Geometrische Begriffe · Erklären & üben

Zentrische Streckung

Bei einer zentrischen Streckung bestimmt ein Zentrum $\mathsf{Z}$ zusammen mit einem Faktor $\mathsf{k}$ , wo jeder Bildpunkt liegt. Alle Abstände vom Zentrum werden mit $\mathsf{|k|}$ multipliziert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bildpunkte vom Zentrum aus konstruieren

Für $\mathsf{k>0}$ liegt $\mathsf{P\prime}$ auf dem Strahl von $\mathsf{Z}$ durch $\mathsf{P}$ . Zeichne diesen Strahl, miss $\mathsf{ZP}$ und trage die mit $\mathsf{k}$ multiplizierte Länge ab. Mit dem Zirkel kannst du bei ganzzahligen Faktoren die Ausgangslänge mehrfach abtragen. Das Zentrum bleibt fest. Für nicht entartete Ähnlichkeitsabbildungen gilt $\mathsf{k\ne0}$ .

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{\overrightarrow{ZP\prime}=k\,\overrightarrow{ZP}}$

So geht es am Beispiel

Es gilt $\mathsf{Z(0|0)}$ , $\mathsf{P(2|1)}$ und $\mathsf{k=3}$ . Bestimme den Bildpunkt.

\mathsf{P\prime=(3\cdot2\,|\,3\cdot1)}

Erklärung 02

Vergrößern, verkleinern und die Richtung wechseln

Bei $\mathsf{|k|>1}$ wird vergrößert, bei $\mathsf{0<|k|<1}$ verkleinert. Ein negativer Faktor setzt den Bildpunkt auf die andere Seite des Zentrums. Für $\mathsf{k=-1}$ entsteht eine Punktspiegelung; $\mathsf{k=1}$ lässt jeden Punkt unverändert. Bei $\mathsf{k=0}$ fallen alle Punkte ins Zentrum: Es entsteht keine ähnliche nicht entartete Figur.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{P\prime=Z+k(P-Z)}$

So geht es am Beispiel

Bestimme den Bildpunkt von $\mathsf{P(3|2)}$ für $\mathsf{Z(1|1)}$ und $\mathsf{k=-2}$ .

\mathsf{P-Z=(2|1)}

\mathsf{P\prime=(1|1)-2(2|1)=(-3|-1)}

Erklärung 03

Was bleibt gleich, was verändert sich?

Winkel bleiben gleich groß. Eine Gerade durch das Zentrum wird auf sich selbst abgebildet, eine andere Gerade auf eine parallele Gerade. Entsprechende Seitenlängen und der Umfang erhalten den Faktor $\mathsf{|k|}$ , Flächeninhalte den Faktor $\mathsf{k^2}$ . Verbinde die konstruierten Bildpunkte in derselben Eckreihenfolge.

Ordne zuerst die gegebenen Objekte und Größen zu.
Begründe das Ergebnis mit der angegebenen Eigenschaft.

$\mathsf{U\prime=|k|U,\qquad A\prime=k^2A}$

So geht es am Beispiel

Eine Figur mit Fläche $\mathsf{8\,\mathsf{cm}^2}$ wird mit $\mathsf{k=1{,}5}$ gestreckt. Bestimme die Bildfläche.

\mathsf{A\prime=1{,}5^2\cdot8\,\mathsf{cm}^2=18\,\mathsf{cm}^2}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zentrische Streckung · basisEs gilt $\mathsf{Z(0|0)}$ , $\mathsf{P(3|2)}$ und $\mathsf{k=2}$ . Berechne $\mathsf{P\prime}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P\prime=(2\cdot3\,|\,2\cdot2)=(6|4)}$
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(6|4)}$
02
Aufgabe 2Zentrische Streckung · standardBilde $\mathsf{P(4|2)}$ mit Zentrum $\mathsf{Z(0|0)}$ und $\mathsf{k=0{,}5}$ ab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P\prime=(0{,}5\cdot4\,|\,0{,}5\cdot2)=(2|1)}$
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(2|1)}$
03
Aufgabe 3Zentrische Streckung · standardEs gilt $\mathsf{Z(1|1)}$ , $\mathsf{P(3|1)}$ und $\mathsf{k=-2}$ . Bestimme $\mathsf{P\prime}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P-Z=(2|0)}$
  $\mathsf{P\prime=(1|1)-2(2|0)=(-3|1)}$
Ergebnis
1. Bildpunkt $\mathsf{P\prime(-3|1)}$
04
Aufgabe 4Zentrische Streckung · standardStrecke das Rasterdreieck $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(3|1)}$ , $\mathsf{C(1|2)}$ mit Zentrum $\mathsf{Z(0|0)}$ und $\mathsf{k=2}$ . Zeichne die Hilfsstrahlen, markiere die Bildpunkte und verbinde sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Streckungszeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Streckungszeichnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{A\prime(2|2),\quad B\prime(6|2),\quad C\prime(2|4)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder Bildpunkt hat vom Zentrum den doppelten Abstand in derselben Richtung.
Ergebnis
1. StreckungszeichnungBilddreieck mit $\mathsf{A\prime(2|2), B\prime(6|2), C\prime(2|4)}$ und Hilfsstrahlen.
05
Aufgabe 5Zentrische Streckung · standardEine Figur hat $\mathsf{U=12\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{A=6\,\mathsf{cm}^2}$ . Sie wird mit $\mathsf{k=3}$ gestreckt. Bestimme Bildumfang und Bildfläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bildumfang
Bildfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U\prime=3\cdot12\,\mathsf{cm}=36\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A\prime=3^2\cdot6\,\mathsf{cm}^2=54\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bildumfang $\mathsf{36\,\mathsf{cm}}$
2. Bildfläche $\mathsf{54\,\mathsf{cm}^2}$
06
Aufgabe 6Zentrische Streckung · transferErkläre den Unterschied zwischen $\mathsf{k=0}$ und $\mathsf{k=-1}$ . Ist jeweils das Bild eines Dreiecks wieder ein kongruentes Dreieck?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor null
Faktor minus eins
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei k=0 fallen alle drei Ecken ins Zentrum; das Dreieck entartet.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei k=-1 entsteht eine Punktspiegelung. Längen und Winkel bleiben erhalten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor nullAlle Punkte werden auf Z abgebildet; kein kongruentes Dreieck.
2. Faktor minus einsPunktspiegelung; das Bilddreieck ist kongruent.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die zentralen Begriffe an einer eigenen Skizze erklären.
Ich ordne entsprechende Größen und Einheiten richtig zu.
Ich begründe meine Lösung mit einer geometrischen Eigenschaft.

AT Academy · Version 2026-10-21