Kreis und Bogenmaß · Erklären & üben

Zahl Pi

Die Kreiszahl $\mathsf{\pi}$ ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist bei jedem Kreis gleich, unabhängig von seiner Größe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Umfang geteilt durch Durchmesser

Ein Kreisumfang ist etwas mehr als dreimal so lang wie sein Durchmesser. Als Näherung genügt oft 3,14; für exakte Rechnungen bleibt das Symbol Pi stehen. Durchmesser und Umfang müssen im Quotienten dieselbe Längeneinheit besitzen.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{\pi=\frac Ud,\qquad U=\pi d=2\pi r}$

So geht es am Beispiel

Ein Kreis hat Durchmesser $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$ . Gib den Umfang exakt und näherungsweise an.

\mathsf{U=10\pi\,\mathsf{cm}}

\mathsf{U\approx31{,}42\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Warum die Dezimalzahl nicht endet

Pi ist irrational: Es lässt sich nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben. Seine Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch. Daher sind 3,14 und 22/7 nur Näherungen. Pi ist außerdem transzendent, also keine Nullstelle eines nichttrivialen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten; für die Aufgaben brauchst du diese Vertiefung nicht.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{\pi\approx3{,}14159265}$

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{22/7}$ genau gleich Pi?

\mathsf{22/7\approx3{,}14285714}

Dieser Bruch hat eine periodische Dezimaldarstellung; Pi nicht.

Erklärung 03

Den Wert geometrisch eingrenzen

Bereits in der Antike wurden Näherungen für Pi verwendet. Archimedes grenzte den Kreisumfang mithilfe einbeschriebener und umbeschriebener regelmäßiger Vielecke ein. Mit mehr Ecken nähern sich die Umfänge von innen und außen an. Das erklärt eine Methode, ohne den Kreisumfang selbst exakt abrollen zu müssen.

Ordne die gegebenen Größen und ihre Einheiten zu.
Verwende die passende Beziehung und prüfe das Ergebnis.

$\mathsf{U_{\mathsf{innen}}<U_{\mathsf{Kreis}}<U_{\mathsf{aussen}}}$

So geht es am Beispiel

Welche Seite der Abschätzung liefern ein in den Kreis eingeschriebenes und ein um den Kreis gelegtes Quadrat?

Die inneren Sehnen sind zusammen kürzer als die entsprechenden Kreisbögen.

Das umbeschriebene Quadrat besitzt einen größeren Umfang als der Kreis.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zahl Pi · standardEin Kreis hat $\mathsf{d=6\,\mathsf{cm}}$ . Gib seinen Umfang exakt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U=\pi d=6\pi\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umfang $\mathsf{6\pi\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Zahl Pi · standardGemessen wurden $\mathsf{U=31{,}4\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{d=10\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{U/d}$ . Ist das ein Beweis für $\mathsf{\pi=3{,}14}$ ?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U/d=31{,}4/10=3{,}14}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Messungen und gerundete Angaben liefern nur einen Näherungswert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient $\mathsf{3{,}14}$
2. BeurteilungKein exakter Beweis; die Angaben sind begrenzt genau.
03
Aufgabe 3Zahl Pi · standardWas bedeutet es für die Dezimaldarstellung, dass Pi irrational ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eigenschaft
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine rationale Zahl hat eine endliche oder periodische Dezimaldarstellung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Pi ist nicht rational.
Ergebnis
1. EigenschaftDie Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch.
04
Aufgabe 4Zahl Pi · standardZeichne den Kreis um M durch A. Ergänze den gegenüberliegenden Kreispunkt B und den Durchmesser AB. Beschrifte MA mit r und AB als Durchmesser d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kreiszeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Kreiszeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verlängere AM durch M bis zum Kreis.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Mittelpunkt teilt den Durchmesser in zwei Radien.
Ergebnis
1. KreiszeichnungKreis durch A; B gegenüber; Radius MA und Durchmesser AB mit d=2r.
05
Aufgabe 5Zahl Pi · standardEin Kreis besitzt Radius $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$ . Gib seine Fläche exakt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\pi r^2=4\pi\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Fläche $\mathsf{4\pi\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Zahl Pi · standardEin Kreis hat $\mathsf{d=200\,\mathsf{m}}$ . Berechne den Umfang einmal mit $\mathsf{\pi\approx3{,}14}$ und einmal mit der Pi-Taste. Runde den zweiten Wert auf zwei Nachkommastellen. Wie groß ist die Differenz etwa?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mit 3,14
Mit Pi-Taste
Differenz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U_1=200\cdot3{,}14=628\,\mathsf{m}}$
  $\mathsf{U_2=200\pi\,\mathsf{m}\approx628{,}32\,\mathsf{m}}$
  $\mathsf{U_2-U_1\approx0{,}32\,\mathsf{m}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mit 3,14 $\mathsf{628\,\mathsf{m}}$
2. Mit Pi-Taste $\mathsf{628{,}32\,\mathsf{m}}$
3. Differenz $\mathsf{0{,}32\,\mathsf{m}}$

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