Zinsrechnung · Erklären & üben

Zinssatz berechnen

Ein Zinssatz braucht immer einen Zeitbezug. Die folgenden Beispiele verwenden fiktive Werte und einfache Verzinsung, sofern Wiederanlage nicht ausdrücklich genannt ist. Wir unterscheiden die Prozentzahl des Jahreszinssatzes von der des tatsächlich betrachteten Zeitraums.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Aus Zinsen einen Jahreszinssatz bestimmen

Bei einfacher Verzinsung ist Z durch K der Zinsanteil für den beobachteten Zeitraum. Erst die Division durch dessen Länge t in Jahren liefert den jährlichen Faktoranteil. Kapital und Zeit müssen von null verschieden sein. In den Sachaufgaben sind beide positiv.

Bestimme den Zeitraum und wandle ihn in Jahre um.
Teile Z durch Kapital und Jahresanteil.
Multipliziere den Faktor mit 100.

$\mathsf{p=\frac{100Z}{Kt}}$ für $\mathsf{Kt\ne0}$

So geht es am Beispiel

2000 € liefern in einem Jahr 60 € einfache Zinsen. Bestimme den Jahreszinssatz.

Jahresfaktoranteil: $\mathsf{60:2000=0{,}03}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}03\cdot100=3}$

Erklärung 02

Monatszeitraum und monatlicher Satz

Bei m Modellmonaten mit jeweils einem Zwölftel Jahr unterscheidest du den gesamten Zeitraumsatz, den monatlichen Satz und den daraus einfach hochgerechneten Jahreszinssatz. Die lineare Hochrechnung setzt einfache Verzinsung ohne Wiederanlage voraus. Ein Monatszins mit Wiederanlage führt zu einem anderen effektiven Jahreszins.

Berechne den Anteil Z durch K für den ganzen Zeitraum.
Teile für einen Monat durch die Monatsanzahl.
Multipliziere für den nominal hochgerechneten Jahreswert mit 12.

Monatlicher Satz und Jahreszinssatz dürfen nicht gleichgesetzt werden.

Bei einfacher Verzinsung entspricht ein Zinsanteil von 2 Prozent für sechs Modellmonate einem Jahreszinssatz von 4 Prozent. Das gilt hier ohne Wiederanlage.

So geht es am Beispiel

3000 € liefern in sechs Modellmonaten 60 € einfache Zinsen. Bestimme den Zinssatz für diese sechs Monate und den Jahreszinssatz.

Zeitraumfaktor: $\mathsf{60:3000=0{,}02}$

Prozentzahl für sechs Monate: $\mathsf{0{,}02\cdot100=2}$

Jahresfaktoranteil: $\mathsf{0{,}02:0{,}5=0{,}04}$

Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}04\cdot100=4}$

So geht es am Beispiel

1000 € liefern in genau einem Modellmonat 5 € Zinsen. Bestimme den Monatssatz und den nominalen Jahreszinssatz bei gleichmäßiger Aufteilung in zwölf Monate.

Monatsfaktoranteil: $\mathsf{5:1000=0{,}005}$

Monatliche Prozentzahl: $\mathsf{0{,}005\cdot100=0{,}5}$

Nominale Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}5\cdot12=6}$

Erklärung 03

Tageszins mit gegebener Konvention

Bei Tagesaufgaben müssen die Anzahl der Zinstage und die Jahresbasis feststehen. In unserem 360-Tage-Modell teilst du den Zeitraumanteil durch die Zahl der Tage und multiplizierst mit 360 zum einfachen Jahresfaktor. Der Tageszinssatz ist der Anteil für einen solchen Modelltag. Diese Konvention gilt nur für die jeweilige Aufgabe.

Lies die vorgegebenen Zinstage und die Jahresbasis.
Berechne den Zinsfaktor des gesamten Zeitraums.
Rechne auf einen Tag und dann auf das Modelljahr um.

$\mathsf{p=\frac{100Z\cdot360}{K\cdot d}}$ bei d positiven Zinstagen im 360-Tage-Modell

2400 Euro liefern in 30 vorgegebenen Zinstagen 12 Euro einfache Zinsen. Im 360-Tage-Modell entspricht das 144 Euro Jahreszinsen und einem Jahreszinssatz von 6 Prozent.

