Wahrscheinlichkeit Grundlagen · Erklären & üben

Absolute und Relative Häufigkeit

Die absolute Häufigkeit zählt Treffer. Die relative Häufigkeit setzt diese Zahl zur Gesamtzahl der Beobachtungen ins Verhältnis. So kannst du Gruppen unterschiedlicher Größe sinnvoll vergleichen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Beobachtungen zählen

Die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Beobachtungen einer Kategorie. Jede Beobachtung wird genau einmal zugeordnet. Die Summe der absoluten Häufigkeiten aller Kategorien ergibt die Gesamtzahl.

Lege eindeutige Kategorien fest.
Zähle die Einträge jeder Kategorie.
Prüfe die Summe gegen die Zahl aller Beobachtungen.

$\mathsf{\sum_i H_i=n}$

Sechs A-Karten, drei B-Karten und drei C-Karten; insgesamt zwölf.

So geht es am Beispiel

Zwölf Karten tragen diese Buchstaben: A, B, A, C, B, A, A, C, B, A, C, A. Zähle die Häufigkeiten.

A erscheint sechsmal, B dreimal und C dreimal.

\mathsf{H_A=6,\quad H_B=3,\quad H_C=3}

Die Kontrolle ergibt:

\mathsf{6+3+3=12}

Erklärung 02

Von Anzahlen zu Anteilen

Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtzahl. Sie liegt zwischen 0 und 1. Multiplizierst du mit 100, erhältst du die Prozentangabe. Die Gesamtzahl muss größer als 0 sein.

Zeit	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit
Vormittag	18	45 %
Nachmittag	14	35 %
Abend	8	20 %
Gesamt	40	100 %

Bestimme zuerst die passende Gesamtzahl.
Teile die absolute Häufigkeit durch diese Gesamtzahl.
Prüfe: Alle relativen Häufigkeiten ergeben zusammen 1.

$\mathsf{h_i=\frac{H_i}{n},\qquad H_i=n\cdot h_i}$

Proportionale Balken für 45 Prozent Vormittag, 35 Prozent Nachmittag und 20 Prozent Abend.

So geht es am Beispiel

Von 40 verkauften Tickets sind 18 für den Vormittag, 14 für den Nachmittag und 8 für den Abend. Berechne die Anteile.

\mathsf{h_V=\frac{18}{40}=45\%}

\mathsf{h_N=\frac{14}{40}=35\%}

\mathsf{h_A=\frac8{40}=20\%}

Die Prozentanteile ergeben zusammen 100 Prozent.

Erklärung 03

Zwei Merkmale gemeinsam erfassen

Eine Kontingenztabelle kreuzt zwei Merkmale. Haben beide genau zwei Kategorien, entsteht eine Vierfeldertafel. Die Randzahlen sind Zeilen- und Spaltensummen. Für einen Anteil musst du angeben, ob du alle Personen oder nur eine Teilgruppe meinst.

Gruppe	Mit Rad	Ohne Rad	Gesamt
A	8	4	12
B	6	12	18
Gesamt	14	16	30

Trage die vier inneren Häufigkeiten ein.
Addiere Zeilen und Spalten.
Wähle die Bezugsgruppe vor dem Teilen.

Bei gleicher positiver Trefferzahl verändert eine andere Gesamtzahl den Anteil.

So geht es am Beispiel

Von 30 Personen sind 12 in Gruppe A und 18 in Gruppe B. In A kommen 8 mit dem Rad, in B kommen 6 mit dem Rad. Berechne die Zahl ohne Rad und den Radanteil insgesamt.

In A kommen 4 ohne Rad, denn 12 minus 8 ergibt 4.

In B kommen 12 ohne Rad, denn 18 minus 6 ergibt 12.

\mathsf{H_{\textsf{Rad}}=8+6=14}

\mathsf{h_{\textsf{Rad}}=\frac{14}{30}=\frac7{15}\approx46{,}67\%}

Erklärung 04

Häufigkeiten sind beobachtete Daten

Eine relative Häufigkeit beschreibt eine endliche Datensammlung. Eine Wahrscheinlichkeit gehört zu einem Modell. Bei vielen unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen liegt die relative Häufigkeit häufig nahe an der Modellwahrscheinlichkeit; eine exakte Übereinstimmung ist nicht garantiert.

Benenne die beobachteten Versuche.
Trenne Beobachtung und Modellannahme.

Ein beobachteter Anteil ist keine Garantie für den nächsten Ausgang.

So geht es am Beispiel

Bei 120 Würfen einer fairen Münze wird 63-mal Kopf beobachtet. Vergleiche mit dem Modell.

\mathsf{h(K)=\frac{63}{120}=52{,}5\%}

Das faire Modell hat eine Kopfwahrscheinlichkeit von 50 Prozent.

