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Wurzeln · Erklären & üben

Wurzelrechnung

Beim Rechnen mit Wurzeln prüfst du zuerst Ordnung und Definitionsbereich. Danach entscheidest du, ob du zusammenfassen, teilweise ziehen, multiplizieren oder einen Nenner umformen kannst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Produkte und Quotienten

Für nichtnegative a und b gilt ab=ab\mathsf{\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}}. Für ab=ab\mathsf{\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}} muss zusätzlich b positiv sein. Die Regeln gelten entsprechend bei gleicher gerader Wurzelordnung. Bei gleicher ungerader Ordnung sind beliebige reelle Radikanden erlaubt, solange im Quotienten der Nenner nicht null ist. Verschiedene Ordnungen dürfen nicht unverändert zusammengezogen werden.

  1. Prüfe die gemeinsame Ordnung

  2. Halte Radikanden und Nennerbedingungen fest.

Der Quotient braucht einen von null verschiedenen Wurzelnenner.

Für Produkte von Quadratwurzeln müssen beide Radikanden nichtnegativ sein. Für Quotienten ist der Zählerradikand nichtnegativ und der Nennerradikand positiv. Direktes Zusammenziehen setzt gleiche Wurzelordnung voraus.

So geht es am Beispiel

Berechne 123\mathsf{\sqrt{12}\sqrt3}.

123=36\mathsf{\sqrt{12}\sqrt3=\sqrt{36}}

36=6\mathsf{\sqrt{36}=6}

Ergebnis

6

So geht es am Beispiel

Berechne 805\mathsf{\frac{\sqrt{80}}{\sqrt5}}.

805=16\mathsf{\frac{\sqrt{80}}{\sqrt5}=\sqrt{16}}

16=4\mathsf{\sqrt{16}=4}

Ergebnis

4

Erklärung 02

Potenzen und verschachtelte Wurzeln

Für a nichtnegativ gilt (a)2=a\mathsf{(\sqrt a)^2=a}. Umgekehrt ergibt x2\mathsf{\sqrt{x^2}} bei beliebigem reellen x dessen Betrag. Im sicheren positiven Basisbereich kannst du Wurzeln als Potenzen schreiben: anm=amn\mathsf{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}} für positive a und ganze m und n ab zwei. Verschiedene Wurzelordnungen lassen sich dort über einen gemeinsamen Exponenten verbinden.

  1. Schreibe bei positiven Radikanden die Bruchpotenzen

  2. Multipliziere Exponenten beim Verschachteln.

Potenzieren und Wurzelziehen haben unterschiedliche Vorzeichenbedingungen.

So geht es am Beispiel

Berechne 7293\mathsf{\sqrt[3]{\sqrt{729}}}.

7293=7296\mathsf{\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\sqrt[6]{729}}

7296=3\mathsf{\sqrt[6]{729}=3}

Ergebnis

3

So geht es am Beispiel

Vereinfache aa3\mathsf{\sqrt a\sqrt[3]{a}} für a positiv.

aa3=a1/2a1/3\mathsf{\sqrt a\sqrt[3]{a}=a^{1/2}a^{1/3}}

a1/2a1/3=a5/6\mathsf{a^{1/2}a^{1/3}=a^{5/6}}

a5/6=a56\mathsf{a^{5/6}=\sqrt[6]{a^5}}

Ergebnis

a56\mathsf{\sqrt[6]{a^5}}

Erklärung 03

Teilweise ziehen und zusammenfassen

Zerlege einen Radikanden in Quadratfaktor und Rest. Nach dem teilweisen Ziehen können gleichartige Wurzeln entstehen, deren Vorfaktoren du addierst oder subtrahierst. Unterschiedliche Restwurzeln dürfen als Summe stehen bleiben. Für reelles x und nichtnegatives y gilt beispielsweise x2y=∣x∣y\mathsf{\sqrt{x^2y}=|x|\sqrt y}.

  1. Ziehe erkennbare Quadratfaktoren

  2. Fasse nur danach gleichartige Restwurzeln zusammen.

Bei unbekannten Vorzeichen bleibt der Betrag erhalten.

Fünfzig zerfällt in fünfundzwanzig mal zwei, acht in vier mal zwei. Die Wurzeln ergeben fünf beziehungsweise zwei mal Wurzel zwei. Zusammen ergeben sie sieben mal Wurzel zwei.

So geht es am Beispiel

Vereinfache 72−8\mathsf{\sqrt{72}-\sqrt8}.

72=62\mathsf{\sqrt{72}=6\sqrt2}

8=22\mathsf{\sqrt8=2\sqrt2}

62−22=42\mathsf{6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2}

Ergebnis

42\mathsf{4\sqrt2}

Erklärung 04

Wurzeln im Nenner beseitigen

Erweitere einen Bruch mit einem passenden von null verschiedenen Ausdruck. Bei einem einzelnen Quadratwurzelnenner genügt oft dieselbe Wurzel. Bei einem Nenner aus zwei Summanden kann der konjugierte Term helfen: Das Produkt aus Summe und Differenz ergibt eine Differenz von Quadraten. Alle ursprünglichen verbotenen Werte bleiben ausgeschlossen. Potenzgesetze erklärt die zugehörige Potenzschreibweise ausführlicher.

  1. Prüfe ursprünglichen Nenner und Erweiterungsfaktor

  2. Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck.

Erweitern verändert den Wert nur bei einem von null verschiedenen Faktor nicht.

Wurzel drei plus eins wird mit Wurzel drei minus eins multipliziert. Nach der dritten binomischen Formel entsteht drei minus eins gleich zwei. Der Erweiterungsfaktor ist von null verschieden.

