Wurzeln · Erklären & üben

Wurzeln multiplizieren und dividieren

Wurzeln gleicher Ordnung lassen sich unter passenden Bedingungen zu einer gemeinsamen Wurzel verbinden. Bei verschiedenen Ordnungen hilft ein gemeinsamer Wurzelexponent.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quadratwurzeln multiplizieren

Für reelle Quadratwurzeln müssen die Radikanden nichtnegativ sein. Dann kannst du die Radikanden multiplizieren und anschließend die Wurzel ziehen. Zahlenfaktoren vor den Wurzeln werden gesondert multipliziert. Die Regel gilt für Produkte, nicht für Summen.

Prüfe beide Radikanden.
Multipliziere äußere Faktoren und Radikanden getrennt.
Ziehe die Wurzel ganz oder teilweise.

$\mathsf{\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}}$ für $\mathsf{a\ge0}$ und $\mathsf{b\ge0}$ .

Rechteck mit Seiten Quadratwurzel sechs und Quadratwurzel vierundzwanzig im exakten Verhältnis eins zu zwei. Sein Flächeninhalt ist zwölf.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt6\cdot\sqrt{24}}$ .

Verbinde zum Produkt unter der Wurzel: $\mathsf{\sqrt{6\cdot24}}$ .

Der Radikand ist $\mathsf{6\cdot24=144}$ .

Ziehe $\mathsf{\sqrt{144}=12}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2\sqrt3\cdot4\sqrt6}$ .

Die Zahlenfaktoren ergeben $\mathsf{2\cdot4=8}$ .

Die Wurzeln ergeben $\mathsf{\sqrt{3\cdot6}=\sqrt{18}}$ .

Ziehe teilweise: $\mathsf{\sqrt{18}=3\sqrt2}$ .

Die äußeren Faktoren ergeben $\mathsf{8\cdot3=24}$ .

Erklärung 02

Gleiche und unterschiedliche Wurzelordnungen

Bei einer ungeraden Wurzelordnung sind auch negative reelle Radikanden erlaubt. Bei gerader Ordnung müssen sie nichtnegativ sein. Für verschiedene Ordnungen verwenden wir hier positive Radikanden und bringen die Wurzeln auf eine gemeinsame Ordnung. Die Darstellung als positive Bruchpotenz begründet diese Umformung.

Vergleiche die Wurzelordnungen.
Bei verschiedenen Ordnungen nutze hier positive Basen.
Erweitere die Bruch-Exponenten auf einen gemeinsamen Nenner.

Für $\mathsf{a>0}$ gilt $\mathsf{\sqrt[n]a=a^{1/n}}$ .

Quadratwurzel zwei entspricht Basis zwei mit Exponent drei Sechstel. Kubikwurzel vier entspricht Basis zwei mit Exponent vier Sechstel. Das Produkt ist zwei mal sechste Wurzel zwei.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-8}\cdot\sqrt[3]{27}}$ .

Die erste Kubikwurzel ist $\mathsf{\sqrt[3]{-8}=-2}$ .

Die zweite ist $\mathsf{\sqrt[3]{27}=3}$ .

Multipliziere $\mathsf{(-2)\cdot3=-6}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt2\cdot\sqrt[3]4}$ mit gemeinsamer Ordnung.

Die erste Wurzel ist $\mathsf{2^{1/2}=2^{3/6}}$ .

Die zweite Wurzel ist $\mathsf{4^{1/3}=2^{2/3}=2^{4/6}}$ .

Multipliziere gleiche Basen: $\mathsf{2^{3/6+4/6}=2^{7/6}}$ .

Trenne einen ganzen Exponenten ab: $\mathsf{2^{7/6}=2\cdot2^{1/6}}$ .

Erklärung 03

Wurzeln dividieren

Bei Quadratwurzeln darf der Zählerradikand null sein, der Nennerradikand muss positiv sein. Bei ungerader Ordnung darf ein negativer Nenner vorkommen, aber niemals null. Ursprüngliche Bedingungen bleiben erhalten. Bei verschiedenen Ordnungen kannst du mit positiven Radikanden wieder zu Bruchpotenzen oder einer gemeinsamen Ordnung wechseln.

