Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Einsetzungsverfahren

Du stellst eine Variable frei und ersetzt sie in der anderen Gleichung durch den gesamten passenden Ausdruck. Eine Klammer schützt dabei vor Vorzeichenfehlern.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Freistellen und vollständig einsetzen

Ist $\mathsf{y=2x+1}$ , kannst du jedes y durch den Ausdruck $\mathsf{2x+1}$ ersetzen. Aus $\mathsf{3y}$ wird $\mathsf{3(2x+1)}$ , nicht $\mathsf{6x+1}$ .

Stelle eine Variable möglichst dort frei, wo ihr Koeffizient 1 oder −1 ist. Löse dann die Gleichung in einer Variablen.

Einsetzdiagramm: y=2x+1 wird vollständig in x+y=10 eingesetzt.

So geht es am Beispiel

Löse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=2x+(1)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 1x+1y=10}$ .

$\mathsf{1x+(1)(2x+(1))=10}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.

$\mathsf{1x+(2)x+(1)=10}$ — die Klammer ausmultiplizieren.

$\mathsf{3x+(1)=10}$ — x-Terme zusammenfassen.

$\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{1}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

$\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.

$\mathsf{y=2\cdot(3)+(1)=7}$ — in I zurückeinsetzen.

$\mathsf{7=2\cdot(3)+(1)}$ — Probe in I.

$\mathsf{1\cdot(3)+(1)\cdot(7)=10}$ — Probe in II.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x-y=1}$ und $\mathsf{x+y=8}$ durch Einsetzen. Prüfe beide Gleichungen.

$\mathsf{-y=1-2x}$ — in I auf beiden Seiten 2x subtrahieren.

$\mathsf{y=2x-1}$ — mit −1 multiplizieren.

$\mathsf{1x+(1)(2x+(-1))=8}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.

$\mathsf{1x+(2)x+(-1)=8}$ — die Klammer ausmultiplizieren.

$\mathsf{3x+(-1)=8}$ — x-Terme zusammenfassen.

$\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{-1}$ auf beiden Seiten subtrahieren.

$\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.

$\mathsf{y=2\cdot(3)+(-1)=5}$ — in I zurückeinsetzen.

$\mathsf{2\cdot3-5=1}$ — Probe in der ursprünglichen ersten Gleichung.

$\mathsf{1\cdot(3)+(1)\cdot(5)=8}$ — Probe in II.

Erklärung 02

Zurückeinsetzen und Probe

Nach dem ersten Wert fehlt noch die zweite Variable. Zurückeinsetzen liefert sie. Prüfe beide Werte in beiden ursprünglichen Gleichungen.

Die Probe an nur einer Gleichung erkennt nicht jeden Fehler. Die Lösung wird als geordnetes Paar $\mathsf{(x\mid y)}$ angegeben.

Erklärung 03

Die drei möglichen Lösungsfälle

Ein Widerspruch zeigt, dass kein Paar beide Bedingungen erfüllt. Eine wahre Zahlengleichung lässt die andere Bedingung bestehen.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{y=4-x}$ und $\mathsf{2x+2y=11}$ durch Einsetzen.

$\mathsf{2x+2(4-x)=11}$ — y vollständig ersetzen.

$\mathsf{2x+8-2x=11}$ — ausmultiplizieren.

$\mathsf{8=11}$ — x-Terme zusammenfassen.

Die falsche Aussage gilt für keinen x-Wert.

So geht es am Beispiel

Untersuche $\mathsf{y=4-x}$ und $\mathsf{2x+2y=8}$ durch Einsetzen.

$\mathsf{2x+2(4-x)=8}$ — einsetzen.

$\mathsf{2x+8-2x=8}$ — ausmultiplizieren.

$\mathsf{8=8}$ — zusammenfassen.

Jeder reelle x-Wert ist möglich; y bleibt durch $\mathsf{y=4-x}$ bestimmt.

Erklärung 04

Passende Alternativen

Stehen zwei Ausdrücke für dieselbe Variable bereit, kann das Gleichsetzen direkter sein. Bei entgegengesetzten Koeffizienten ist das Additionsverfahren oft kürzer.