So geht es am Beispiel

Beseitige die Wurzel im Nenner von 35\mathsf{\frac3{\sqrt5}}.

35=3555\mathsf{\frac3{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{\sqrt5\sqrt5}}

3555=355\mathsf{\frac{3\sqrt5}{\sqrt5\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}}

Ergebnis

355\mathsf{\frac{3\sqrt5}{5}}

So geht es am Beispiel

Beseitige die Wurzel im Nenner von 13+1\mathsf{\frac1{\sqrt3+1}}.

Der konjugierte Ausdruck 3−1\mathsf{\sqrt3-1} ist ungleich null.

13+1=3−1(3+1)(3−1)\mathsf{\frac1{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}}

(3+1)(3−1)=3−1\mathsf{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)=3-1}

3−1=2\mathsf{3-1=2}

3−1(3+1)(3−1)=3−12\mathsf{\frac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt3-1}{2}}

Ergebnis

3−12\mathsf{\frac{\sqrt3-1}{2}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Wurzelrechnung · 1Berechne 205\mathsf{\sqrt{20}\sqrt5}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      205=100\mathsf{\sqrt{20}\sqrt5=\sqrt{100}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      100=10\mathsf{\sqrt{100}=10}

    Ergebnis

    1. Wert10
  2. Aufgabe 2Wurzelrechnung · 1Berechne 1473\mathsf{\frac{\sqrt{147}}{\sqrt3}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      1473=49\mathsf{\frac{\sqrt{147}}{\sqrt3}=\sqrt{49}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      49=7\mathsf{\sqrt{49}=7}

    Ergebnis

    1. Wert7
  3. Aufgabe 3Wurzelrechnung · 2Berechne (13)2\mathsf{(\sqrt{13})^2} und vereinfache getrennt x2\mathsf{\sqrt{x^2}} für beliebiges reelles x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      (13)2=13\mathsf{(\sqrt{13})^2=13}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      x2=∣x∣\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Wert des ersten Ausdrucks13
    2. Allgemeiner zweiter Ausdruck∣x∣\mathsf{|x|}
  4. Aufgabe 4Wurzelrechnung · 2Berechne 40963\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{4096}}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      40963=40966\mathsf{\sqrt{\sqrt[3]{4096}}=\sqrt[6]{4096}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      46=4096\mathsf{4^6=4096}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      40966=4\mathsf{\sqrt[6]{4096}=4}

    Ergebnis

    1. Wert4
  5. Aufgabe 5Wurzelrechnung · 2Vereinfache 50+8\mathsf{\sqrt{50}+\sqrt8}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      50=52\mathsf{\sqrt{50}=5\sqrt2}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      8=22\mathsf{\sqrt8=2\sqrt2}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      52+22=72\mathsf{5\sqrt2+2\sqrt2=7\sqrt2}

    Ergebnis

    1. Vereinfachte Summe72\mathsf{7\sqrt2}
  6. Aufgabe 6Wurzelrechnung · 2Beseitige die Wurzel im Nenner von 47\mathsf{\frac4{\sqrt7}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      47=4777\mathsf{\frac4{\sqrt7}=\frac{4\sqrt7}{\sqrt7\sqrt7}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      4777=477\mathsf{\frac{4\sqrt7}{\sqrt7\sqrt7}=\frac{4\sqrt7}{7}}

    Ergebnis

    1. Bruch ohne Wurzel im Nenner477\mathsf{\frac{4\sqrt7}{7}}
  7. Aufgabe 7Wurzelrechnung · 3Beseitige die Wurzel im Nenner von 15+2\mathsf{\frac1{\sqrt5+2}}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der konjugierte Ausdruck 5−2\mathsf{\sqrt5-2} ist ungleich null.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      15+2=5−2(5+2)(5−2)\mathsf{\frac1{\sqrt5+2}=\frac{\sqrt5-2}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      (5+2)(5−2)=5−4\mathsf{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)=5-4}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      5−4=1\mathsf{5-4=1}

    5. Schritt 5 · Erklärung

      5−21=5−2\mathsf{\frac{\sqrt5-2}{1}=\sqrt5-2}

    Ergebnis

    1. Vereinfachter Ausdruck5−2\mathsf{\sqrt5-2}
  8. Aufgabe 8Wurzelrechnung · 3Schreibe 1x\mathsf{\frac1{\sqrt x}} ohne Wurzel im Nenner. Nenne die ursprüngliche reelle Bedingung für x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Nenner muss reell und von null verschieden sein: x>0\mathsf{x>0}.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      1x=xxx\mathsf{\frac1{\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{\sqrt x\sqrt x}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      xxx=xx\mathsf{\frac{\sqrt x}{\sqrt x\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{x}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Umgeformter Bruchxx\mathsf{\frac{\sqrt x}{x}}
    2. Ursprüngliche Bedingungx>0\mathsf{x>0}
  9. Aufgabe 9Wurzelrechnung · 3Vereinfache aa3\mathsf{\sqrt a\sqrt[3]{a}} für a positiv zu einer einzigen Wurzel. Nenne deren Ordnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      aa3=a1/2+1/3\mathsf{\sqrt a\sqrt[3]{a}=a^{1/2+1/3}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      a1/2+1/3=a5/6\mathsf{a^{1/2+1/3}=a^{5/6}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      a5/6=a56\mathsf{a^{5/6}=\sqrt[6]{a^5}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Eine Wurzela56\mathsf{\sqrt[6]{a^5}}
    2. Wurzelordnung6

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.
  • Ich prüfe Radikand, Wurzelordnung und Nenner.
  • Ich beachte Beträge und die passenden Einheiten.

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