Prüfe den Nenner auf null.
Beachte bei geraden Wurzeln die positiven Nennerbedingungen.
Verbinde gleiche Ordnungen oder bilde eine gemeinsame Ordnung.

$\mathsf{\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}}$ für $\mathsf{a\ge0}$ und $\mathsf{b>0}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}}$ .

Der Nennerradikand 3 ist positiv.

Verbinde zum Quotienten: $\mathsf{\sqrt{75:3}}$ .

Der Radikand ist $\mathsf{75:3=25}$ .

Ziehe $\mathsf{\sqrt{25}=5}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt2}}$ .

Der Zähler ist $\mathsf{16^{1/3}=2^{4/3}}$ .

Der Nenner ist $\mathsf{2^{1/2}}$ .

Subtrahiere die Exponenten: $\mathsf{\frac43-\frac12=\frac56}$ .

Erklärung 04

Einen einzelnen Wurzelnenner rationalisieren

Ein Bruch kann so erweitert werden, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht. Bei einem einzelnen Quadratwurzelnenner multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Wurzel. Diese muss ungleich null sein. Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt bestehen.

Prüfe den ursprünglichen Nenner.
Erweitere Zähler und Nenner mit derselben Wurzel.
Vereinfache und behalte die Bedingungen.

$\mathsf{\frac c{\sqrt a}=\frac{c\sqrt a}{a}}$ für $\mathsf{a>0}$ .

Drei durch Wurzel fünf ist gleich drei Wurzel fünf durch fünf. Zähler und Nenner werden mit Wurzel fünf erweitert.

So geht es am Beispiel

Rationalisiere $\mathsf{\frac3{\sqrt5}}$ .

Erweitere mit $\mathsf{\sqrt5}$ : $\mathsf{\frac{3\sqrt5}{\sqrt5\cdot\sqrt5}}$ .

Der Nenner wird 5.

So geht es am Beispiel

Rationalisiere $\mathsf{\frac1{\sqrt x}}$ .

Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x>0}$ .

Erweitere mit $\mathsf{\sqrt x}$ : $\mathsf{\frac{\sqrt x}{\sqrt x\cdot\sqrt x}}$ .

Der Nenner wird x.

Erklärung 05

Zweiteilige Nenner und Grenzen der Regeln

Bei einem Nenner aus zwei passenden Summanden kann der konjugierte Ausdruck helfen: Er besitzt dieselben Teile, aber das andere Zeichen dazwischen. Ihr Produkt nutzt die Differenz zweier Quadrate. Erweitere nur mit einem Ausdruck, der im betrachteten Bereich nicht null ist. Die Gesetze für Produkte und Quotienten dürfen nicht auf Summen übertragen werden; Wurzeln addieren und subtrahieren erklärt den Unterschied.

Bilde den konjugierten Ausdruck.
Prüfe, dass die Erweiterung erlaubt ist.
Nutze die Differenz zweier Quadrate.

$\mathsf{(u-v)(u+v)=u^2-v^2}$ .

Konjugierte Faktoren ergeben eine Differenz von Quadraten. (u − v)(u + v) = u² − v². Die gemischten Produkte heben sich gegenseitig auf.. Für u = Wurzel 3 und v = 1. Der Nenner ergibt 3 − 1 = 2.. Beide Erweiterungsfaktoren müssen im betrachteten Bereich erlaubt sein.

So geht es am Beispiel

Rationalisiere $\mathsf{\frac1{\sqrt3-1}}$ .

Der Nenner ist ungleich null, weil $\mathsf{\sqrt3\ne1}$ .

Der konjugierte Faktor $\mathsf{\sqrt3+1}$ ist positiv.

Erweitere zu $\mathsf{\frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}}$ .

