Relative Häufigkeit

Erklärung 01

Vom Zählen zum Anteil

1. 1

   Ereignis und Anzahl aller Versuche festlegen.

2. 2

   Treffer zählen und durch die Versuchsanzahl teilen.

3. 3

   Den Anteil bei Bedarf in Prozent umrechnen.

$\mathsf{h(E)=\frac{H(E)}{n},\quad n>0}$

So geht es am Beispiel

Bei 25 Würfen landet ein Spielstein 9-mal auf seiner markierten Seite. Wie groß ist der beobachtete Anteil?

9 Treffer werden auf 25 Versuche bezogen.

$$\mathsf{h=\frac{9}{25}=0{,}36}$$

Für Prozent wird der Anteil mit 100 multipliziert.

$$\mathsf{0{,}36\cdot100\,\%=36\,\%}$$

Erklärung 02

Tabellen prüfen und Reihen verbinden

1. 1

   Alle Kategorien vollständig und ohne Überschneidung erfassen.

2. 2

   Jede Trefferzahl durch dieselbe Gesamtzahl teilen.

3. 3

   Bei gleichartig durchgeführten Reihen die Anzahlen zusammenfassen.

$\mathsf{0\le h(E)\le1}$

So geht es am Beispiel

Ein Farbrad zeigt bei 40 Drehungen 18-mal Rot, 12-mal Blau und 10-mal Gelb. Bestimme die Verteilung.

$$\mathsf{h(R)=\frac{18}{40}=45\,\%}$$

$$\mathsf{h(B)=\frac{12}{40}=30\,\%}$$

$$\mathsf{h(G)=\frac{10}{40}=25\,\%}$$

Die Kontrolle umfasst alle drei Farben.

$$\mathsf{45\,\%+30\,\%+25\,\%=100\,\%}$$

Erklärung 03

Beobachtung und Wahrscheinlichkeit

1. 1

   Zuerst prüfen: Messwert oder Modellannahme?

2. 2

   Umfang und gleiche Versuchsbedingungen beachten.

3. 3

   Abweichungen zulassen; der nächste Ausgang ist nicht festgelegt.

$\mathsf{h_n(E)\textsf{ ist ein Messwert; }P(E)\textsf{ ein Modellwert}}$

1. 01
   Aufgabe 1Relative Häufigkeit · EinstiegBei 30 Versuchen tritt ein Ereignis 12-mal ein. Bestimme seine relative Häufigkeit als gekürzten Bruch, Dezimalzahl und Prozentwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gekürzter Bruch

   Dezimalzahl

   Prozentwert
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Teile die Trefferzahl durch die Versuchsanzahl.

      $$\mathsf{h=\frac{12}{30}=\frac25=0{,}4=40\,\%}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gekürzter Bruch
      $\mathsf{\frac25}$
   2. Dezimalzahl
      0,4
   3. Prozentwert
      40 %
2. 02
   Aufgabe 2Relative Häufigkeit · EinstiegTeam A erzielt 14 Treffer in 35 Versuchen, Team B 18 Treffer in 60 Versuchen. Welches Team hat den höheren Trefferanteil?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Team A

   Team B

   Vergleich mit Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{h_A=\frac{14}{35}=0{,}4=40\,\%}$$

      $$\mathsf{h_B=\frac{18}{60}=0{,}3=30\,\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Verglichen werden Anteile, nicht die bloßen Trefferzahlen.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Team A
      40 %
   2. Team B
      30 %
   3. Vergleich mit Begründung
      Team A hat den höheren Anteil: 40 % gegenüber 30 %, obwohl B mehr Treffer zählt.
3. 03
   Aufgabe 3Relative Häufigkeit · SichernEine Befragung mit genau einer Wahl pro Person ergibt bei 80 Personen: 36 wählen Bus, 28 Fahrrad, die übrigen gehen zu Fuß. Bestimme alle drei relativen Häufigkeiten und prüfe ihre Summe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Relative Häufigkeit: Bus

   Relative Häufigkeit: Fahrrad

   Relative Häufigkeit: Fuß

   Summe und Kontrolle
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      F bezeichnet die Personen, die zu Fuß gehen.

      $$\mathsf{H(F)=80-36-28=16}$$

      $$\mathsf{h(Bus)=\frac{36}{80}=45\,\%}$$

      $$\mathsf{h(Fahrrad)=\frac{28}{80}=35\,\%}$$

      $$\mathsf{h(F)=\frac{16}{80}=20\,\%}$$

      $$\mathsf{45\,\%+35\,\%+20\,\%=100\,\%}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Relative Häufigkeit: Bus
      45 %
   2. Relative Häufigkeit: Fahrrad
      35 %
   3. Relative Häufigkeit: Fuß
      20 %
   4. Summe und Kontrolle
      100 %; alle Personen sind genau einmal erfasst.
4. 04
   Aufgabe 4Relative Häufigkeit · AnwendenZeichne die drei Säulen zur Befragung aus Aufgabe 3 in die Vorlage. Beschrifte jede Säule mit ihrem Prozentwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   

   Säulendiagramm

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Säulendiagramm
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Höhen entsprechen den Anteilen aus Aufgabe 3.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Bus reicht bis 45 %, Fahrrad bis 35 %, Fuß bis 20 %. Die Achse startet bei 0 %.

   Ergebnis

   1. Säulendiagramm
      Säulenhöhen: Bus 45 %, Fahrrad 35 %, Fuß 20 %; siehe Musterzeichnung.
5. 05
   Aufgabe 5Relative Häufigkeit · AnwendenZwei gleichartig durchgeführte Testreihen haben 8 Treffer bei 20 Versuchen und 21 Treffer bei 30 Versuchen. Berechne den gemeinsamen Anteil und erkläre, warum 55 % hier falsch wäre.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gemeinsamer Anteil

   Fehler erklären
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{H=8+21=29}$$

      $$\mathsf{n=20+30=50}$$

      $$\mathsf{h=\frac{29}{50}=58\,\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      55 % ist das einfache Mittel von 40 % und 70 %. Es gewichtet beide Reihen gleich, obwohl ihre Umfänge verschieden sind.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gemeinsamer Anteil
      58 %
   2. Fehler erklären
      Treffer und Versuchszahlen müssen addiert werden; die Reihen haben unterschiedliche Umfänge.
6. 06
   Aufgabe 6Relative Häufigkeit · VertiefenBei 75 Prüfungen beträgt die relative Häufigkeit eines Fehlers genau 12 %. Wie viele Prüfungen waren fehlerhaft?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Fehlerhafte Prüfungen
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{H=0{,}12\cdot75=9}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Zahl ist ganzzahlig und liegt zwischen 0 und 75.

   Ergebnis

   1. Fehlerhafte Prüfungen
      9 Prüfungen
7. 07
   Aufgabe 7Relative Häufigkeit · TransferEine faire Münze zeigt nach 100 Würfen 57-mal Kopf. Jemand sagt: „Die nächsten 14 Würfe müssen Zahl sein, damit wieder die Hälfte Kopf ist.“ Prüfe die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Urteil mit Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{h(K)=\frac{57}{100}=57\,\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Bei unabhängigen Würfen ändert die Vergangenheit die Wahrscheinlichkeit des nächsten Wurfs nicht.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      14-mal Zahl wäre möglich und ergäbe danach 57 Kopf bei 114 Würfen, ist aber nicht vorgeschrieben.

   Ergebnis

   1. Urteil mit Begründung
      Falsch. Jeder weitere faire Wurf hat weiterhin Kopf-Wahrscheinlichkeit 50 %. Ein Ausgleich in den nächsten 14 Würfen ist nicht garantiert.