Kombinatorik · Erklären & üben

Ziegenproblem

Beim Ziegenproblem entscheidet die Regel des Moderators über die richtige Rechnung. Unter der festgelegten Standardregel gewinnt Wechseln doppelt so oft wie Bleiben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Experiment vollständig festlegen

Hinter drei Türen stehen ein Auto und zwei Ziegen. Das Auto ist vor dem Spiel gleichwahrscheinlich auf eine der drei Türen verteilt. Du wählst eine Tür, ohne die Position des Autos zu kennen.

Der Moderator kennt den Inhalt aller Türen. Er öffnet immer eine andere Tür mit Ziege und bietet immer den Wechsel zur einzigen anderen geschlossenen Tür an. Hat er zwei Ziegentüren zur Wahl, wählt er jede mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Diese Regel gilt unabhängig von deinem ersten Treffer.

Fixiere die erste Türwahl gedanklich auf Tür 1.
Unterscheide die drei möglichen Autopositionen.

$\mathsf{P(\textsf{Erstwahl Auto})=\frac13}$

Alle drei gleichwahrscheinlichen Autopositionen. Bei Auto hinter Tür1 entscheidet der Moderator fair zwischen den beiden Ziegentüren.

So geht es am Beispiel

Du wählst Tür 1. Das Auto steht hinter Tür 3. Welche Tür öffnet der Moderator, und was bringt Wechseln?

Er darf weder deine Tür 1 noch die Autotür 3 öffnen. Er öffnet daher Tür 2.

Die einzige andere geschlossene Tür ist Tür 3.

Erklärung 02

Bleiben und Wechseln vergleichen

Bleiben gewinnt genau dann, wenn die erste Wahl das Auto getroffen hat. Wechseln gewinnt genau dann, wenn die erste Wahl eine Ziege getroffen hat: Der Moderator entfernt die andere Ziege.

Zwei geschlossene Türen haben deshalb nach dem regelgebundenen Öffnen nicht automatisch gleiche Chancen. Das Öffnen ist eine informierte Auswahl und keine zufällige Entfernung einer beliebigen Tür.

Ordne jeder ursprünglichen Autoposition den Erfolg der Strategie zu.
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der passenden Fälle.

$\mathsf{P(\textsf{Gewinn beim Bleiben})=\frac13,\qquad P(\textsf{Gewinn beim Wechseln})=\frac23}$

Fallbaum mit Erstwahl Auto1/3 und Ziege2/3; informierter Moderator öffnet eine nichtgewählte Ziegentür. Wechsel verliert im ersten und gewinnt im zweiten Fall.

So geht es am Beispiel

Welche Gewinnchancen haben Bleiben und Wechseln unter der beschriebenen Regel?

Nur die erste Autoposition hinter deiner gewählten Tür begünstigt Bleiben. Die beiden anderen Positionen begünstigen Wechseln.

\mathsf{P(B)=\frac13,\qquad P(W)=\frac13+\frac13=\frac23}

Erklärung 03

Eine konkret geöffnete Tür

Auch wenn du die tatsächlich geöffnete Tür beobachtest, müssen die Öffnungswahrscheinlichkeiten mitgezählt werden. Unter unserer fairen Moderatorregel bleibt der Wechselvorteil bestehen.

Öffnet ein uninformierter Moderator zufällig irgendeine nichtgewählte Tür, könnte er das Auto zeigen. Bedingte Aussagen nach einer zufällig gezeigten Ziege gehören zu einem anderen Experiment. Die allgemeine Rechnung behandelt das Thema Satz von Bayes.

Berechne die Wahrscheinlichkeit jedes Falls zusammen mit der Beobachtung.
Normiere durch die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung.

$\mathsf{P(A\mid O)=\frac{P(A\cap O)}{P(O)},\qquad P(O)>0}$

So geht es am Beispiel

Du wählst Tür 1 und der informierte Moderator öffnet Tür 3. Wie wahrscheinlich steht das Auto hinter Tür 2?

Bei Auto hinter Tür 1 öffnet er Tür 3 mit Chance 1/2; bei Auto hinter Tür 2 sicher; bei Auto hinter Tür 3 nie.

