein.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{\frac{9}{16}}}$ .

$\mathsf{\sqrt{\frac9{16}}=\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}}$

$\mathsf{\frac{\sqrt9}{\sqrt{16}}=\frac34}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{0{,}36}}$ .

$\mathsf{0{,}36=\frac{36}{100}}$

$\mathsf{\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac6{10}}$

$\mathsf{\frac6{10}=0{,}6}$

Erklärung 04

Potenzschreibweise und Funktion

Für positive a lautet die Potenzschreibweise $\mathsf{\sqrt a=a^{1/2}}$ . Auch null hat die Quadratwurzel null. Die Zuordnung $\mathsf{f(x)=\sqrt x}$ besitzt im Reellen die Definitionsmenge der nichtnegativen Zahlen und liefert ebenfalls nur nichtnegative Werte. Das Thema Wurzelfunktion behandelt den Verlauf dieser Zuordnung ausführlicher.

Behalte den nichtnegativen Wertebereich bei
Verwechsle Funktion und zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung nicht.

Quadratwurzelwerte sind nichtnegativ.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadratwurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{169}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{13^2=169}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{169}=13}$
Ergebnis
1. Wert13
02
Aufgabe 2Quadratwurzel · 1Berechne $\mathsf{\sqrt0}$ und löse $\mathsf{x^2=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelwert
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt0=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x^2=0\Rightarrow x=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wurzelwert0
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{0\}}$
03
Aufgabe 3Quadratwurzel · 1Bestimme $\mathsf{\sqrt{81}}$ und die Lösungsmenge von $\mathsf{x^2=81}$ über den reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hauptwurzel
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{81}=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-9)^2=81}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hauptwurzel9
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-9;9\}}$
04
Aufgabe 4Quadratwurzel · 2Ist $\mathsf{\sqrt{-25}}$ reell definiert? Berechne getrennt davon $\mathsf{\sqrt{(-5)^2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Ausdruck reell definiert?
Wert des zweiten Ausdrucks
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Radikand ist negativ.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-5)^2=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{25}=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Ausdruck reell definiert?Nein
2. Wert des zweiten Ausdrucks5
05
Aufgabe 5Quadratwurzel · 2Berechne $\mathsf{\sqrt{\frac{25}{49}}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}}=\frac57}$
Ergebnis
1. Wert $\mathsf{\frac57}$
06
Aufgabe 6Quadratwurzel · 2Berechne $\mathsf{\sqrt{0{,}81}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}81=\frac{81}{100}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{\frac{81}{100}}=\frac9{10}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\frac9{10}=0{,}9}$
Ergebnis
1. Wert0,9
07
Aufgabe 7Quadratwurzel · 2Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen liegt $\mathsf{\sqrt{70}}$ ? Gib die untere und obere Grenze getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere ganze Grenze
Obere ganze Grenze
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{8^2=64}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{9^2=81}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{64<70<81}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{8<\sqrt{70}<9}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere ganze Grenze8
2. Obere ganze Grenze9
08
Aufgabe 8Quadratwurzel · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt{x^2}}$ für beliebiges reelles x. Ist das immer gleich x? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Ausdruck
Immer gleich x?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der allgemeine Ausdruck ist $\mathsf{|x|}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für $\mathsf{x=-2}$ ist $\mathsf{\sqrt{x^2}=2}$ , nicht minus zwei.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Ausdruck $\mathsf{|x|}$
2. Immer gleich x?Nein
3. BegründungBei negativen x ist der Wurzelwert die positive Gegenzahl. Der Betrag beschreibt beide Vorzeichenfälle korrekt.
09
Aufgabe 9Quadratwurzel · 3Eine quadratische Platte hat eine Fläche von 225 Quadratzentimetern. Bestimme ihre Seitenlänge und ihren Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Seitenlänge
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{a=\sqrt{225\,\mathsf{cm}^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{a=15\,\mathsf{cm}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{U=4\cdot15\,\mathsf{cm}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{U=60\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Seitenlänge15 Zentimeter
2. Umfang60 Zentimeter

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.
Ich prüfe Radikand, Wurzelordnung und Nenner.
Ich beachte Beträge und die passenden Einheiten.

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