Dreisatz · Erklären & üben

Antiproportionaler Dreisatz

Bei antiproportionalen Größen führt eine Verdopplung der einen Größe zur Halbierung der anderen. Voraussetzung ist eine feste Gesamtmenge oder eine gleichbleibende Arbeit unter passenden Leistungsannahmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das Produkt bleibt konstant

Bei gleichmäßiger Verteilung von 60 Litern auf ausreichend große Behälter gilt $\mathsf{\textsf{Anzahl}\cdot\textsf{Inhalt je Behälter}=60}$ Liter. Verluste werden ausgeschlossen.

Beide Größen müssen positiv sein. Durch null Behälter kannst du keine Menge verteilen.

Bestimme die feste Gesamtmenge.
Prüfe das Produkt aus Anzahl und Anteil.

Antiproportional bedeutet Produktkonstanz.

60 Liter werden auf 4,1 und 10 ausreichend große Behälter verteilt.

So geht es am Beispiel

Wie viel erhält jeder von zehn Behältern, wenn vier Behälter je 15 Liter enthalten?

Die Gesamtmenge ist $\mathsf{4\cdot15=60}$ Liter.

Auf zehn Behälter entfallen $\mathsf{60:10=6}$ Liter je Behälter.

Erklärung 02

Über eine Einheit rechnen

Vier Pumpen benötigen für einen Behälter sechs Stunden. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten. Derselbe Behälter wird jeweils vom gleichen Anfangsfüllstand aus gefüllt.

Für eine Pumpe wird die Zeit vervierfacht. Für drei Pumpen wird diese Einzelpumpenzeit durch drei geteilt.

Notiere das gegebene Paar mit Einheiten.
Rechne auf eine Einheit der ersten Größe.
Teile durch die gesuchte Anzahl.

Weniger verfügbare Leistung bedeutet bei gleicher Arbeit mehr Zeit.

Antiproportionale Zeitreihe 4 Pumpen 6 h,1 Pumpe 24 h,3 Pumpen 8 h.

Tempo mal Zeit ergibt in allen Zeilen 120 km.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Zeit für drei Pumpen.

Eine Pumpe braucht $\mathsf{4\cdot6=24}$ Stunden.

Drei Pumpen brauchen $\mathsf{24:3=8}$ Stunden.

So geht es am Beispiel

Ein Fahrzeug fährt 120 km ohne Pause mit konstant 40 km/h oder 60 km/h. Vergleiche die Zeiten.

Bei 40 km/h beträgt die Zeit $\mathsf{120:40=3}$ Stunden.

Bei 60 km/h beträgt sie $\mathsf{120:60=2}$ Stunden.

Erklärung 03

Das Modell muss zur Situation passen

Eine feste Strecke ergibt nur bei konstanter Geschwindigkeit ohne Pausen eine einfache antiproportionale Beziehung. Bei Maschinen muss die Gesamtarbeit gleich bleiben und die gemeinsame Leistung tatsächlich mit der Maschinenzahl wachsen.

Mehr Personen an einem Schreibtisch arbeiten nicht automatisch schneller. Weiterlernen: Dreisatz Aufgaben enthält gemischte Modelle.

Prüfe die Gesamtmenge oder den Arbeitsumfang.
Prüfe gleiche, konstante Leistung und mögliche feste Zusatzzeiten.

„Mehr bedeutet weniger“ allein ist keine ausreichende Modellannahme.

So geht es am Beispiel

Ist die Verteilung von 36 Bonbons auf 6 Kinder antiproportional?

Die Gesamtzahl 36 bleibt fest.

