Wurzeln · Erklären & üben

Wurzeln addieren und subtrahieren

Gleichartige Wurzelterme lassen sich wie gleichartige Summanden zusammenfassen. Häufig musst du die Wurzeln dafür zuerst vereinfachen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die reelle Quadratwurzel und gleichartige Terme

Die reelle Quadratwurzel $\mathsf{\sqrt a}$ ist für $\mathsf{a\ge0}$ definiert und bezeichnet den eindeutig bestimmten nichtnegativen Wert, dessen Quadrat a ergibt. Beim Addieren und Subtrahieren gelten Wurzelterme mit derselben Wurzelordnung und demselben vereinfachten Radikanden als gleichartig. Der Zahlenfaktor davor heißt Koeffizient.

Prüfe den Definitionsbereich.
Vergleiche die Wurzelteile.
Verrechne nur die Koeffizienten gleicher Wurzelteile.

$\mathsf{c\sqrt a+d\sqrt a=(c+d)\sqrt a}$ für $\mathsf{a\ge0}$ .

Zwei mal Wurzel fünf plus drei mal Wurzel fünf ergibt fünf mal Wurzel fünf. Nur die Koeffizienten werden addiert.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2\sqrt5+3\sqrt5}$ .

Beide Summanden haben den Wurzelteil $\mathsf{\sqrt5}$ .

Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{2+3=5}$ .

Der Wurzelteil bleibt $\mathsf{\sqrt5}$ .

Erklärung 02

Addieren und vorher teilweise Wurzel ziehen

Zerlege den Radikanden in einen Quadratfaktor und den verbleibenden Faktor. Ziehe aus dem Quadratfaktor die Wurzel. Dadurch können zuvor verschieden aussehende Terme gleichartig werden. Bei nichtnegativen Zahlen gilt $\mathsf{\sqrt{a^2b}=a\sqrt b}$ . Ohne die Bedingung $\mathsf{a\ge0}$ steht stattdessen $\mathsf{|a|\sqrt b}$ für $\mathsf{b\ge0}$ .

Suche einen Quadratfaktor.
Ziehe diesen teilweise aus der Wurzel.
Fasse gleichartige Summanden zusammen.

Erst vereinfachen, dann gleiche Wurzelteile sammeln.

Wurzel acht wird als Wurzel vier mal zwei zu zwei Wurzel zwei. Wurzel achtzehn wird als Wurzel neun mal zwei zu drei Wurzel zwei.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt8+\sqrt{18}}$ .

Zerlege $\mathsf{\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}}$ .

Ziehe die Quadratwurzel aus 4: $\mathsf{\sqrt8=2\sqrt2}$ .

Zerlege $\mathsf{\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}}$ .

Ziehe die Quadratwurzel aus 9: $\mathsf{\sqrt{18}=3\sqrt2}$ .

Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{2+3=5}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt9+\sqrt{16}}$ .

Die erste Wurzel ist $\mathsf{\sqrt9=3}$ .

Die zweite Wurzel ist $\mathsf{\sqrt{16}=4}$ .

Addiere $\mathsf{3+4=7}$ .

Erklärung 03

Subtrahieren und Vorzeichen erhalten

Bei der Subtraktion gleicher Wurzelteile subtrahierst du die Koeffizienten. Das Ergebnis kann negativ sein, obwohl die Quadratwurzel selbst nichtnegativ ist. Ein Minus vor einer Klammer wirkt auf alle enthaltenen Summanden.

Vereinfache die Wurzeln.
Führe jedes Vorzeichen mit.
Subtrahiere die Koeffizienten in gegebener Reihenfolge.

$\mathsf{c\sqrt a-d\sqrt a=(c-d)\sqrt a}$ für $\mathsf{a\ge0}$ .

Einmal Wurzel drei minus viermal Wurzel drei ergibt minus dreimal Wurzel drei. Der negative Wert entsteht durch den Koeffizienten.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{50}-\sqrt8}$ .

Zerlege $\mathsf{\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}}$ .

Daraus folgt $\mathsf{\sqrt{50}=5\sqrt2}$ .

Zerlege $\mathsf{\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}}$ .

Daraus folgt $\mathsf{\sqrt8=2\sqrt2}$ .

Subtrahiere die Koeffizienten: $\mathsf{5-2=3}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt3-4\sqrt3}$ .

Der erste Koeffizient ist 1.

Subtrahiere $\mathsf{1-4=-3}$ .

Erklärung 04

Verschiedene Wurzelteile dürfen als Summe stehen

Definierte Wurzelwerte können immer addiert oder subtrahiert werden. Nicht gleichartige Terme lassen sich jedoch im Allgemeinen nicht durch bloßes Zusammenfassen der Koeffizienten vereinfachen. Ihre Summe oder Differenz bleibt dann eine gültige exakte Darstellung. Es gilt kein allgemeines Gesetz $\mathsf{\sqrt a+\sqrt b=\sqrt{a+b}}$ .

Sammle nur gleiche vereinfachte Wurzelteile.
Lasse andere Terme als exakte Summe stehen.
Prüfe behauptete Regeln an einem Gegenbeispiel.

Nicht zusammenfassbar bedeutet nicht: nicht addierbar.

