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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Zylinder

Hier betrachten wir den geraden Kreiszylinder: zwei parallele, gleich große Kreisflächen und eine gekrümmte Mantelfläche. Radius und senkrechte Höhe bestimmen seine Maße.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Kreisflächen, Mantel und Achse

Grund- und Deckfläche sind Kreise mit demselben Radius r. Die Verbindung ihrer Mittelpunkte heißt Achse. Beim geraden Kreiszylinder steht sie senkrecht auf den Kreisflächen und hat Länge h. Der Durchmesser ist 2r; die Höhe ist eine andere Größe.

  1. Radius innerhalb der Grundfläche, Höhe zwischen den beiden Kreisflächen ablesen.

Die folgenden Mantel- und Oberflächenformeln gelten für gerade Kreiszylinder.

Gerader Kreiszylinder mit Radius r in der Kreisfläche und Höhe h senkrecht dazu.

Erklärung 02

Netz und Schnitt

Wickelst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck mit Höhe h und Breite 2πr. Zusammen mit zwei Kreisen bildet es das Netz. Ein Schnitt durch die Achse heißt Axialschnitt und ist ein Rechteck mit Breite 2r und Höhe h. Ein Schnitt parallel zur Grundfläche ist eine Kreisfläche.

  1. Axialschnitt nicht mit Mantelabwicklung verwechseln: ihre Breiten sind verschieden.

Axialschnittbreite=2r,Mantelbreite=2πr\mathsf{\textsf{Axialschnittbreite}=2r,\quad\textsf{Mantelbreite}=2\pi r}

Maßhaltiges Zylindernetz: Rechteckbreite entspricht dem Kreisumfang, Kreise jeweils am Rechteckrand angeordnet.

Erklärung 03

Volumen und Oberfläche

Die Grundfläche beträgt πr². Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe. Die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders enthält zwei Kreisflächen und den Mantel.

  1. Klare Unterscheidung: V in Kubikeinheiten, O und M in Quadrateinheiten.

V=πr2h,M=2πrh,O=2πr2+2πrh\mathsf{V=\pi r^2h,\quad M=2\pi rh,\quad O=2\pi r^2+2\pi rh}

So geht es am Beispiel

Ein geschlossener Zylinder hat r = 3 cm und h = 5 cm. Berechne G, V und O.

G=9π cm2\mathsf{G=9\pi\,\mathsf{cm}^2}
V=9π⋅5=45π cm3\mathsf{V=9\pi\cdot5=45\pi\,\mathsf{cm}^3}
M=2π⋅3⋅5=30π cm2\mathsf{M=2\pi\cdot3\cdot5=30\pi\,\mathsf{cm}^2}
O=18π+30π=48π cm2\mathsf{O=18\pi+30\pi=48\pi\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

G = 9π cm²; V = 45π cm³; O = 48π cm²

Erklärung 04

Vergleich mit dem Prisma

Prisma und Zylinder haben zwei parallele, deckungsgleiche Grundflächen und erfüllen V = Gh. Nach der hier verwendeten Definition hat ein Prisma jedoch Vielecke als Grundflächen; beim Kreiszylinder sind es Kreise.

  1. Weiterlernen: Volumen Zylinder, Oberfläche Zylinder und Mantelfläche Zylinder.

Die analoge Formel hilft beim Rechnen, ersetzt aber nicht die Körperdefinition.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Zylinder · AnwendenWelche drei Flächenteile begrenzen einen geschlossenen geraden Kreiszylinder?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zwei parallele Kreisflächen schließen den Mantel oben und unten ab.

    Ergebnis

    1. FlächenteileGrundkreisfläche, Deckkreisfläche und gekrümmte Mantelfläche
  2. Aufgabe 2Zylinder · Anwendenr = 4,5 cm. Bestimme d.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=2r=9 cm\mathsf{d=2r=9\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Durchmesser9 cm
  3. Aufgabe 3Zylinder · AnwendenZylinder: r = 2 cm und h = 7 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=π⋅22⋅7=28π cm3\mathsf{V=\pi\cdot2^2\cdot7=28\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen28π cm3\mathsf{28\pi\,\mathsf{cm}^3}
  4. Aufgabe 4Zylinder · AnwendenGeschlossener Zylinder: r = 2 cm und h = 7 cm. Berechne O exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=2π⋅4+2π⋅2⋅7=36π cm2\mathsf{O=2\pi\cdot4+2\pi\cdot2\cdot7=36\pi\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche36π cm2\mathsf{36\pi\,\mathsf{cm}^2}
  5. Aufgabe 5Zylinder · AnwendenEin gerader Zylinder hat r = 2 cm und h = 6 cm. Ergänze in der Vorlage seinen Axialschnitt als Rechteck. Übernimm die vorgegebene Höhe im Maßstab der Vorlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Axialschnitt

    Vorbereiteter Axialschnitt mit unterer Seite 4cm und Höhenangabe 6cm.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Schnittbreite ist der Durchmesser 2r=4cm.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne von A und B aus senkrechte Seiten bis zur vorgegebenen Höhe.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde ihre oberen Endpunkte.

    Ergebnis

    1. AxialschnittRechteck mit Breite 4cm und Höhe 6cm im Maßstab der Vorlage.
  6. Aufgabe 6Zylinder · AnwendenWarum zählt ein Kreiszylinder nach unserer Definition nicht zu den Prismen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Prismen haben Vielecksgrundflächen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Kreiszylinder hat Kreisgrundflächen.

    Ergebnis

    1. BegründungSeine Grundflächen sind Kreise und keine Vielecke.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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