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Streuung · Erklären & üben

Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient setzt die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert. Er eignet sich für relative Streuungsvergleiche, wenn Nullpunkt und Mittelwert sinnvoll sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Streuung relativ zur Größe

Für eine Größe mit natürlichem Nullpunkt und positivem Mittelwert ist der Variationskoeffizient Standardabweichung durch Mittelwert. Er hat keine Einheit und wird häufig als Prozentwert angegeben. Verwende innerhalb eines Vergleichs dieselbe Konvention für die Standardabweichung und vergleichbare Datengrundlagen.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

CV=σμ(μ>0)\mathsf{CV=\frac{\sigma}{\mu}\quad(\mu>0)}

So geht es am Beispiel

Eine Masse hat Mittelwert 50 g und Standardabweichung 5 g. Bestimme den Variationskoeffizienten.

CV=550=0,1=10%\mathsf{CV=\frac5{50}=0{,}1=10\%}

Ergebnis

Die Standardabweichung entspricht 10 Prozent des Mittelwerts.

Erklärung 02

Absolute und relative Streuung unterscheiden

Eine Gruppe mit größerer Standardabweichung kann relativ zum Mittelwert trotzdem weniger streuen. Bei Stichproben kannst du analog s durch den positiven Stichprobenmittelwert teilen; kennzeichne diese empirische Variante. Es gibt keine universelle Grenze, die in allen Fachgebieten gute und schlechte Streuung trennt.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

CVemp=sxˉ\mathsf{CV_{\mathsf{emp}}=\frac{s}{\bar x}}

Variationskoeffizienten zweier Massenmodelle:10und5Prozent.
Derselbe Variationskoeffizient vor und nach Einheitenwechsel.

So geht es am Beispiel

Vergleiche MasseA mit Mittelwert 50 g und Standardabweichung 5 g sowie MasseB mit 200 g und 10 g.

CVA=10%,CVB=5%\mathsf{CV_A=10\%,\qquad CV_B=5\%}

Bhat die größere absolute Standardabweichung, aber den kleineren relativen Streuungsanteil.

Ergebnis

Relativ zum Mittelwert streutBweniger.

So geht es am Beispiel

Eine Länge mit Mittelwert 50 cm und Standardabweichung 5 cm wird in Millimeter umgerechnet.

50 mm500 mm=5 cm50 cm=10%\mathsf{\frac{50\,\mathsf{mm}}{500\,\mathsf{mm}}=\frac{5\,\mathsf{cm}}{50\,\mathsf{cm}}=10\%}

Ergebnis

Ein positiver gemeinsamer Einheitenfaktor kürzt sich heraus.

Erklärung 03

Nullpunkt und kleine Mittelwerte

Bei Mittelwert null ist der Quotient nicht definiert. Nahe null kann er sehr groß und instabil werden. Für negative Mittelwerte oder Skalen mit willkürlichem Nullpunkt liefert er keine übliche relative Streuungsdeutung. Celsius-Temperaturen sind daher kein geeigneter Anwendungsfall: Ein Wechsel zu Kelvin verschiebt den Mittelwert, aber nicht die Standardabweichung. Das Thema z-Standardisierung behandelt dagegen den Abstand eines einzelnen Werts von der Mitte.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Einheitenfreiheit allein garantiert keine sinnvolle Interpretation.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Variationskoeffizient · EinstiegEine Masse hat Mittelwert 80 g und Standardabweichung 4 g. Berechne den CV in Prozent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      CV=480=0,05=5%\mathsf{CV=\frac4{80}=0{,}05=5\%}

    Ergebnis

    1. CV in Prozent5%\mathsf{5\%}
  2. Aufgabe 2Variationskoeffizient · EinstiegGruppeA hat Mittelwert 80 und Standardabweichung 4, GruppeB Mittelwert 100 und Standardabweichung 8. Beide messen vergleichbare positive Massen. Vergleiche ihre CV.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      CVA=5%,CVB=8%\mathsf{CV_A=5\%,\qquad CV_B=8\%}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bstreut relativ zur Mitte stärker.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. CV vonA5%\mathsf{5\%}
    2. CV vonB8%\mathsf{8\%}
    3. VergleichBhat die größere relative Streuung.
  3. Aufgabe 3Variationskoeffizient · StandardMittelwert 80 g und Standardabweichung 4 g werden in Kilogramm angegeben. Berechne den CV erneut.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      CV=0,0040,08=0,05=5%\mathsf{CV=\frac{0{,}004}{0{,}08}=0{,}05=5\%}

    Ergebnis

    1. CV nach Umrechnung5%\mathsf{5\%}
  4. Aufgabe 4Variationskoeffizient · StandardZeichne die Variationskoeffizienten 5 Prozent fürAund 8 Prozent fürBals Säulen in die Vorlage. Beschrifte die Säulenwerte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    CV-Vergleich

    Vorbereitete Darstellung mit vorgegebenen Achsen oder Tabellenwerten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Beide Säulen beginnen bei null; ihre Höhen sind 5 und 8 auf derselben Prozentachse.

    Ergebnis

    1. CV-VergleichSäulenA 5 Prozent undB 8 Prozent mit gleicher Skala.
  5. Aufgabe 5Variationskoeffizient · TransferEine Größe hat Mittelwert 0 und Standardabweichung 2. Kannst du den CV als übliche relative Streuung berechnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Quotient 2/0 ist nicht definiert. Ein beliebiger Ersatzwert wäre keine zulässige Berechnung.

    Ergebnis

    1. EntscheidungNicht definiert wegen Mittelwertnull.
  6. Aufgabe 6Variationskoeffizient · TransferZwei Temperaturreihen in Grad Celsius haben Mittelwerte 10 und 20 Grad. Warum solltest du sie nicht allein anhand von Standardabweichung durch Celsius-Mittelwert vergleichen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Celsius-Nullpunkt ist verschiebbar. Beim Wechsel zu Kelvin werden zu den Mittelwerten 273,15 addiert, während die Standardabweichungen als Temperaturdifferenzen gleich bleiben. Der Quotient hängt daher von der gewählten Nullpunktlage ab.

    Ergebnis

    1. BegründungCelsius hat keinen natürlichen Verhältnisnullpunkt; der Quotient ist verschiebungsabhängig.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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