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Zinsrechnung · Erklären & üben

Zinsrechnung

Alle Zinssätze dieses Materials sind frei erfundene Angaben für schulische Modelle. Wir rechnen ohne Gebühren, Steuern, Einzahlungen oder Entnahmen. Jede Aufgabe nennt Zeitraum und Buchungsannahme.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Kapital und Jahreszins

Das Kapital K ist die Bezugsgröße. Die jährliche Prozentzahl p gehört zu einem vollen Jahr. Bei einfacher Verzinsung lautet der Jahreszins Z=K⋅p100\mathsf{Z=K\cdot\frac p{100}}. Der Zinsbetrag ist nur der Zuwachs; bei Auszahlung oder Gutschrift am Ende des betrachteten Jahres ist das Gesamtguthaben K+Z\mathsf{K+Z}.

  1. Ordne Kapital, jährlichen Satz und Zeitraum zu

  2. Berechne zuerst den Zinsbetrag.

Zinsbetrag und Endkapital sind unterschiedliche Größen.

Bei zweitausendvierhundert Euro Kapital und zwei Komma fünf Prozent pro Jahr entstehen in einem vollen Jahr sechzig Euro einfache Zinsen. Erst die Summe aus Kapital und Zinsen ist das Endkapital zweitausendvierhundertsechzig Euro.

So geht es am Beispiel

Ein Modellkapital von 2400 Euro wird ein Jahr lang einfach mit 2,5 Prozent pro Jahr verzinst. Berechne Zinsen und Endkapital.

Z=2400⋅0,025\mathsf{Z=2400\cdot0{,}025}

Z=60\mathsf{Z=60}

2400+60=2460\mathsf{2400+60=2460}

Ergebnis

60 Euro Zinsen; 2460 Euro Endkapital.

Erklärung 02

Monats- und Tageszinsen im vereinbarten Modell

Bei zeitanteiliger einfacher Verzinsung über m Monate verwenden wir Z=K⋅p100⋅m12\mathsf{Z=K\cdot\frac p{100}\cdot\frac m{12}}. Für die Tagesaufgaben ist ausdrücklich ein Modelljahr mit 360 Zinstagen vereinbart; die Anzahl t der Zinstage wird vorgegeben. Dann gilt Z=K⋅p100⋅t360\mathsf{Z=K\cdot\frac p{100}\cdot\frac t{360}}. Es erfolgt innerhalb dieses Zeitraums keine Wiederanlage der Zinsen.

  1. Nimm den Jahreszinssatz

  2. Multipliziere mit dem vereinbarten Jahresanteil.

Ein Jahreszinssatz ist nicht automatisch ein Monatszinssatz.

Zwölf gleiche Monatsfelder, davon vier gefärbt, zeigen ein Drittel Jahr. Ein zweiter Balken zeigt zweiundsiebzig von dreihundertsechzig vorgegebenen Zinstagen, also ein Fünftel. Die Jahreskonvention ist ausdrücklich Teil des Modells.

So geht es am Beispiel

3600 Euro werden bei 4 Prozent pro Jahr vier Monate einfach verzinst. Berechne die Zinsen.

Z=3600⋅0,04⋅412\mathsf{Z=3600\cdot0{,}04\cdot\frac4{12}}

Z=48\mathsf{Z=48}

Ergebnis

48 Euro

So geht es am Beispiel

5000 Euro werden bei 3 Prozent pro Jahr für vorgegebene 72 Zinstage einfach verzinst. Vereinbart ist ein 360-Tage-Modelljahr.

Z=5000⋅0,03⋅72360\mathsf{Z=5000\cdot0{,}03\cdot\frac{72}{360}}

Z=30\mathsf{Z=30}

Ergebnis

30 Euro

Erklärung 03

Zeitkonvention und Umkehrfragen

Die häufig als deutsche oder kaufmännische Zinsmethode bezeichnete 30/360-Konvention arbeitet mit rechnerischen Monaten zu dreißig Tagen und einem Jahr zu dreihundertsechzig Tagen. Kalender-Sonderregeln müssen bei konkreten Daten gesondert festgelegt werden; sie sind keine allgemeine Vorgabe dieses Materials. Hier sind die Zinstage bereits gegeben. Andere vereinbarte Jahreslängen führen zu anderen Ergebnissen. Mit dem Jahresanteil f lautet der einfache Zins Z=K⋅p100⋅f\mathsf{Z=K\cdot\frac p{100}\cdot f}. Bei p und f ungleich null ist K=Z(p/100)f\mathsf{K=\frac{Z}{(p/100)f}}. Bei K und f ungleich null ist p=100ZKf\mathsf{p=\frac{100Z}{Kf}}. Bei K und p ungleich null ist f=ZK(p/100)\mathsf{f=\frac{Z}{K(p/100)}}.