\mathsf{P(O_3)=\frac13\cdot\frac12+\frac13=\frac12}

\mathsf{P(A_2\mid O_3)=\frac{1/3}{1/2}=\frac23}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ziegenproblem · EinstiegUnter der beschriebenen Standardregel: Wie wahrscheinlich trifft die erste Wahl das Auto, und wie wahrscheinlich trifft sie eine Ziege?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Auto bei Erstwahl
Ziege bei Erstwahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine der drei gleichwahrscheinlichen Türen enthält das Auto.
  $\mathsf{P(\textsf{Auto})=\frac13}$
  $\mathsf{P(\textsf{Ziege})=\frac23}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Auto bei Erstwahl $\mathsf{\frac13}$
2. Ziege bei Erstwahl $\mathsf{\frac23}$
02
Aufgabe 2Ziegenproblem · EinstiegDu wählst Tür 2. Das Auto steht hinter Tür 1. Welche Tür öffnet der informierte Moderator zwingend, und wohin führt Wechseln?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Geöffnete Tür
Wechselziel und Ausgang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Tür 2 ist gewählt und Tür 1 enthält das Auto; nur Tür 3 darf geöffnet werden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Wechseln führt zur anderen geschlossenen Tür 1.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Geöffnete TürTür 3.
2. Wechselziel und AusgangTür 1; Gewinn des Autos.
03
Aufgabe 3Ziegenproblem · AnwendenErgänze für jede mögliche Autoposition die Ergebnisse von Bleiben und Wechseln. Die erste Wahl ist Tür 1; die Standardregel gilt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Strategievergleich
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Strategievergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ist die Erstwahl richtig, verliert Wechseln. Ist sie falsch, entfernt der Moderator die andere Ziege, sodass Wechseln gewinnt.
Ergebnis
1. StrategievergleichAuto 1: Bleiben Gewinn, Wechseln Verlust; Auto 2 oder 3: Bleiben Verlust, Wechseln Gewinn.
04
Aufgabe 4Ziegenproblem · AnwendenBerechne unter der Standardregel die Gewinnchance beim Wechseln und ihren Abstand zur Gewinnchance beim Bleiben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wechselchance
Abstand der Wahrscheinlichkeiten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wechseln gewinnt in zwei der drei gleichwahrscheinlichen Ausgangsfälle.
  $\mathsf{P(W)=\frac23}$
  $\mathsf{P(W)-P(B)=\frac23-\frac13=\frac13}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wechselchance $\mathsf{\frac23}$
2. Abstand der Wahrscheinlichkeiten $\mathsf{\frac13}$
05
Aufgabe 5Ziegenproblem · TransferDu wählst Tür 1. Der Moderator kennt die Türen, öffnet stets eine andere Ziegentür und wählt bei zwei Möglichkeiten fair. Er öffnet Tür 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit dieser Beobachtung und die bedingte Autowahrscheinlichkeit hinter Tür 3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tür 2 wird geöffnet
Auto hinter Tür 3 bei Beobachtung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei Auto hinter Tür 1 wird Tür 2 mit Chance 1/2 geöffnet; bei Auto hinter Tür 3 sicher.
  $\mathsf{P(O_2)=\frac13\cdot\frac12+\frac13=\frac12}$
  $\mathsf{P(A_3\mid O_2)=\frac{1/3}{1/2}=\frac23}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Tür 2 wird geöffnet $\mathsf{\frac12}$
2. Auto hinter Tür 3 bei Beobachtung $\mathsf{\frac23}$
06
Aufgabe 6Ziegenproblem · TransferAbweichende Regel: Du wählst Tür 1. Ein uninformierter Moderator wählt zufällig Tür 2 oder 3 und öffnet sie, auch wenn dort das Auto steht. Du beobachtest eine Ziege, ohne die Türnummer auszuwerten. Wie groß ist nun die bedingte Gewinnchance beim Wechseln?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingte Wechselchance
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Auto hinter der Erstwahl und gezeigte Ziege treten gemeinsam mit Wahrscheinlichkeit 1/3 auf.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auto hinter einer anderen Tür und gezeigte Ziege treten gemeinsam mit Wahrscheinlichkeit 2/3 mal 1/2 auf.
  $\mathsf{P(\textsf{Ziege gezeigt})=\frac13+\frac23\cdot\frac12=\frac23}$
  $\mathsf{P(\textsf{Wechselgewinn}\mid\textsf{Ziege gezeigt})=\frac{1/3}{2/3}=\frac12}$
Ergebnis
1. Bedingte Wechselchance $\mathsf{\frac12}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide die ursprüngliche Autoposition von der Beobachtung einer geöffneten Tür.
Ich vergleiche Bleiben und Wechseln unter derselben Moderatorregel.
Ich benenne das Wissen und feste Öffnungsverhalten des Moderators vor der Rechnung.

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