So geht es am Beispiel

2400 € liefern an vorgegebenen 30 Zinstagen 12 € einfache Zinsen. Verwende ein 360-Tage-Jahr und bestimme den Jahreszinssatz.

Zeitraumfaktor: $\mathsf{12:2400=0{,}005}$

Tagesfaktor: $\mathsf{0{,}005:30=\frac{1}{6000}}$

Jahresfaktor: $\mathsf{\frac{1}{6000}\cdot360=0{,}06}$

Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}06\cdot100=6}$

Erklärung 04

Zinssatz bei Wiederanlage

Bei Zinseszins ist die lineare Jahreshochrechnung nicht passend. Wenn die Gutschrift jährlich erfolgt, erhältst du den Jahresfaktor als n-te positive Wurzel aus dem Kapitalverhältnis. Bei unterjährigen Gutschriften entsteht entsprechend ein Periodenfaktor. Der effektive Jahreszinssatz folgt aus allen Periodenfaktoren eines Jahres.

Weiterlernen: „Zinsrechnung Aufgaben“ bietet gemischte Fälle. Alle Modelle setzen die jeweils genannten gleichbleibenden Sätze voraus; reale Gebühren und Steuern sind nicht einbezogen.

Bestimme die Buchungsperiode und die Anzahl der Perioden.
Ziehe die passende positive Wurzel aus dem Kapitalverhältnis.
Ziehe 1 ab und wandle in Prozent um.

$\mathsf{p=100(\sqrt[n]{K_n/K_0}-1)}$ für positive Kapitalwerte und $\mathsf{n>0}$

Das Kapitalverhältnis 1081,60 Euro zu 1000 Euro ist 1,0816. Bei zwei jährlichen Gutschriften ergibt dessen positive Quadratwurzel den Jahresfaktor 1,04 und damit 4 Prozent jährlich.

Ein Prozent pro Monat ergibt bei vereinbarter zwölffacher Angabe einen nominalen Jahreszinssatz von 12 Prozent. Mit monatlicher Wiederanlage beträgt der effektive Jahreszinssatz ungefähr 12,68 Prozent.

So geht es am Beispiel

1000 € wachsen mit jährlicher Wiederanlage in zwei Jahren auf 1081,60 €. Bestimme den konstanten Jahreszinssatz.

Kapitalverhältnis: $\mathsf{1081{,}6:1000=1{,}0816}$

Jahresfaktor: $\mathsf{\sqrt{1{,}0816}=1{,}04}$

Faktoranteil: $\mathsf{1{,}04-1=0{,}04}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}04\cdot100=4}$

So geht es am Beispiel

Ein Modell zahlt 1 % pro Monat mit Wiederanlage. Bestimme den nominalen Jahreszinssatz bei zwölffacher Monatsangabe und den effektiven Jahreszinssatz.