  1. Behalte die vereinbarte Zeiteinheit bei

  2. Prüfe vor dem Rückrechnen jeden Divisor.

Die Zeitkonvention ist Teil der Aufgabenangabe.

So geht es am Beispiel

24 Euro Zinsen entstehen in sechs Monaten bei 3 Prozent Jahreszins. Bestimme das Kapital im einfachen Monatsmodell.

K=240,03⋅(6/12)\mathsf{K=\frac{24}{0{,}03\cdot(6/12)}}

K=1600\mathsf{K=1600}

Ergebnis

1600 Euro

Erklärung 04

Wiederanlage und Zinsperiode

Werden Zinsen nach jedem Jahr dem Kapital zugeschlagen und im nächsten Jahr mitverzinst, entsteht Zinseszins. Bei konstantem jährlichem Satz p lautet der Jahresfaktor q=1+p100\mathsf{q=1+\frac p{100}} und nach n Jahren Kn=K0qn\mathsf{K_n=K_0q^n}. Bei anderer Buchungsperiode muss p ausdrücklich der Satz dieser Periode sein. Ein nominaler Jahreszins mit vereinbarter Aufteilung und ein effektiver Jahreszins sind verschiedene Angaben.

  1. Prüfe, wann Zinsen gutgeschrieben werden

  2. Verwende den Satz genau dieser Buchungsperiode.

Nur wiederangelegte Zinsen werden in späteren Perioden mitverzinst.

So geht es am Beispiel

1000 Euro erhalten zwei Jahre lang jährlich 5 Prozent, jeweils am Jahresende wiederangelegt. Runde erst das Endergebnis auf Cent.

K1=1000⋅1,05\mathsf{K_1=1000\cdot1{,}05}

K1=1050\mathsf{K_1=1050}

K2=1050⋅1,05\mathsf{K_2=1050\cdot1{,}05}

K2=1102,50\mathsf{K_2=1102{,}50}

Ergebnis

1102,50 Euro Endkapital; 102,50 Euro gesamte Zinsen.

Erklärung 05

Formelkarte und Weiterüben

Die Formelkarte trennt Jahres-, Monats- und Tageszinsen von der Wiederanlage. Zinsrechnung Aufgaben übt die Auswahl des passenden Modells. Die Ergebnisse beschreiben nur die angegebenen Rechenannahmen und keine aktuellen Angebote oder erwarteten Erträge.

  1. Prüfe Modell, Zeitraum und Einheit vor jeder Rechnung

  2. Runde Geldbeträge wie in der Aufgabe angegeben.

Eine Formel ersetzt keine fehlende Zeit- oder Buchungsangabe.

Vier Formeln sind mit ihren Annahmen beschriftet: Jahreszins, zeitanteiliger Monatszins, Tageszins im vereinbarten dreihundertsechzig-Tage-Modell und Endkapital bei Wiederanlage mit Satz pro Buchungsperiode.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Zinsrechnung · 1Berechne die einfachen Jahreszinsen für 3200 Euro bei 3,5 Prozent pro Jahr.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Z=3200⋅0,035\mathsf{Z=3200\cdot0{,}035}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Z=112\mathsf{Z=112}

    Ergebnis

    1. Jahreszinsen112 Euro
  2. Aufgabe 2Zinsrechnung · 11800 Euro werden ein Jahr einfach mit 4 Prozent pro Jahr verzinst. Nenne Zinsbetrag und Endkapital.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Z=1800⋅0,04\mathsf{Z=1800\cdot0{,}04}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Z=72\mathsf{Z=72}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      1800+72=1872\mathsf{1800+72=1872}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zinsbetrag72 Euro
    2. Endkapital1872 Euro
  3. Aufgabe 3Zinsrechnung · 2Berechne die einfachen Zinsen für 4200 Euro bei 6 Prozent pro Jahr und fünf Monaten. Verwende zwölf Monate pro Jahr.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Z=4200⋅0,06⋅512\mathsf{Z=4200\cdot0{,}06\cdot\frac5{12}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Z=105\mathsf{Z=105}