Die Beobachtung liegt 2,5 Prozentpunkte darüber; das kann durch Zufall entstehen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Absolute und Relative Häufigkeit · EinstiegIn 15 Ziehungen werden die Farben R, B, R, G, R, B, G, R, B, B, R, G, R, B, R notiert. Bestimme die absoluten Häufigkeiten und kontrolliere die Summe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rot
Blau
Grün
Kontrollsumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  R erscheint siebenmal, B fünfmal und G dreimal.
  $\mathsf{7+5+3=15}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rot7
2. Blau5
3. Grün3
4. Kontrollsumme15
02
Aufgabe 2Absolute und Relative Häufigkeit · EinstiegBei 80 getesteten Stiften schreiben 68 sofort, 8 erst nach kurzem Probieren und 4 gar nicht. Berechne die relativen Häufigkeiten in Prozent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sofort
Nach Probieren
Gar nicht
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Kategorie wird auf alle 80 Stifte bezogen.
  $\mathsf{\frac{68}{80}=85\%}$
  $\mathsf{\frac8{80}=10\%}$
  $\mathsf{\frac4{80}=5\%}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Kontrolle ergibt 100 Prozent.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sofort $\mathsf{85\%}$
2. Nach Probieren $\mathsf{10\%}$
3. Gar nicht $\mathsf{5\%}$
03
Aufgabe 3Absolute und Relative Häufigkeit · ÜbungIn einer Gruppe von 75 Personen wählen genau 28 Prozent Tee. Wie viele Personen wählen Tee?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Personenzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wandle den Prozentanteil in eine Dezimalzahl um.
  $\mathsf{28\%=0{,}28}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere mit der Gesamtzahl.
  $\mathsf{H=75\cdot0{,}28=21}$
Ergebnis
1. Personenzahl21 Personen
04
Aufgabe 4Absolute und Relative Häufigkeit · ÜbungVon 25 Personen wählen 10 Apfel, 9 Birne und 6 Pflaume. Zeichne ein Säulendiagramm der absoluten Häufigkeiten in die Vorlage. Beschrifte die Säulen mit ihren Anzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Säulendiagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Säulendiagramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Kategorien stehen auf der waagerechten Achse; die senkrechte Achse zeigt die Anzahl.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Säulen beginnen bei 0 und enden bei 10, 9 und 6.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die drei Säulen werden mit 10, 9 und 6 beschriftet.
Ergebnis
1. SäulendiagrammApfel: 10; Birne: 9; Pflaume: 6; alle Säulen beginnen bei 0.
05
Aufgabe 5Absolute und Relative Häufigkeit · TransferGruppe A besteht aus 16 Personen: 10 nutzen das Rad. Gruppe B besteht aus 24 Personen: 12 nutzen das Rad. Berechne die Anzahlen ohne Rad, den Radanteil an allen 40 Personen und den Radanteil innerhalb von A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
A ohne Rad
B ohne Rad
Radanteil insgesamt
Radanteil innerhalb A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  In Gruppe A bleiben nach Abzug der 10 Radfahrenden sechs Personen ohne Rad.
  $\mathsf{16-10=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  In B bleiben zwölf Personen ohne Rad.
  $\mathsf{24-12=12}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Insgesamt nutzen 22 Personen das Rad.
  $\mathsf{\frac{10+12}{40}=55\%}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Innerhalb von A ist die Bezugsgruppe nur 16 Personen groß.
  $\mathsf{\frac{10}{16}=62{,}5\%}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. A ohne Rad6 Personen
2. B ohne Rad12 Personen
3. Radanteil insgesamt $\mathsf{55\%}$
4. Radanteil innerhalb A $\mathsf{62{,}5\%}$
06
Aufgabe 6Absolute und Relative Häufigkeit · TransferBei Test A gelingen 18 von 30 Versuchen, bei Test B 28 von 50. Lea sagt: „B ist erfolgreicher, weil dort mehr Versuche gelingen.“ Vergleiche die Erfolgsanteile und beurteile Leas Begründung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anteil A
Anteil B
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gruppen sind unterschiedlich groß; deshalb vergleiche die relativen Häufigkeiten.
  $\mathsf{h_A=\frac{18}{30}=60\%}$
  $\mathsf{h_B=\frac{28}{50}=56\%}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  B hat mehr Erfolge insgesamt, A aber den höheren beobachteten Erfolgsanteil.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Aus diesen endlichen Tests allein folgt noch keine sichere Aussage über künftige Erfolgswahrscheinlichkeiten.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anteil A $\mathsf{60\%}$
2. Anteil B $\mathsf{56\%}$
3. BeurteilungA hat den höheren beobachteten Erfolgsanteil. Der Vergleich bloßer Anzahlen berücksichtigt die verschiedenen Versuchszahlen nicht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann absolute und relative Häufigkeit unterscheiden.
Ich kann aus einem Anteil eine Anzahl berechnen.
Ich benenne bei jedem Anteil die Bezugsgruppe.

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