Streuung · Erklären & üben

z Standardisierung

Ein z-Wert beschreibt die Lage eines Werts in Einheiten der Standardabweichung. Du standardisierst Grenzen, deutest Vorzeichen und unterscheidest Standardisierung von Normalverteilung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mitte abziehen und durch Streuung teilen

Für einen bekannten Mittelwert und eine positive Standardabweichung ziehst du zuerst die Mitte ab und teilst dann durch die Standardabweichung. Beide Größen müssen zur gleichen Einheit und zum gleichen Modell gehören. Bei Standardabweichung null ist diese Transformation nicht definiert.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{z=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad(\sigma>0)}$

z-Achse mit standardisierten Lagewerten.

So geht es am Beispiel

Ein Wert 76 liegt in einem Modell mit Mittelwert 60 und Standardabweichung 8. Berechne z.

\mathsf{z=\frac{76-60}{8}=2}

Erklärung 02

Vorzeichen und Rücktransformation

Ein negativer z-Wert liegt unter der Mitte, ein positiver darüber. Null entspricht dem Mittelwert. Aus z allein folgt ohne Verteilungsmodell keine bestimmte Wahrscheinlichkeit. Um in die ursprüngliche Einheit zurückzugehen, multiplizierst du mit der Standardabweichung und addierst den Mittelwert.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{x=\mu+\sigma z}$

So geht es am Beispiel

Welcher Originalwert entspricht z=−1,5 bei Mittelwert 50 und Standardabweichung 10?

\mathsf{x=50+10\cdot(-1{,}5)=35}

Erklärung 03

Standardisiert heißt nicht normalverteilt

Für eine Zufallsgröße mit endlicher positiver Varianz hat die standardisierte Variable Erwartungswert 0 und Varianz 1. Sie behält aber ihre Verteilungsform. Eine diskrete Variable bleibt diskret. Nur wenn die Ausgangsvariable normalverteilt ist, entsteht eine Standardnormalverteilung. Bei Datenlisten muss die Konvention konsistent bleiben: Standardisierst du mit der deskriptiven Standardabweichung, ist die deskriptive Varianz der z-Liste 1. Verwendest du die korrigierte Stichprobenstandardabweichung, ist die korrigierte Varianz der z-Liste 1, ihre deskriptive Varianz dagegen(n−1)/n. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung dazu behandelt Normalverteilung.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{E(Z)=0,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(Z)=1}$

Diskrete Zweipunktverteilung bleibt nach Standardisierung diskret.

So geht es am Beispiel

Xnimmt nur 1 und 3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit an. Was geschieht beim Standardisieren?

\mathsf{\mu=2,\quad\sigma=1}

\mathsf{Z\in\{-1,1\}}

Die Verteilung hat weiterhin nur zwei mögliche Werte. Sie ist trotz Mittelwert 0 und Varianz 1 nicht normalverteilt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1z Standardisierung · EinstiegStandardisiere x=85 bei Mittelwert 70 und Standardabweichung 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
z-Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=\frac{85-70}{5}=3}$
Ergebnis
1. z-Wert $\mathsf{3}$
02
Aufgabe 2z Standardisierung · EinstiegStandardisiere x=40 bei Mittelwert 50 und Standardabweichung 10 und deute das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
z-Wert
Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{z=\frac{40-50}{10}=-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Wert liegt eine Standardabweichung unter der Mitte.
Ergebnisse & Teilantworten
1. z-Wert $\mathsf{-1}$
2. DeutungEine Standardabweichung unter dem Mittelwert.
03
Aufgabe 3z Standardisierung · StandardWelcher Wert gehört zu z=1,5 bei Mittelwert 50 und Standardabweichung 10?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Originalwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=50+10\cdot1{,}5=65}$
Ergebnis
1. Originalwert $\mathsf{65}$
04
Aufgabe 4z Standardisierung · StandardStandardisiere die Werte 40,50,65 bei Mittelwert 50 und Standardabweichung 10. Markiere und beschrifte ihre z-Werte auf der vorbereiteten Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Standardisierte Lagepunkte
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Standardisierte Lagepunkte
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{z_1=-1,\quad z_2=0,\quad z_3=1{,}5}$
Ergebnis
1. Standardisierte LagepunktePunkte−1,0,1,5 mit korrekten Abständen auf der z-Achse.
05
Aufgabe 5z Standardisierung · TransferVier Datenwerte werden mit ihrer korrigierten Stichprobenstandardabweichung standardisiert. Welche deskriptive Varianz hat die z-Liste?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deskriptive Varianz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{v_n(z)=\frac{n-1}{n}=\frac34=0{,}75}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die korrigierte Varianz der z-Liste ist 1. Der Nennerwechsel erklärt die kleinere deskriptive Varianz.
Ergebnis
1. Deskriptive Varianz $\mathsf{0{,}75}$
06
Aufgabe 6z Standardisierung · TransferNach Standardisierung hat eine Variable Mittelwert 0 und Varianz 1. Darf automatisch die Phi-Tabelle der Standardnormalverteilung verwendet werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nein. Auch eine Verteilung auf nur−1 und 1 kann diese beiden Momente besitzen. Die Normalverteilung muss zusätzlich begründet oder als Modell vorausgesetzt werden.
Ergebnis
1. BegründungNein; Mittelwert 0 und Varianz 1 legen die Verteilungsform nicht fest.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

AT Academy · Version 2026-10-21