Der Nenner ist $\mathsf{3-1=2}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzeln multiplizieren und dividieren · 1Berechne $\mathsf{\sqrt8\cdot\sqrt{18}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Radikanden sind nichtnegativ.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verbinde zu $\mathsf{\sqrt{8\cdot18}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{8\cdot18=144}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{144}=12}$ .
Ergebnis
1. Produkt12
02
Aufgabe 2Wurzeln multiplizieren und dividieren · 2Vereinfache $\mathsf{3\sqrt2\cdot2\sqrt{10}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Äußere Faktoren: $\mathsf{3\cdot2=6}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Wurzelprodukt: $\mathsf{\sqrt{2\cdot10}=\sqrt{20}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ziehe teilweise: $\mathsf{\sqrt{20}=2\sqrt5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Äußere Faktoren: $\mathsf{6\cdot2=12}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{12\sqrt5}$
03
Aufgabe 3Wurzeln multiplizieren und dividieren · 2Berechne $\mathsf{\sqrt[3]{-27}\cdot\sqrt[3]8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Wurzel: $\mathsf{\sqrt[3]{-27}=-3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Wurzel: $\mathsf{\sqrt[3]8=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Multipliziere $\mathsf{(-3)\cdot2=-6}$ .
Ergebnis
1. Produkt−6
04
Aufgabe 4Wurzeln multiplizieren und dividieren · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt3\cdot\sqrt[3]9}$ mithilfe von Potenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{\sqrt3=3^{1/2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{\sqrt[3]9=3^{2/3}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere die Exponenten: $\mathsf{\frac12+\frac23=\frac76}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Trenne $\mathsf{3^{7/6}=3\cdot3^{1/6}}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{3\sqrt[6]3}$
05
Aufgabe 5Wurzeln multiplizieren und dividieren · 1Berechne $\mathsf{\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde zu $\mathsf{\sqrt{98:2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Radikand ist $\mathsf{98:2=49}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ziehe $\mathsf{\sqrt{49}=7}$ .
Ergebnis
1. Quotient7
06
Aufgabe 6Wurzeln multiplizieren und dividieren · 3Vereinfache $\mathsf{\frac{\sqrt[3]{32}}{\sqrt2}}$ als eine Potenz und als eine Wurzel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Potenzdarstellung
Darstellung als eine Wurzel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Zähler ist $\mathsf{2^{5/3}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner ist $\mathsf{2^{1/2}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{\frac53-\frac12=\frac76}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Potenzdarstellung $\mathsf{2^{7/6}}$
2. Darstellung als eine Wurzel $\mathsf{\sqrt[6]{128}}$
07
Aufgabe 7Wurzeln multiplizieren und dividieren · 2Rationalisiere $\mathsf{\frac2{\sqrt7}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rationalisierter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere mit $\mathsf{\sqrt7}$ : $\mathsf{\frac{2\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Nenner wird 7.
Ergebnis
1. Rationalisierter Bruch $\mathsf{\frac{2\sqrt7}{7}}$
08
Aufgabe 8Wurzeln multiplizieren und dividieren · 3Rationalisiere $\mathsf{\frac1{\sqrt5-2}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nenner und konjugierter Faktor $\mathsf{\sqrt5+2}$ sind ungleich null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere: $\mathsf{\frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Nenner wird $\mathsf{5-4=1}$ .
Ergebnis
1. Ergebnis $\mathsf{\sqrt5+2}$
09
Aufgabe 9Wurzeln multiplizieren und dividieren · 3Rationalisiere $\mathsf{\frac4{\sqrt t}}$ und gib die reelle Definitionsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rationalisierter Bruch
Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Wurzel im Nenner muss positiv sein, also gilt $\mathsf{t>0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere zu $\mathsf{\frac{4\sqrt t}{\sqrt t\cdot\sqrt t}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der Nenner wird t.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rationalisierter Bruch $\mathsf{\frac{4\sqrt t}{t}}$
2. Definitionsmenge $\mathsf{D=\{t\in\mathbb R\mid t>0\}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Radikanden und Nenner.
Ich unterscheide gerade und ungerade Wurzelordnung.
Ich kann verschiedene Ordnungen bei positiven Radikanden angleichen.
Ich erweitere beim Rationalisieren Zähler und Nenner zugleich.

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