Zinsrechnung · Erklären & üben

Zinseszins Formel

Die Zinseszinsformel beschreibt ein Modell mit gleichbleibendem Zinssatz und regelmäßiger Wiederanlage der Zinsen. Alle folgenden Zinssätze sind frei gewählte Rechenwerte. Ohne anderslautende Angabe wird intern ungerundet gerechnet und erst der Endbetrag auf Cent gerundet.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine Periode, ein Faktor

Das Startkapital ist K₀. Am Ende jeder gleich langen Periode werden die Zinsen dem Kapital zugeschlagen. Ist p die Prozentzahl des Periodenzinssatzes, lautet der Wachstumsfaktor q gleich 1 plus p durch 100. Der Exponent n zählt genau diese Buchungsperioden. Bei jährlicher Buchung ist p der Jahreszinssatz. Wir verwenden positives Startkapital und q größer als null.

Bestimme Buchungsperiode und dazu passenden Zinssatz.
Berechne den Periodenfaktor.
Potenziere ihn mit der Anzahl der Perioden.
Multipliziere mit dem Startkapital.

$\mathsf{K_n=K_0q^n}$ , $\mathsf{q=1+\frac{p}{100}}$

1000 Euro wachsen bei jährlicher Wiederanlage mit Faktor 1,1 nach einem Jahr auf 1100 und nach zwei Jahren auf 1210 Euro.

So geht es am Beispiel

1000 € werden im Modell jährlich zu 10 % verzinst; die Zinsen bleiben angelegt. Berechne das Kapital nach zwei Jahren.

Jahresfaktor: $\mathsf{1+0{,}1=1{,}1}$

Nach einem Jahr: $\mathsf{1000\cdot1{,}1=1100}$

Nach zwei Jahren: $\mathsf{1100\cdot1{,}1=1210}$

Erklärung 02

Startkapital und Zinssatz zurückrechnen

Für das Startkapital teilst du das Endkapital durch q hoch n. Für den Periodenfaktor ziehst du aus dem Verhältnis von Endkapital und Startkapital die n-te positive Wurzel. Dazu müssen beide Kapitalwerte positiv und n größer als null sein. Danach ziehst du 1 ab und multiplizierst mit 100 zur Prozentzahl.

Prüfe positive Kapitalwerte und passende Periodenzahl.
Berechne q oder teile durch q hoch n.
Kennzeichne den errechneten Zinssatz als Periodenzinssatz.

$\mathsf{K_0=\frac{K_n}{q^n}}$ $\mathsf{q=\sqrt[n]{K_n/K_0}}$ und $\mathsf{p=100(q-1)}$

Für zwei Perioden wird das Startkapital mit q Quadrat multipliziert. Rückwärts wird das Endkapital durch q Quadrat geteilt. Der Periodenfaktor q ist positiv.

So geht es am Beispiel

Nach zwei jährlichen Gutschriften zu 10 % beträgt das Endkapital 1210 €. Bestimme das Startkapital.

Faktorquadrat: $\mathsf{1{,}1^2=1{,}21}$

Rückrechnung: $\mathsf{1210:1{,}21=1000}$

So geht es am Beispiel

1000 € werden bei jährlicher Wiederanlage in zwei Jahren zu 1210 €. Bestimme den konstanten Jahreszinssatz.

Kapitalverhältnis: $\mathsf{1210:1000=1{,}21}$

Positive Quadratwurzel: $\mathsf{\sqrt{1{,}21}=1{,}1}$

Zinsfaktoranteil: $\mathsf{1{,}1-1=0{,}1}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}1\cdot100=10}$

Erklärung 03

Dauer und ganze Buchungsperioden

Bei q größer als null und ungleich 1 lässt sich die Dauer mit Logarithmen berechnen. Kₙ durch K₀ muss positiv sein. Ein berechnetes nichtganzzahliges n ist zunächst eine algebraische Modellgröße. Bei ausschließlich ganzen Buchungsperioden prüfst du die benachbarten ganzen Werte. Bei Wachstum q größer als 1 muss für eine Mindestschwelle normalerweise auf die nächste ganze Periode aufgerundet werden. Bei q gleich 1 bleibt das Kapital konstant: Ein anderer Zielwert wird nie erreicht, der gleiche Zielwert schon von Beginn an.

