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Prismen und Zylinder · Erklären & üben

Volumen Zylinder

Das Volumen eines geraden Kreiszylinders berechnest du aus Kreisgrundfläche und Höhe. Für Füllmengen werden die Innenmaße verwendet; für die Umrechnung in Liter brauchst du passende Volumeneinheiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Volumenformel

Die Kreisgrundfläche ist πr². Multipliziere sie mit der senkrechten Höhe h. Steht statt des Radius der Durchmesser in der Aufgabe, halbiere ihn zuerst.

  1. Längen in dieselbe Einheit umrechnen.

  2. Erst r² berechnen, dann mit π und h multiplizieren.

V=πr2h\mathsf{V=\pi r^2h}

Erklärung 02

Einsetzen und umstellen

Ein exakter Ausdruck mit π vermeidet Rundungsfehler. Für eine unbekannte Höhe teilst du V durch πr². Bei bekanntem V und h ergibt sich der Radius aus der positiven Quadratwurzel.

  1. Runde nur den Endwert.

h=Vπr2,r=Vπh\mathsf{h=\frac V{\pi r^2},\quad r=\sqrt{\frac V{\pi h}}}

Zylinder mit Radius und senkrechter Höhe.

So geht es am Beispiel

r = 4 cm, h = 6 cm. Berechne V.

V=π⋅16⋅6=96π cm3≈301,59 cm3\mathsf{V=\pi\cdot16\cdot6=96\pi\,\mathsf{cm}^3\approx301{,}59\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

Etwa 301,59cm³

So geht es am Beispiel

V=100π cm3\mathsf{V=100\pi\,\mathsf{cm}^3} und r=5 cm\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}. Bestimme h.

h=100π25π=4 cm\mathsf{h=\frac{100\pi}{25\pi}=4\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

4 cm

Erklärung 03

Füllmenge und Füllhöhe

Für einen Behälter sind Innenradius und nutzbare Innenhöhe maßgebend. Bei festem Radius wächst das Volumen proportional zur Füllhöhe: halbe Höhe bedeutet halbe Füllmenge. Ein Liter entspricht 1000cm³.

  1. Innenmaße verwenden; Wandstärken nicht zur Füllmenge rechnen.

  2. Die tatsächliche Füllhöhe kann kleiner als die gesamte Innenhöhe sein.

1 l=1000 cm3\mathsf{1\,\mathsf l=1000\,\mathsf{cm}^3}

Zylinder mit horizontaler Füllfläche auf halber Höhe.

So geht es am Beispiel

Ein zylindrischer Behälter hat Innenradius 10cm und nutzbare Innenhöhe 30cm. Bestimme seine Füllmenge in Litern.

V=π⋅102⋅30=3000π cm3\mathsf{V=\pi\cdot10^2\cdot30=3000\pi\,\mathsf{cm}^3}
V=3π l≈9,42 l\mathsf{V=3\pi\,\mathsf l\approx9{,}42\,\mathsf l}

Ergebnis

Etwa 9,42Liter

Erklärung 04

Volumen und Oberfläche

Wird der Radius bei fester Höhe verdoppelt, wird das Volumen viermal so groß. Der Mantel verdoppelt sich dabei nur; die Kreisflächen vervierfachen sich. Für Materialbedarf brauchst du daher eine Oberflächenrechnung.

  1. Weiterlernen: Oberfläche Zylinder.

Füllmenge und Materialfläche sind verschiedene Größen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Volumen Zylinder · Anwendenr = 3 cm, h = 8 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=π⋅9⋅8=72π cm3\mathsf{V=\pi\cdot9\cdot8=72\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen72π cm3\mathsf{72\pi\,\mathsf{cm}^3}
  2. Aufgabe 2Volumen Zylinder · Anwendend = 10 cm, h = 4 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=5 cm\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}
      V=100π cm3\mathsf{V=100\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen100π cm3\mathsf{100\pi\,\mathsf{cm}^3}
  3. Aufgabe 3Volumen Zylinder · AnwendenEin Behälter hat Innenradius 5cm und nutzbare Innenhöhe 20cm. Berechne seine Füllmenge in Litern auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=500π cm3=0,5π l≈1,57 l\mathsf{V=500\pi\,\mathsf{cm}^3=0{,}5\pi\,\mathsf l\approx1{,}57\,\mathsf l}

    Ergebnis

    1. FüllmengeEtwa 1,57Liter
  4. Aufgabe 4Volumen Zylinder · AnwendenV=80π cm3\mathsf{V=80\pi\,\mathsf{cm}^3} und r=4 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}}. Bestimme h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=80π/(16π)=5 cm\mathsf{h=80\pi/(16\pi)=5\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Höhe5 cm
  5. Aufgabe 5Volumen Zylinder · AnwendenMarkiere in der Vorlage eine Füllung bis zur halben Höhe. Zeichne die waagerechte Kreisfläche im Schrägbild als Ellipse auf halber Höhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Halber Füllstand

    Vorbereitete Zylinderansicht mit r und h, ohne Füllstandsmarkierung.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Bestimme die Mitte der senkrechten Zylinderseiten.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne zwischen diesen Punkten eine Ellipse parallel zur oberen Kreisfläche.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Dieser Füllstand enthält die Hälfte des vollen Zylindervolumens.

    Ergebnis

    1. Halber FüllstandDie ergänzte Ellipse liegt auf halber Körperhöhe.
  6. Aufgabe 6Volumen Zylinder · AnwendenDer Radius wird bei unveränderter Höhe verdoppelt. Mit welchem Faktor verändert sich V?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Vneu=π(2r)2h=4V\mathsf{V_{\mathsf{neu}}=\pi(2r)^2h=4V}

    Ergebnis

    1. Volumenfaktor4

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