Nominale Jahresprozentzahl: $\mathsf{12\cdot1=12}$

Monatsfaktor: $\mathsf{1+0{,}01=1{,}01}$

Effektive Jahresprozentzahl: $\mathsf{100(1{,}01^{12}-1)\approx12{,}68}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zinssatz berechnen · Basis1500 € liefern in einem Jahr 45 € einfache Zinsen. Bestimme den Jahreszinssatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{45:1500=0{,}03}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}03\cdot100=3}$
Ergebnis
1. Jahreszinssatz3 %
02
Aufgabe 2Zinssatz berechnen · Basis2000 € liefern in sechs Modellmonaten 40 € einfache Zinsen. Bestimme den Satz für sechs Monate und den Jahreszinssatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Satz für sechs Monate
Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zeitraumfaktor: $\mathsf{40:2000=0{,}02}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zeitraumprozentzahl: $\mathsf{0{,}02\cdot100=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{0{,}02:0{,}5=0{,}04}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}04\cdot100=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Satz für sechs Monate2 %
2. Jahreszinssatz4 %
03
Aufgabe 3Zinssatz berechnen · Basis3000 € liefern in einem Modellmonat 15 € Zinsen. Bestimme den Monatssatz und den nominalen Jahreszinssatz bei zwölf gleichartigen Monaten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Monatssatz
Nominaler Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Monatsfaktor: $\mathsf{15:3000=0{,}005}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Monatsprozentzahl: $\mathsf{0{,}005\cdot100=0{,}5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Nominale Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}5\cdot12=6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Monatssatz0,5 %
2. Nominaler Jahreszinssatz6 %
04
Aufgabe 4Zinssatz berechnen · Übung3600 € liefern bei vorgegebenen 60 Zinstagen 36 € einfache Zinsen. Verwende ein 360-Tage-Jahr. Bestimme den Jahreszinssatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zeitraumfaktor: $\mathsf{36:3600=0{,}01}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jahresanteil: $\mathsf{60:360=\frac{1}{6}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{0{,}01:\frac{1}{6}=0{,}06}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Jahresprozentzahl: $\mathsf{0{,}06\cdot100=6}$
Ergebnis
1. Jahreszinssatz6 %
05
Aufgabe 5Zinssatz berechnen · Übung1000 € liefern an zehn vorgegebenen Modellzinstagen 2 € einfache Zinsen. Bestimme den Tageszinssatz für einen Modelltag.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tageszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zinsen je Tag: $\mathsf{2:10=0{,}2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Tagesfaktor: $\mathsf{0{,}2:1000=0{,}0002}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Tagesprozentzahl: $\mathsf{0{,}0002\cdot100=0{,}02}$
Ergebnis
1. Tageszinssatz0,02 %
06
Aufgabe 6Zinssatz berechnen · Übung2000 € wachsen bei zwei jährlichen Gutschriften auf 2205 €. Bestimme den konstanten Jahreszinssatz mit Wiederanlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahreszinssatz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kapitalverhältnis: $\mathsf{2205:2000=1{,}1025}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{\sqrt{1{,}1025}=1{,}05}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Faktoranteil: $\mathsf{1{,}05-1=0{,}05}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}05\cdot100=5}$
Ergebnis
1. Jahreszinssatz5 %
07
Aufgabe 7Zinssatz berechnen · TransferEin nominaler Jahreszins von 12 % wird gleichmäßig auf zwölf Monate verteilt und monatlich wiederangelegt. Sind nominaler und effektiver Jahreszins gleich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Monatszinssatz ist 1 %.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der effektive Jahresfaktor ist $\mathsf{1{,}01^{12}\approx1{,}126825}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der effektive Jahreszins beträgt ungefähr 12,68 %, nicht 12 %.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDie monatliche Wiederanlage erzeugt zusätzliche Zinsen auf bereits gutgeschriebene Zinsen. Der effektive Jahreszins ist hier höher.
08
Aufgabe 8Zinssatz berechnen · TransferKann aus 0 € Kapital, 0 € Zinsen und einem Jahr Laufzeit ein eindeutiger Jahreszinssatz bestimmt werden? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der notwendige Divisor K mal t ist null. Jedes endliche p liefert in der einfachen Modellformel bei K gleich null den Zinsbetrag null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDer Grundwert null erlaubt keine eindeutige Anteilsberechnung. Die Formel würde durch null teilen.
09
Aufgabe 9Zinssatz berechnen · TransferEin Kapital gewinnt in zwei Jahren mit jährlicher Wiederanlage insgesamt 21 %. Jemand nennt deshalb 10,5 % als Jahreszinssatz. Ist das korrekt? Berechne den richtigen Jahreszinssatz und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Jahreszinssatz
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{1+0{,}21=1{,}21}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jahresfaktor: $\mathsf{\sqrt{1{,}21}=1{,}1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Faktoranteil: $\mathsf{1{,}1-1=0{,}1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}1\cdot100=10}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Jahreszinssatz10 %
3. BegründungBei Wiederanlage werden die Jahresfaktoren multipliziert. Die Gesamtprozentzahl darf nicht einfach durch die Jahresanzahl geteilt werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne den Zeitbezug jedes Zinssatzes.
Ich rechne kurze Zeiträume im einfachen Modell auf das Jahr um.
Ich unterscheide nominalen und effektiven Jahreszinssatz.
Ich verwende bei Wiederanlage eine Wurzel statt linearer Hochrechnung.

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