Prüfe q und das positive Kapitalverhältnis.
Berechne die algebraische Periodenzahl oder vergleiche passende Potenzen.
Bei einer Schwelle prüfe ganze Buchungsperioden.

$\mathsf{n=\frac{\ln(K_n/K_0)}{\ln q}}$ für $\mathsf{q>0}$ , $\mathsf{q\ne1}$

Gleich skalierte Balken zeigen 1100 Euro nach einem Jahr und 1210 Euro nach zwei Jahren. Die gestrichelte Schwelle liegt bei 1200 Euro. Erstmals nach zwei Jahren liegt das Kapital darüber.

So geht es am Beispiel

1000 € sollen bei jährlicher Gutschrift von 10 % mindestens 1200 € erreichen. Wie viele volle Jahre sind nötig?

Nach einem Jahr: $\mathsf{1000\cdot1{,}1=1100}$

Nach zwei Jahren: $\mathsf{1100\cdot1{,}1=1210}$

1100 € liegt unter der Schwelle, 1210 € erreicht sie.

Erklärung 04

Nominal, periodisch und effektiv

Ein nominaler Jahreszinssatz mit ausdrücklich vereinbarter gleichmäßiger Aufteilung wird durch die Zahl der Jahresperioden geteilt. Der effektive Jahreszins enthält dagegen den Zinseszinseffekt aller unterjährigen Gutschriften. Ein effektiver Jahreszins darf nicht einfach durch 12 geteilt werden, um einen gleichwertigen Monatszins mit Wiederanlage zu erhalten. Ohne Wiederanlage werden die Zinsen stets auf das ursprüngliche Kapital berechnet.

Weiterlernen: „Zinsrechnung Aufgaben“ bietet weitere Modelle. Gebühren, Steuern und wechselnde Zinssätze sind hier nicht enthalten.

Lies die Art des angegebenen Zinssatzes.
Ordne den passenden Zinssatz der Buchungsperiode zu.
Unterscheide Wiederanlage von einfacher Verzinsung.

$\mathsf{p_{\mathsf{eff}}=100((1+j/m)^m-1)}$ bei nominalem Jahresfaktoranteil j und m gleichartigen Jahresperioden

Ein nominaler Jahreszinssatz von 12 Prozent wird vereinbarungsgemäß auf zwölf Monatszinssätze von je 1 Prozent verteilt. Bei monatlicher Wiederanlage ergibt sich ein effektiver Jahreszinssatz von ungefähr 12,68 Prozent.

So geht es am Beispiel

Im Modell wird ein nominaler Jahreszins von 12 % gleichmäßig auf zwölf Monate verteilt und monatlich gutgeschrieben. Bestimme Monatszinssatz und effektiven Jahreszinssatz.

Monatliche Prozentzahl: $\mathsf{12:12=1}$

Monatsfaktor: $\mathsf{1+0{,}01=1{,}01}$

Jahresfaktor: $\mathsf{1{,}01^{12}\approx1{,}126825}$

Effektive Prozentzahl: $\mathsf{100(1{,}01^{12}-1)\approx12{,}68}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche bei 1000 € und 10 % jährlich zwei Jahre mit Wiederanlage und zwei Jahre ohne Wiederanlage.

