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Kombinatorik · Erklären & üben

Permutation ohne Wiederholung

Eine Permutation ohne Wiederholung ordnet alle verschiedenen Objekte genau einmal in einer Reihe an.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jedes Objekt genau einmal

Alle n Objekte sind unterscheidbar und werden auf n unterscheidbare Plätze verteilt. Das Ergebnis ist eine lineare Reihenfolge. Drehungen oder Spiegelungen werden nicht zusammengefasst.

  1. Prüfe, ob alle Objekte angeordnet werden.

  2. Lege fest, was als derselbe Platz gilt.

Pn=n!\mathsf{P_n=n!}

Abnehmende Auswahlzahlen für die vollständige Anordnung vier verschiedener Objekte.

So geht es am Beispiel

Ordne die drei verschiedenen Karten A, B, C.

Für den ersten Platz gibt es drei, für den zweiten zwei und für den letzten eine Wahl.

N=3⋅2⋅1=6\mathsf{N=3\cdot2\cdot1=6}

Ergebnis

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Erklärung 02

Fakultät verwenden

Die Fakultät multipliziert die positiven ganzen Zahlen bis n. Für keinen Gegenstand gibt es genau eine leere Anordnung, deshalb ist die Fakultät von 0 gleich 1.

  1. Schreibe zunächst das abnehmende Produkt.

  2. Nutze bei längeren Produkten die Fakultätsschreibweise.

n!=n(n−1)⋯1,0!=1\mathsf{n!=n(n-1)\cdots1,\qquad0!=1}

So geht es am Beispiel

Fünf verschiedene Bücher stehen in einer Reihe. Wie viele Reihenfolgen gibt es?

N=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120\mathsf{N=5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120}

Ergebnis

120 Reihenfolgen.

Erklärung 03

Zusätzliche Bedingungen zuerst berücksichtigen

Ein festgelegter Platz nimmt ein Objekt aus der freien Anordnung heraus. Müssen zwei Objekte nebeneinander stehen, kann ihr Paar zunächst als ein Block behandelt werden. Die innere Reihenfolge des Blocks muss anschließend berücksichtigt werden.

Bei einem runden Tisch ist festzulegen, ob Drehungen als dieselbe Anordnung gelten. Wenn nur Drehungen gleichgesetzt werden und Spiegelungen verschieden bleiben, fixiert man eine Person und ordnet die übrigen an.

  1. Verarbeite feste Positionen oder Blöcke.

  2. Zähle erst dann die verbleibenden Anordnungen.

NKreis=(n−1)!(n≥1)\mathsf{N_{\mathsf{Kreis}}=(n-1)!\quad(n\geq1)}

Benachbarte A und B bilden einen Block; seine innere Reihenfolge hat zwei Möglichkeiten.

So geht es am Beispiel

A und B sollen in einer Reihe mit C und D direkt nebeneinander stehen. Wie viele Reihenfolgen gibt es?

Der Block und C und D bilden drei Einheiten. Der Block selbst kann AB oder BA sein.

N=3!⋅2=12\mathsf{N=3!\cdot2=12}

Ergebnis

12 Reihenfolgen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Permutation ohne Wiederholung · EinstiegVier verschiedene Bilder werden nebeneinander gehängt. Wie viele Reihenfolgen gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      N=4!=24\mathsf{N=4!=24}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Alle vier Plätze sind unterscheidbar.

    Ergebnis

    1. Reihenfolgen24\mathsf{24}
  2. Aufgabe 2Permutation ohne Wiederholung · EinstiegSechs verschiedene Bücher stehen in einer Reihe. Ein bestimmtes Buch muss ganz links stehen. Bestimme die Anzahl der Reihenfolgen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der erste Platz ist fest; fünf Bücher werden frei angeordnet.

      N=5!=120\mathsf{N=5!=120}

    Ergebnis

    1. Reihenfolgen120\mathsf{120}
  3. Aufgabe 3Permutation ohne Wiederholung · AnwendenTrage alle Reihenfolgen von A, B, C in die Vorlage ein. Jede Karte wird genau einmal benutzt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Alle Reihenfolgen

    Vorbereitete Tabelle: Alle Reihenfolgen von A, B, C; 1. Platz, 2. Platz, 3. Platz. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nach jedem ersten Zeichen gibt es genau zwei Möglichkeiten für die restlichen Zeichen.

    Ergebnis

    1. Alle ReihenfolgenABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
  4. Aufgabe 4Permutation ohne Wiederholung · AnwendenDie verschiedenen Personen A, B, C, D, E stehen in einer Reihe. A und B sollen unmittelbar nebeneinander stehen. Wie viele Reihenfolgen gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Block und drei einzelne Personen bilden vier Einheiten. Im Block sind zwei Reihenfolgen möglich.

      N=4!⋅2=48\mathsf{N=4!\cdot2=48}

    Ergebnis

    1. Reihenfolgen48\mathsf{48}
  5. Aufgabe 5Permutation ohne Wiederholung · TransferVier verschiedene Personen sitzen am runden Tisch. Drehungen gelten als gleich, Spiegelungen bleiben verschieden. Wie viele Sitzordnungen gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Fixiere A als Bezugspunkt; die drei anderen werden im Uhrzeigersinn angeordnet.

      N=3!=6\mathsf{N=3!=6}

    Ergebnis

    1. Sitzordnungen6\mathsf{6}
  6. Aufgabe 6Permutation ohne Wiederholung · TransferFünf verschiedene Karten werden gleichmäßig zufällig in eine Reihe gebracht. Wie wahrscheinlich steht die Karte A ganz links?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Von den 120 Reihenfolgen haben 24 die Karte A links.

      P=4!5!=15\mathsf{P=\frac{4!}{5!}=\frac15}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit15\mathsf{\frac15}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich berücksichtige feste Plätze, Blöcke und ausdrücklich festgelegte Kreis-Konventionen.

AT Academy · Version 2026-10-21

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