Dreisatz · Erklären & üben

Zusammengesetzter Dreisatz

Beim zusammengesetzten Dreisatz beeinflussen mehrere Größen das Ergebnis. Ändere immer nur eine Größe und halte die übrigen fest. So erkennst du für jeden Faktor die richtige Richtung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jeden Einfluss einzeln betrachten

Bei gleicher Arbeitszeit liefern doppelt so viele gleiche Maschinen doppelt so viele Teile. Bei gleicher Maschinenzahl liefert doppelte Arbeitszeit doppelt so viele Teile. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung.

Für eine feste Wassermenge verkürzt eine höhere Pumpenzahl die Zeit. Eine größere Wassermenge verlängert bei gleicher Pumpenzahl die Zeit. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten.

Halte alle Größen bis auf eine fest.
Entscheide proportional oder antiproportional.
Wende den passenden Faktor an.

Der Faktor hängt von der Zielgröße ab.

Drei Zusammenhänge zeigen die Richtung der Einflussfaktoren.

So geht es am Beispiel

Die Pumpenzahl steigt von vier auf sechs. Die Wassermenge bleibt gleich. Mit welchem Faktor ändert sich die Zeit?

Mehr Pumpen bedeuten weniger Zeit.

Der Zeitfaktor ist $\mathsf{4:6=\frac23}$ .

Erklärung 02

Schrittweise zum Ziel

Drei Maschinen erzeugen in vier Stunden 120 Teile. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung. Es werden gleichartige Teile hergestellt und ausreichend Material ist vorhanden.

Ändere zuerst die Maschinenzahl bei gleicher Zeit.
Ändere danach die Zeit bei gleicher Maschinenzahl.

Jeder Zwischenschritt hält eine Bedingung fest.

Zuerst Maschinenzahl, danach Arbeitszeit ändern.

Die beiden Faktoren gleichen sich in diesem Beispiel aus.

So geht es am Beispiel

Wie viele Teile erzeugen fünf Maschinen in sechs Stunden?

Eine Maschine erzeugt in vier Stunden $\mathsf{120:3=40}$ Teile.

Fünf Maschinen erzeugen in vier Stunden $\mathsf{40\cdot5=200}$ Teile.

Fünf Maschinen erzeugen pro Stunde $\mathsf{200:4=50}$ Teile.

In sechs Stunden entstehen $\mathsf{50\cdot6=300}$ Teile.

So geht es am Beispiel

Vier Pumpen fördern 2400 Liter in sechs Stunden. Wie lange brauchen sechs Pumpen für 3600 Liter? Es gelten die genannten Pumpenannahmen.

Eine Pumpe braucht für 2400 Liter $\mathsf{6\cdot4=24}$ Stunden.

Sechs Pumpen brauchen dafür $\mathsf{24:6=4}$ Stunden.

Die neue Menge ist $\mathsf{3600:2400=1{,}5}$ mal so groß.

Die neue Zeit beträgt $\mathsf{4\cdot1{,}5=6}$ Stunden.

Erklärung 03

Annahmen und Einheiten sichern

Das Verfahren passt nur, wenn jeder angenommene Einfluss unter den genannten Bedingungen gilt. Eine gemeinsame Engstelle kann verhindern, dass doppelt so viele Maschinen doppelt so viel herstellen.

Eine Zeit von 2,4 Stunden bedeutet nicht zwei Stunden und vierzig Minuten. Der Dezimalteil muss in Minuten umgerechnet werden. Weiterlernen: Dreisatz Prozent behandelt prozentuale Änderungen.

Prüfe gleiche Leistung und paralleles Arbeiten.
Rechne Zeiten in eine gemeinsame Einheit um.

Zahlen allein bestimmen noch kein Modell.

So geht es am Beispiel

Wandle 2,4 Stunden in Stunden und Minuten um.

Der Rest nach zwei Stunden beträgt $\mathsf{2{,}4-2=0{,}4}$ Stunden.