    Ergebnis

    1. Zinsen für fünf Monate105 Euro
  4. Aufgabe 4Zinsrechnung · 2Berechne die einfachen Zinsen für 2400 Euro bei 5 Prozent pro Jahr und vorgegebenen 45 Zinstagen im 360-Tage-Modell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Z=2400⋅0,05⋅45360\mathsf{Z=2400\cdot0{,}05\cdot\frac{45}{360}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Z=15\mathsf{Z=15}

    Ergebnis

    1. Zinsbetrag15 Euro
  5. Aufgabe 5Zinsrechnung · 236 Euro Zinsen entstehen in neun Monaten bei 4 Prozent Jahreszins. Bestimme das Kapital; einfache Verzinsung, zwölf Monate pro Jahr.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      K=360,04⋅(9/12)\mathsf{K=\frac{36}{0{,}04\cdot(9/12)}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      K=1200\mathsf{K=1200}

    Ergebnis

    1. Kapital1200 Euro
  6. Aufgabe 6Zinsrechnung · 21500 Euro erbringen in sechs Monaten 30 Euro einfache Zinsen. Bestimme den jährlichen Zinssatz im Zwölfmonatsmodell.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      p=100⋅301500⋅(6/12)\mathsf{p=\frac{100\cdot30}{1500\cdot(6/12)}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      p=4\mathsf{p=4}

    Ergebnis

    1. Jährlicher Zinssatz4 Prozent pro Jahr
  7. Aufgabe 7Zinsrechnung · 3Ein Kapital von 1000 Euro wird zweimal jährlich mit jeweils 2 Prozent pro Halbjahr verzinst; die Zinsen werden nach jedem Halbjahr wiederangelegt. Berechne Endkapital und effektiven Jahreszins. Runde erst am Ende auf Cent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      K1=1000⋅1,02\mathsf{K_1=1000\cdot1{,}02}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      K1=1020\mathsf{K_1=1020}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      K2=1020⋅1,02\mathsf{K_2=1020\cdot1{,}02}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      K2=1040,40\mathsf{K_2=1040{,}40}

    5. Schritt 5 · Erklärung

      (1,022−1)⋅100=4,04\mathsf{(1{,}02^2-1)\cdot100=4{,}04}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Endkapital1040,40 Euro
    2. Effektiver Jahreszins4,04 Prozent
  8. Aufgabe 8Zinsrechnung · 3Jemand berechnet für einen Monat bei 12 Prozent Jahreszins volle 12 Prozent des Kapitals. Ist das im einfachen Zwölfmonatsmodell richtig? Nenne den Prozentsatz für einen Monat und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      12:12=1\mathsf{12:12=1}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UrteilNein
    2. Satz für einen Monat1 Prozent
    3. BegründungZwölf Prozent gehören zum ganzen Jahr. Ein Monat ist hier ein Zwölftel des Jahres, also ein Prozent des Kapitals.
  9. Aufgabe 9Zinsrechnung · 35000 Euro werden bei 3,6 Prozent Jahreszins für 73 vorgegebene Zinstage einfach verzinst. Berechne getrennt nach vereinbartem 360-Tage-Jahr und nach vereinbartem 365-Tage-Jahr.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Z360=5000⋅0,036⋅73360\mathsf{Z_{360}=5000\cdot0{,}036\cdot\frac{73}{360}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Z360=36,50\mathsf{Z_{360}=36{,}50}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Z365=5000⋅0,036⋅73365\mathsf{Z_{365}=5000\cdot0{,}036\cdot\frac{73}{365}}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      Z365=36\mathsf{Z_{365}=36}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zinsen im 360-Tage-Modell36,50 Euro
    2. Zinsen im 365-Tage-Modell36 Euro

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich benenne Zinsperiode und Zeitkonvention.
  • Ich trenne Zinsbetrag und Endkapital.
  • Ich beachte Wiederanlage und Rundungsregel.

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