Die Wahl des Weges verändert die gemeinsame Lösungsmenge nicht.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Einsetzungsverfahren · EinstiegLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=1x+(2)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 2x+1y=11}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(1)(1x+(2))=11}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(1)x+(2)=11}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(2)=11}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{2}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=1\cdot(3)+(2)=5}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=1\cdot(3)+(2)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(3)+(1)\cdot(5)=11}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=5}$
02
Aufgabe 2Einsetzungsverfahren · EinstiegLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=-2x+(5)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 3x+1y=8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(1)(-2x+(5))=8}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-2)x+(5)=8}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(5)=8}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x=3}$ — $\mathsf{5}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{1}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-2\cdot(3)+(5)=-1}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1=-2\cdot(3)+(5)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(3)+(1)\cdot(-1)=8}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=-1}$
03
Aufgabe 3Einsetzungsverfahren · StandardLöse $\mathsf{2x-y=1}$ und $\mathsf{x+y=8}$ durch Einsetzen. Prüfe beide Gleichungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-y=1-2x}$ — in I auf beiden Seiten 2x subtrahieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2x-1}$ — mit −1 multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(1)(2x+(-1))=8}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(2)x+(-1)=8}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-1)=8}$ — x-Terme zusammenfassen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=9}$ — $\mathsf{-1}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch $\mathsf{3}$ teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot(3)+(-1)=5}$ — in I zurückeinsetzen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot3-5=1}$ — Probe in der ursprünglichen ersten Gleichung.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot(3)+(1)\cdot(5)=8}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=3}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=5}$
04
Aufgabe 4Einsetzungsverfahren · StandardLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=3x+(-2)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 2x-1y=1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(-1)(3x+(-2))=1}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(-3)x+(2)=1}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x+(2)=1}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x=-1}$ — $\mathsf{2}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — durch $\mathsf{-1}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3\cdot(1)+(-2)=1}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=3\cdot(1)+(-2)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(1)+(-1)\cdot(1)=1}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=1}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=1}$
05
Aufgabe 5Einsetzungsverfahren · StandardLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=2x+(1)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 3x+2y=9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(2)(2x+(1))=9}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(4)x+(2)=9}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7x+(2)=9}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7x=7}$ — $\mathsf{2}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=1}$ — durch $\mathsf{7}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot(1)+(1)=3}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=2\cdot(1)+(1)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(1)+(2)\cdot(3)=9}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=1}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=3}$
06
Aufgabe 6Einsetzungsverfahren · StandardLöse und prüfe: $\mathsf{\mathsf{I}: y=-1x+(4)}$ , $\mathsf{\mathsf{II}: 2x-3y=-2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Wert mit Rechenweg
y-Wert mit Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(-3)(-1x+(4))=-2}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(3)x+(-12)=-2}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x+(-12)=-2}$ — x-Terme zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x=10}$ — $\mathsf{-12}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — durch $\mathsf{5}$ teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-1\cdot(2)+(4)=2}$ — in I zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2=-1\cdot(2)+(4)}$ — Probe in I.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot(2)+(-3)\cdot(2)=-2}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Wert mit Rechenweg $\mathsf{x=2}$
2. y-Wert mit Rechnung und Probe $\mathsf{y=2}$
07
Aufgabe 7Einsetzungsverfahren · StandardBei $\mathsf{y=2x+1}$ und $\mathsf{3x-2y=4}$ ersetzt jemand $\mathsf{-2y}$ durch $\mathsf{-4x+1}$ . a) Erkläre den Fehler. b) Löse das System.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Fehlererklärung
b) x-Wert mit Rechnung
b) y-Wert und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Faktor −2 muss auch die 1 treffen: $\mathsf{-2(2x+1)=-4x-2}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-2)(2x+(1))=4}$ — den gesamten y-Term in II ersetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-4)x+(-2)=4}$ — die Klammer ausmultiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x+(-2)=4}$ — x-Terme zusammenfassen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1x=6}$ — $\mathsf{-2}$ auf beiden Seiten subtrahieren.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-6}$ — durch $\mathsf{-1}$ teilen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot(-6)+(1)=-11}$ — in I zurückeinsetzen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-11=2\cdot(-6)+(1)}$ — Probe in I.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot(-6)+(-2)\cdot(-11)=4}$ — Probe in II.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) FehlererklärungDie gesamte Klammer wird mit −2 multipliziert.
2. b) x-Wert mit Rechnung $\mathsf{x=-6}$
3. b) y-Wert und Probe $\mathsf{y=-11}$
08
Aufgabe 8Einsetzungsverfahren · VertiefungUntersuche $\mathsf{y=3x-2}$ und $\mathsf{2y=6x+1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(3x-2)=6x+1}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x-4=6x+1}$ — ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4=1}$ — 6x auf beiden Seiten subtrahieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Die Zahlengleichung ist falsch.
Ergebnis
1. Lösungsmenge mit Begründung $\mathsf{L=\varnothing}$
09
Aufgabe 9Einsetzungsverfahren · VertiefungUntersuche $\mathsf{y=3x-2}$ und $\mathsf{2y=6x-4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Lösungsmenge mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(3x-2)=6x-4}$ — einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{6x-4=6x-4}$ — ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0=0}$ — beide Seiten subtrahieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Jedes reelle x ist möglich, y muss $\mathsf{3x-2}$ sein.
Ergebnis
1. Lösungsmenge mit Begründung $\mathsf{L=\{(t\mid3t-2):t\in\mathbb R\}}$
10
Aufgabe 10Einsetzungsverfahren · VertiefungZwei Zahlen haben die Summe 17. Die zweite Zahl y ist um 3 größer als die erste x. Bestimme beide Zahlen mit Einsetzen und prüfe die Angaben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Zahl mit Rechnung
Zweite Zahl und Proben
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+y=17}$ , $\mathsf{y=x+3}$ — beide Aussagen als Gleichungen schreiben.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+(x+3)=17}$ — y ersetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+3=17}$ — zusammenfassen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=14}$ — 3 subtrahieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=7}$ — durch 2 teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=7+3=10}$ — zurückeinsetzen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7+10=17}$ — Summenprobe.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10-7=3}$ — Differenzprobe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Zahl mit Rechnung $\mathsf{x=7}$
2. Zweite Zahl und Proben $\mathsf{y=10}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erfülle mit einer Lösung alle ursprünglichen Gleichungen.
Ich erkläre jeden Umformungsschritt und setze zurück ein.
Ich unterscheide eine, keine und unendlich viele Lösungen.

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