So geht es am Beispiel

Warum ist $\mathsf{\sqrt4+\sqrt9}$ nicht gleich $\mathsf{\sqrt{13}}$ ?

Die linke Seite ist $\mathsf{2+3=5}$ .

Der nichtnegative Wert 5 hat das Quadrat $\mathsf{5^2=25}$ .

Weil 25 nicht 13 ist, kann 5 nicht die Quadratwurzel aus 13 sein.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3\sqrt2+4\sqrt3-\sqrt2}$ .

Die beiden Terme mit $\mathsf{\sqrt2}$ sind gleichartig.

Ihre Koeffizienten ergeben $\mathsf{3-1=2}$ .

Der Term $\mathsf{4\sqrt3}$ bleibt getrennt.

Erklärung 05

Variable Radikanden und Anschluss

Für einen variablen Radikanden muss die Definitionsbedingung sichtbar bleiben. In $\mathsf{\sqrt{x^2}}$ ist das Ergebnis $\mathsf{|x|}$ , weil die Quadratwurzel nie negativ ist. Die Wurzelgesetze behandeln zusätzlich Produkte, Quotienten und verschachtelte Wurzeln.

Bestimme den erlaubten Radikandenbereich.
Beachte Beträge beim Ziehen aus Variablenquadraten.
Behalte die Bedingung beim Ergebnis.

$\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ für alle reellen x.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{x^2}+2\sqrt{x^2}}$ .

Ersetze jede Wurzel durch $\mathsf{|x|}$ .

Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{1+2=3}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2\sqrt{x-1}+5\sqrt{x-1}}$ .

Der Radikand muss $\mathsf{x-1\ge0}$ erfüllen.

Daher ist $\mathsf{x\ge1}$ erforderlich.

Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{2+5=7}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzeln addieren und subtrahieren · 1Vereinfache $\mathsf{4\sqrt7+2\sqrt7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Wurzelteile stimmen überein.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{4+2=6}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{6\sqrt7}$
02
Aufgabe 2Wurzeln addieren und subtrahieren · 1Vereinfache $\mathsf{9\sqrt3-5\sqrt3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere die Koeffizienten: $\mathsf{9-5=4}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{4\sqrt3}$
03
Aufgabe 3Wurzeln addieren und subtrahieren · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{12}+\sqrt{27}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere die Koeffizienten: $\mathsf{2+3=5}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{5\sqrt3}$
04
Aufgabe 4Wurzeln addieren und subtrahieren · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{75}-\sqrt{12}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ziehe den Quadratfaktor: $\mathsf{\sqrt{75}=5\sqrt3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ziehe den Quadratfaktor: $\mathsf{\sqrt{12}=2\sqrt3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{5-2=3}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{3\sqrt3}$
05
Aufgabe 5Wurzeln addieren und subtrahieren · 2Vereinfache $\mathsf{2\sqrt5-7\sqrt5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere die Koeffizienten: $\mathsf{2-7=-5}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{-5\sqrt5}$
06
Aufgabe 6Wurzeln addieren und subtrahieren · 2Vereinfache $\mathsf{5\sqrt2+3\sqrt5-2\sqrt2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Koeffizienten der gleichen Wurzelteile ergeben $\mathsf{5-2=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Wurzelteil $\mathsf{\sqrt5}$ bleibt getrennt.
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{3\sqrt2+3\sqrt5}$
07
Aufgabe 7Wurzeln addieren und subtrahieren · 3Ist $\mathsf{\sqrt9+\sqrt{16}=\sqrt{25}}$ richtig? Berechne beide Seiten und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert
Rechter Wert
Gleichung richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links ergeben die Wurzeln 3 und 4.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die linke Summe ist $\mathsf{3+4=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Rechts ist $\mathsf{\sqrt{25}=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert7
2. Rechter Wert5
3. Gleichung richtig?Nein
4. BegründungDie Werte sind verschieden. Die Summe der Wurzeln ist nicht die Wurzel der Radikandensumme.
08
Aufgabe 8Wurzeln addieren und subtrahieren · 3Vereinfache $\mathsf{3\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}}$ und gib die reelle Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Radikand verlangt $\mathsf{x+2\ge0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daraus folgt $\mathsf{x\ge-2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{3-1=2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis $\mathsf{2\sqrt{x+2}}$
2. Definitionsmenge $\mathsf{D=\{x\in\mathbb R\mid x\ge-2\}}$
09
Aufgabe 9Wurzeln addieren und subtrahieren · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt{t^2}+4\sqrt{t^2}}$ und berechne den Wert für $\mathsf{t=-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeines Ergebnis
Wert bei t gleich minus zwei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede Wurzel ist $\mathsf{|t|}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{1+4=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für minus zwei gilt $\mathsf{|-2|=2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{5\cdot2=10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemeines Ergebnis $\mathsf{5|t|}$
2. Wert bei t gleich minus zwei10

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich fasse nur gleiche vereinfachte Wurzelteile zusammen.
Ich kann Quadratfaktoren herausziehen.
Ich lasse verschiedene Wurzelteile als exakte Summe stehen.
Ich beachte Definitionsbereich und Beträge.

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