Wurzeln · Erklären & üben

Wurzel ziehen

Beim Wurzelziehen suchst du einen passenden Potenzwert. Quadratzahlen, Zerlegungen und Grenzen helfen dir, einen exakten Wert oder einen begründeten Näherungswert zu finden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Durch Potenzieren rückwärts denken

Die Quadratwurzel aus a ist für a nichtnegativ die nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Prüfe deshalb bekannte Quadratzahlen. Ein negativer Radikand hat keine reelle Quadratwurzel. Die Gleichung $\mathsf{x^2=a}$ und der Ausdruck $\mathsf{\sqrt a}$ sind verschiedene Aufträge: Bei a positiv besitzt die Gleichung zwei Lösungen, der Wurzelausdruck nur einen Wert.

Suche den passenden nichtnegativen Grundwert
Quadriere ihn als Probe.

Wurzelziehen wird durch Potenzieren geprüft.

Zwischen vierzehn und hundertsechsundneunzig führen entgegengesetzte Pfeile: Quadrieren nach rechts, Hauptwurzelziehen nach links. Der Grundwert vierzehn ist nichtnegativ.

So geht es am Beispiel

Ziehe die Quadratwurzel aus 196.

$\mathsf{14^2=196}$

$\mathsf{\sqrt{196}=14}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt{\frac{49}{64}}}$ .

$\mathsf{\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}}$

$\mathsf{\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac78}$

Erklärung 02

Zerlegen oder eingrenzen

Ist der Radikand keine Quadratzahl, suche einen Quadratfaktor. Er lässt sich teilweise aus der Wurzel ziehen. Für eine Näherung grenze den Radikanden zwischen Quadraten ein. Vergleiche anschließend genauere Dezimalquadrate. Ein gerundeter Wert ist kein exakter Gleichheitswert.

Suche zuerst eine exakte Zerlegung
Grenze für Näherungen mit Quadraten ein.

Näherungswerte werden mit einem Näherungszeichen geschrieben.

Das Quadrat von sieben Komma null sieben liegt unter fünfzig, das von sieben Komma null acht darüber. Die Wurzel liegt zwischen diesen Werten und rundet sich auf eine Nachkommastelle zu sieben Komma eins.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{108}}$ .

$\mathsf{108=36\cdot3}$

$\mathsf{\sqrt{108}=\sqrt{36}\sqrt3}$

$\mathsf{\sqrt{36}\sqrt3=6\sqrt3}$

So geht es am Beispiel

Runde $\mathsf{\sqrt{10}}$ auf eine Nachkommastelle.

$\mathsf{3{,}15^2=9{,}9225}$

$\mathsf{3{,}16^2=9{,}9856}$

$\mathsf{3{,}17^2=10{,}0489}$

$\mathsf{3{,}16<\sqrt{10}<3{,}17}$

Der Wert liegt oberhalb der Rundungsgrenze 3,15.

Erklärung 03

Höhere Wurzelordnungen

Für gerade Wurzelordnungen ist der reelle Radikand nichtnegativ und der Wurzelwert nichtnegativ. Bei ungerader Ordnung sind auch negative Radikanden erlaubt; die Wurzel hat dann ein negatives Vorzeichen. Die Probe ist stets die Potenz mit derselben Ordnung.

Lies die kleine Wurzelordnung
Suche den Grundwert der zugehörigen Potenz.

Ordnung drei verlangt eine dritte Potenz, nicht ein Quadrat.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\sqrt[4]{256}}$ und $\mathsf{\sqrt[3]{-216}}$ .

$\mathsf{4^4=256}$

$\mathsf{\sqrt[4]{256}=4}$

$\mathsf{(-6)^3=-216}$

$\mathsf{\sqrt[3]{-216}=-6}$

Erklärung 04

Variablen und Beträge

Bei unbekannten reellen Zahlen bleibt das Vorzeichen wichtig. Es gilt $\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$ und daher $\mathsf{\sqrt{9x^2}=3|x|}$ . Nur mit der Zusatzannahme x nichtnegativ darf der Betrag zu x vereinfacht werden. Bei $\mathsf{\sqrt{x^4}}$ ist dagegen x Quadrat bereits nichtnegativ; das Ergebnis ist x Quadrat. Wurzelgesetze vertieft die Bedingungen dieser Umformungen.

Erkenne den vollständigen Quadratfaktor
Prüfe dessen Vorzeichen vor dem Weglassen eines Betrags.

Der Betrag sichert den nichtnegativen Wurzelwert.