Der Minutenanteil beträgt $\mathsf{0{,}4\cdot60=24}$ Minuten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zusammengesetzter Dreisatz · EinstiegBei einer festen Wassermenge steigt die Zahl gleich starker Pumpen von drei auf sechs. Danach wird bei sechs Pumpen die Wassermenge verdoppelt. Es gelten konstante Förderleistung, gleichzeitiger Betrieb ohne Behinderung, Verlust oder Unterbrechung. Nenne beide Zeitfaktoren und den Gesamtfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor Pumpenzahl
Faktor Wassermenge
Gesamtfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die doppelte Pumpenzahl halbiert die Zeit.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die doppelte Wassermenge verdoppelt die Zeit.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Der Gesamtfaktor ist $\mathsf{\frac12\cdot2=1}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor Pumpenzahl $\mathsf{\frac12}$
2. Faktor Wassermenge2
3. Gesamtfaktor1
02
Aufgabe 2Zusammengesetzter Dreisatz · ÜbungZwei Maschinen fertigen in drei Stunden sechzig Teile. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung. Material ist ausreichend vorhanden. Wie viele gleichartige Teile fertigen vier Maschinen in fünf Stunden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teile
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Maschine fertigt in drei Stunden $\mathsf{60:2=30}$ Teile.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vier Maschinen fertigen in drei Stunden $\mathsf{30\cdot4=120}$ Teile.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Pro Stunde sind es $\mathsf{120:3=40}$ Teile.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  In fünf Stunden entstehen $\mathsf{40\cdot5=200}$ Teile.
Ergebnis
1. Teile200
03
Aufgabe 3Zusammengesetzter Dreisatz · ÜbungSechs Maschinen fertigen in vier Stunden 480 Teile. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung. Material ist ausreichend vorhanden. Wie viele gleichartige Teile fertigen drei Maschinen in acht Stunden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teile
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Drei Maschinen fertigen in vier Stunden $\mathsf{480:2=240}$ Teile.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  In acht Stunden fertigen sie $\mathsf{240\cdot2=480}$ Teile.
Ergebnis
1. Teile480
04
Aufgabe 4Zusammengesetzter Dreisatz · ÜbungFünf Pumpen fördern 3000 Liter in sechs Stunden. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten. Wie lange benötigen drei Pumpen für 1500 Liter?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Pumpe braucht für 3000 Liter $\mathsf{6\cdot5=30}$ Stunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Drei Pumpen brauchen dafür $\mathsf{30:3=10}$ Stunden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Für die halbe Menge brauchen sie $\mathsf{10:2=5}$ Stunden.
Ergebnis
1. Zeit5 Stunden
05
Aufgabe 5Zusammengesetzter Dreisatz · ÜbungZwei Drucker drucken in vier Stunden 800 Seiten. Alle Drucker arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Druckrate, ohne Unterbrechungen oder gegenseitige Behinderung. Wie lange brauchen fünf Drucker für 1200 Seiten? Gib auch Stunden und Minuten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit als Dezimalzahl
Stunden und Minuten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Drucker braucht für 800 Seiten $\mathsf{4\cdot2=8}$ Stunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Fünf Drucker brauchen dafür $\mathsf{8:5=1{,}6}$ Stunden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  1200 Seiten sind $\mathsf{1200:800=1{,}5}$ mal so viele.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Die Zeit beträgt $\mathsf{1{,}6\cdot1{,}5=2{,}4}$ Stunden.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Der Dezimalanteil entspricht $\mathsf{0{,}4\cdot60=24}$ Minuten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeit als Dezimalzahl2,4 Stunden
2. Stunden und Minuten2 Stunden 24 Minuten
06
Aufgabe 6Zusammengesetzter Dreisatz · ÜbungDrei Pakete mit je vier Kilogramm kosten zusammen 24 Euro. Der Versandpreis ist ausschließlich proportional zum Gesamtgewicht; es gibt keine Gebühren je Paket, Grundpreise oder Rabattstufen. Was kosten fünf Pakete mit je sechs Kilogramm?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neues Gesamtgewicht
Preis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das alte Gesamtgewicht ist $\mathsf{3\cdot4=12}$ Kilogramm.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Kilopreis beträgt $\mathsf{24:12=2}$ Euro.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Das neue Gesamtgewicht ist $\mathsf{5\cdot6=30}$ Kilogramm.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Der Preis beträgt $\mathsf{30\cdot2=60}$ Euro.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neues Gesamtgewicht30 Kilogramm
2. Preis60 Euro
07
Aufgabe 7Zusammengesetzter Dreisatz · TransferVier gleiche Pumpen benötigen für eine feste Wassermenge neun Stunden. Alle fördern gleichzeitig konstant, ohne Behinderung oder Ausfälle. Für sechs Pumpen rechnet Sam mit dem Faktor sechs Viertel. Korrigiere Faktor und Zeit und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtiger Faktor
Zeit
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Mehr Pumpen verkürzen die Zeit.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der passende Faktor ist $\mathsf{\frac46=\frac23}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Zeit beträgt $\mathsf{9\cdot\frac23=6}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtiger Faktor $\mathsf{\frac23}$
2. Zeit6 Stunden
3. BegründungBei gleicher Menge ist die Zeit antiproportional zur Pumpenzahl.
08
Aufgabe 8Zusammengesetzter Dreisatz · TransferEine Werkstatt kann zusätzliche Maschinen aufstellen, hat aber nur eine Materialzuführung mit begrenzter Kapazität. Kann man sicher mit doppelter Produktion bei doppelter Maschinenzahl rechnen? Begründe und nenne eine erforderliche Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Bedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die gemeinsame Materialzuführung kann die Produktion begrenzen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Maschinenzahl allein garantiert dann keine proportionale Gesamtleistung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDie gemeinsame Zuführung kann zum Engpass werden.
3. BedingungAlle Maschinen müssen gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung ausreichend Material erhalten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ändere jeweils nur eine Einflussgröße.
Ich prüfe für jeden Faktor die Richtung.
Ich beachte gemeinsame Engpässe und rechne Dezimalstunden korrekt um.

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