Der Anteil ist $\mathsf{36:6=6}$ Bonbons.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Antiproportionaler Dreisatz · Einstieg36 Bonbons werden vollständig und gleichmäßig verteilt. Wie viele erhält jedes von drei und jedes von sechs Kindern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bei 3 Kindern
Bei 6 Kindern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei drei Kindern sind es $\mathsf{36:3=12}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei sechs Kindern sind es $\mathsf{36:6=6}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bei 3 Kindern12 Bonbons
2. Bei 6 Kindern6 Bonbons
02
Aufgabe 2Antiproportionaler Dreisatz · ÜbungFünf Pumpen füllen einen Behälter in 8 h. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten. Wie lange brauchen zwei für denselben Behälter und Anfangsfüllstand?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eine Pumpe
Zwei Pumpen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Pumpe benötigt $\mathsf{5\cdot8=40}$ Stunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei Pumpen benötigen $\mathsf{40:2=20}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eine Pumpe40 h
2. Zwei Pumpen20 h
03
Aufgabe 3Antiproportionaler Dreisatz · ÜbungAcht Maschinen bearbeiten einen festen Auftrag in 3 h. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung. Wie lange brauchen sechs Maschinen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Arbeitsumfang
Zeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Arbeitsumfang entspricht $\mathsf{8\cdot3=24}$ Maschinenstunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei sechs Maschinen beträgt die Zeit $\mathsf{24:6=4}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Arbeitsumfang24 Maschinenstunden
2. Zeit4 h
04
Aufgabe 4Antiproportionaler Dreisatz · ÜbungEin Fahrzeug legt 120 km ohne Pause mit konstanter Geschwindigkeit zurück. Berechne die Zeit bei 40 km/h und bei 80 km/h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit bei 40 km/h
Zeit bei 80 km/h
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 40 km/h gilt $\mathsf{120:40=3}$ Stunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei 80 km/h gilt $\mathsf{120:80=1{,}5}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeit bei 40 km/h3 h
2. Zeit bei 80 km/h1,5 h
05
Aufgabe 5Antiproportionaler Dreisatz · ÜbungPrüfe die Paare $\mathsf{(2;18)}$ , $\mathsf{(3;12)}$ und $\mathsf{(6;6)}$ auf ein gemeinsames antiproportionales Modell. Gib jedes Produkt an. Begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt 1
Produkt 2
Produkt 3
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Erstes Produkt: $\mathsf{2\cdot18=36}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zweites Produkt: $\mathsf{3\cdot12=36}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Drittes Produkt: $\mathsf{6\cdot6=36}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt 136
2. Produkt 236
3. Produkt 336
4. UrteilJa.
5. BegründungAlle drei Produkte sind gleich; die Paare passen zum selben antiproportionalen Modell.
06
Aufgabe 6Antiproportionaler Dreisatz · Übung72 Liter werden gleichmäßig auf ausreichend große Gefäße verteilt. Ergänze die Inhalte bei 8,9 und 12 Gefäßen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
8 Gefäße
9 Gefäße
12 Gefäße
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei acht Gefäßen gilt $\mathsf{72:8=9}$ Liter.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei neun Gefäßen gilt $\mathsf{72:9=8}$ Liter.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Bei zwölf Gefäßen gilt $\mathsf{72:12=6}$ Liter.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 8 Gefäße9 Liter je Gefäß
2. 9 Gefäße8 Liter je Gefäß
3. 12 Gefäße6 Liter je Gefäß
07
Aufgabe 7Antiproportionaler Dreisatz · TransferWarum lässt sich die Verteilung von 72 Litern nicht auf null Gefäße fortsetzen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ohne Gefäß kann die Menge nicht aufgeteilt werden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die erforderliche Division durch 0 ist nicht definiert.
Ergebnis
1. BegründungNull Gefäße ergeben keine Verteilung; durch null darf nicht geteilt werden.
08
Aufgabe 8Antiproportionaler Dreisatz · TransferEin Auftrag benötigt 4 h mit drei Personen. Alle leisten gleich viel, arbeiten gleichzeitig ohne Behinderung und ohne feste Zusatzzeiten. Bestimme die Zeit mit sechs Personen. Erkläre außerdem, warum das Ergebnis ohne diese Annahmen nicht sicher wäre.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit im Modell
Grenze des Modells
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gesamtarbeit entspricht $\mathsf{3\cdot4=12}$ Personenstunden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Sechs Personen brauchen $\mathsf{12:6=2}$ Stunden.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Unterschiedliche Leistung oder Behinderung könnte diese Rechnung ungültig machen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeit im Modell2 h
2. Grenze des ModellsNur bei den genannten Annahmen verdoppelt sich die gemeinsame Leistung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die feste Gesamtmenge.
Ich prüfe die Produktkonstanz.
Ich beachte positive Größen und die Grenzen des Modells.

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