Die Quadratwurzel aus sechzehn x Quadrat ergibt vier mal Betrag x. Für x gleich minus drei liefert dies zwölf und bewahrt den nichtnegativen Wurzelwert.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\sqrt{16x^2}}$ für beliebiges reelles x.

$\mathsf{\sqrt{16x^2}=\sqrt{16}\sqrt{x^2}}$

$\mathsf{\sqrt{16}\sqrt{x^2}=4|x|}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wurzel ziehen · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{289}}$ und notiere die Potenzprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wurzelwert
Potenzprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{17^2=289}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{289}=17}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wurzelwert17
2. Potenzprobe $\mathsf{17^2=289}$
02
Aufgabe 2Wurzel ziehen · 1Berechne $\mathsf{\sqrt{\frac{81}{121}}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{\frac{81}{121}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}}=\frac9{11}}$
Ergebnis
1. Wert $\mathsf{\frac9{11}}$
03
Aufgabe 3Wurzel ziehen · 2Vereinfache $\mathsf{\sqrt{147}}$ durch teilweises Wurzelziehen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Ausdruck
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{147=49\cdot3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{147}=7\sqrt3}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Ausdruck $\mathsf{7\sqrt3}$
04
Aufgabe 4Wurzel ziehen · 2Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen liegt $\mathsf{\sqrt{50}}$ ? Nenne beide Grenzen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Grenze
Obere Grenze
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{7^2=49}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{8^2=64}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{7<\sqrt{50}<8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Grenze7
2. Obere Grenze8
05
Aufgabe 5Wurzel ziehen · 2Runde $\mathsf{\sqrt{50}}$ auf eine Nachkommastelle. Nutze $\mathsf{7{,}07^2=49{,}9849}$ und $\mathsf{7{,}08^2=50{,}1264}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gerundeter Wurzelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Angaben zeigen $\mathsf{7{,}07<\sqrt{50}<7{,}08}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Wert liegt oberhalb der Rundungsgrenze 7,05 und unterhalb von 7,15.
Ergebnis
1. Gerundeter Wurzelwert $\mathsf{\sqrt{50}\approx7{,}1}$
06
Aufgabe 6Wurzel ziehen · 2Berechne $\mathsf{\sqrt[4]{625}}$ und $\mathsf{\sqrt[3]{-343}}$ getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vierte Wurzel
Kubikwurzel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5^4=625}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[4]{625}=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{(-7)^3=-343}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt[3]{-343}=-7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vierte Wurzel5
2. Kubikwurzel−7
07
Aufgabe 7Wurzel ziehen · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt{25x^2}}$ für alle reellen x. Berechne zusätzlich den Wert bei x gleich minus drei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Allgemeiner Ausdruck
Wert bei x gleich minus drei
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{25x^2}=5|x|}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5|-3|=15}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Allgemeiner Ausdruck $\mathsf{5|x|}$
2. Wert bei x gleich minus drei15
08
Aufgabe 8Wurzel ziehen · 3Vereinfache $\mathsf{\sqrt{x^4}}$ für alle reellen x. Begründe, warum im Endergebnis kein Betrag nötig ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Ausdruck
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{x^4}=\sqrt{(x^2)^2}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt{(x^2)^2}=|x^2|}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{|x^2|=x^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Ausdruck $\mathsf{x^2}$
2. Begründungx Quadrat ist für jede reelle Zahl nichtnegativ. Deshalb ist sein Betrag gleich x Quadrat.
09
Aufgabe 9Wurzel ziehen · 3Ist $\mathsf{\sqrt[4]{-16}}$ reell definiert? Ist $\mathsf{\sqrt[3]{-8}}$ reell definiert? Gib im zweiten Fall den Wert an und begründe den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vierte Wurzel reell definiert?
Kubikwurzel reell definiert?
Wert der Kubikwurzel
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gerade Potenzen reeller Zahlen sind nichtnegativ.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dagegen gilt $\mathsf{(-2)^3=-8}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vierte Wurzel reell definiert?Nein
2. Kubikwurzel reell definiert?Ja
3. Wert der Kubikwurzel−2
4. BegründungEine gerade Wurzel braucht einen nichtnegativen Radikanden. Eine ungerade Potenz kann negativ sein, daher ist die Kubikwurzel hier erlaubt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Hauptwurzel und Gleichungslösungen.
Ich prüfe Radikand, Wurzelordnung und Nenner.
Ich beachte Beträge und die passenden Einheiten.

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