Jährlicher einfacher Zins: $\mathsf{1000\cdot0{,}1=100}$

Zwei einfache Jahreszinsen: $\mathsf{2\cdot100=200}$

Kapital einschließlich dieser Zinsen: $\mathsf{1000+200=1200}$

Mit Wiederanlage: $\mathsf{1000\cdot1{,}1^2=1210}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zinseszins Formel · Basis500 € werden jährlich mit 4 % verzinst und die Zinsen wiederangelegt. Berechne den Jahresfaktor und das Kapital nach zwei Jahren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahresfaktor
Endkapital
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1+0{,}04=1{,}04}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Faktorquadrat: $\mathsf{1{,}04^2=1{,}0816}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Endkapital: $\mathsf{500\cdot1{,}0816=540{,}8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Jahresfaktor1,04
2. Endkapital540,80 €
02
Aufgabe 2Zinseszins Formel · Basis1000 € werden für drei Jahre jährlich mit 5 % und Wiederanlage verzinst. Runde nur das Endkapital auf Cent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endkapital
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes Jahr: $\mathsf{1000\cdot1{,}05=1050}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweites Jahr: $\mathsf{1050\cdot1{,}05=1102{,}5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Drittes Jahr: $\mathsf{1102{,}5\cdot1{,}05=1157{,}625}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Auf Cent gerundet ergibt sich 1157,63 €.
Ergebnis
1. Endkapital1157,63 €
03
Aufgabe 3Zinseszins Formel · BasisNach zwei Jahren mit 5 % jährlicher Wiederanlage liegen 2205 € vor. Bestimme das Startkapital.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Startkapital
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktorquadrat: $\mathsf{1{,}05^2=1{,}1025}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Startkapital: $\mathsf{2205:1{,}1025=2000}$
Ergebnis
1. Startkapital2000,00 €
04
Aufgabe 4Zinseszins Formel · Übung800 € wachsen bei zwei jährlichen Gutschriften auf 882 €. Bestimme den konstanten Jahreszinssatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verhältnis: $\mathsf{882:800=1{,}1025}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{\sqrt{1{,}1025}=1{,}05}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Faktoranteil: $\mathsf{1{,}05-1=0{,}05}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}05\cdot100=5}$
Ergebnis
1. Jahreszinssatz5 %
05
Aufgabe 5Zinseszins Formel · Übung1000 € wachsen bei jährlicher Wiederanlage zu 10 %. Nach wie vielen vollen Jahren werden erstmals mindestens 1300 € erreicht?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volle Jahre
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nach einem Jahr: $\mathsf{1000\cdot1{,}1=1100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach zwei Jahren: $\mathsf{1100\cdot1{,}1=1210}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nach drei Jahren: $\mathsf{1210\cdot1{,}1=1331}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  1210 € reicht nicht; 1331 € erreicht die Schwelle.
Ergebnis
1. Volle Jahre3 Jahre
06
Aufgabe 6Zinseszins Formel · ÜbungEin nominaler Jahreszins von 8 % wird im Modell gleichmäßig auf vier Quartale verteilt. Bei vierteljährlicher Wiederanlage: Bestimme Quartalszinssatz und Kapital aus 1000 € nach zwei Quartalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quartalszinssatz
Kapital nach zwei Quartalen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quartalsprozentzahl: $\mathsf{8:4=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Quartalsfaktor: $\mathsf{1+0{,}02=1{,}02}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nach zwei Quartalen: $\mathsf{1000\cdot1{,}02^2=1040{,}4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quartalszinssatz2 %
2. Kapital nach zwei Quartalen1040,40 €
07
Aufgabe 7Zinseszins Formel · TransferEin Kapital von 700 € hat im Modell den Periodenfaktor 1. Kann es dadurch jemals 800 € erreichen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Multiplikation mit 1 verändert das Kapital in keiner Periode.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungBei Faktor 1 bleiben in jeder Periode 700 €. Der Zielwert 800 € wird nicht erreicht.
08
Aufgabe 8Zinseszins Formel · TransferVergleiche 2000 € für zwei Jahre zu 5 % jährlich mit und ohne Wiederanlage. Gib beide Gesamtbeträge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ohne Wiederanlage
Mit Wiederanlage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einfacher Jahreszins: $\mathsf{2000\cdot0{,}05=100}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zwei einfache Zinsen: $\mathsf{2\cdot100=200}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ohne Wiederanlage: $\mathsf{2000+200=2200}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Mit Wiederanlage: $\mathsf{2000\cdot1{,}05^2=2205}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ohne Wiederanlage2200,00 €
2. Mit Wiederanlage2205,00 €
09
Aufgabe 9Zinseszins Formel · TransferDarf ein effektiver Jahreszinssatz bei monatlicher Wiederanlage einfach durch zwölf geteilt werden, um einen exakt gleichwertigen Monatszinssatz zu erhalten? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der effektive Jahresfaktor enthält bereits alle monatlichen Zinseszinsschritte.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Monatsfaktor ist die zwölfte Wurzel des Jahresfaktors.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungGleichwertige Monatsfaktoren müssen über zwölf Multiplikationen den effektiven Jahresfaktor ergeben. Deshalb wird eine zwölfte Wurzel benötigt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ordne Zinssatz und Exponent derselben Periode zu.
Ich rechne Startkapital und Periodenzinssatz zurück.
Ich prüfe ganze Perioden bei Schwellenfragen.
Ich unterscheide nominalen und effektiven Jahreszins.

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