Dreisatz · Erklären & üben

Dreisatz

Der Dreisatz verbindet ein bekanntes Wertepaar mit einem gesuchten Wert. Entscheidend ist, ob der Quotient oder das Produkt der Größen konstant bleibt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quotient oder Produkt?

Bei proportionalen Größen bleibt der Quotient konstant, etwa Euro je Meter. Bei antiproportionalen Größen bleibt das Produkt konstant, etwa Pumpenanzahl mal Füllzeit für dieselbe Arbeit.

Die Verdopplungsprobe ist ein Modelltest: Gilt bei doppelter Eingabe wirklich doppelter beziehungsweise halber Zielwert? Dafür müssen die Bedingungen unverändert bleiben.

Benenne die Größen mit Einheiten.
Prüfe Quotient oder Produkt.

Gleiche Richtung allein beweist keine Proportionalität.

So geht es am Beispiel

Eine Tabelle enthält zwei Kilogramm für sechs Euro und vier Kilogramm für zwölf Euro. Prüfe den Kilopreis.

Beim ersten Paar ist der Kilopreis $\mathsf{6:2=3}$ Euro.

Beim zweiten Paar ist er $\mathsf{12:4=3}$ Euro.

Erklärung 02

Proportionaler Dreisatz in drei Zeilen

Acht Meter Stoff kosten sechzig Euro. Der Meterpreis bleibt gleich; es gibt keine Zusatzgebühr oder Mengenrabatte.

Die erste Zeile hält die gegebenen Größen fest. Die zweite führt auf einen Meter. Die dritte führt zur gesuchten Länge.

Bekannt:8 m gehören zu 60 Euro.
Auf 1 m: Preis durch 8 teilen.
Auf 5 m: Einzelpreis mit 5 multiplizieren.

Auf beiden Seiten steht derselbe Rechenfaktor.

Dreizeiliger proportionaler Dreisatz von 8 über 1 auf 5 Meter.

So geht es am Beispiel

Berechne den Preis von 5 m Stoff.

Der Meterpreis beträgt $\mathsf{60:8=7{,}50}$ Euro.

Fünf Meter kosten $\mathsf{7{,}50\cdot5=37{,}50}$ Euro.

Erklärung 03

Antiproportionaler Dreisatz in drei Zeilen

Sechs Pumpen füllen einen Behälter in vier Stunden. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten. Der Behälter und sein Anfangsfüllstand bleiben gleich.

Eine Pumpe benötigt sechsmal so lange. Drei Pumpen teilen diese Zeit durch drei.

Bekannt:6 Pumpen benötigen 4 h.
Auf 1 Pumpe: Zeit mit 6 multiplizieren.
Auf 3 Pumpen: Zeit durch 3 teilen.

Bei antiproportionalen Größen sind die Rechenfaktoren umgekehrt.

DreiPumpen brauchen unter gleichen Leistungsannahmen acht Stunden.

So geht es am Beispiel

Wie lange brauchen 3 Pumpen?

Eine Pumpe braucht $\mathsf{4\cdot6=24}$ Stunden.

Drei Pumpen brauchen $\mathsf{24:3=8}$ Stunden.

Erklärung 04

Einheiten und Ergebnis prüfen

Minuten und Stunden dürfen nicht ungeprüft als gleichartige Zahlen in einer Rechnung stehen. Rechne zunächst in dieselbe Einheit um.

Prüfe danach die Größenordnung: Weniger Stoff muss bei festem Meterpreis weniger kosten. Weniger gleich starke Pumpen müssen für dieselbe Menge länger brauchen. Weiterlernen: Dreisatz Aufgaben übt diese Entscheidungen.

Gleiche Einheiten an.
Berechne den Zielwert.
Prüfe die Richtung.

Ein korrekt ausgerechneter Wert kann zum falschen Modell gehören.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 90 Minuten und 1,5 Stunden.

Eine Stunde enthält 60 Minuten.

$\mathsf{1{,}5\cdot60=90}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dreisatz · EinstiegNeun Meter Seil kosten 72 Euro, bei konstantem Meterpreis ohne Zusatzkosten. Was kosten 4 m?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Meterpreis
Gesamtpreis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Meter kostet $\mathsf{72:9=8}$ Euro.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vier Meter kosten $\mathsf{8\cdot4=32}$ Euro.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Meterpreis8 Euro pro Meter
2. Gesamtpreis32 Euro
02
Aufgabe 2Dreisatz · Übung2,5 kg Reis kosten 7,50 Euro. Der Kilopreis ist konstant, ohne Zusatzkosten. Was kosten 6 kg?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kilopreis
Preis für 6 kg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Kilogramm kostet $\mathsf{7{,}50:2{,}5=3}$ Euro.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Sechs Kilogramm kosten $\mathsf{3\cdot6=18}$ Euro.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kilopreis3 Euro pro Kilogramm
2. Preis für 6 kg18 Euro
03
Aufgabe 3Dreisatz · ÜbungFünf Pumpen füllen einen Behälter in 12 h. Alle Pumpen leisten gleich viel und laufen gleichzeitig mit konstanter Förderrate. Sie behindern sich nicht; es gibt keine Ausfälle oder Rüstzeiten. Wie lange brauchen drei Pumpen für denselben Behälter vom selben Anfangsfüllstand?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit für 1 Pumpe
Zeit für 3 Pumpen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Pumpe braucht $\mathsf{5\cdot12=60}$ Stunden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Drei Pumpen brauchen $\mathsf{60:3=20}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zeit für 1 Pumpe60 h
2. Zeit für 3 Pumpen20 h
04
Aufgabe 4Dreisatz · ÜbungBei gleichbleibender Geschwindigkeit legt ein Radfahrer in 90 Minuten 27 km zurück. Welche Strecke schafft er in 2 Stunden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zielzeit in Minuten
Strecke
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Zwei Stunden entsprechen $\mathsf{2\cdot60=120}$ Minuten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Pro Minute legt er $\mathsf{27:90=0{,}3}$ Kilometer zurück.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  In 120 Minuten sind es $\mathsf{0{,}3\cdot120=36}$ Kilometer.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zielzeit in Minuten120 min
2. Strecke36 km
05
Aufgabe 5Dreisatz · TransferPrüfe die Wertepaare zwei Kilogramm für acht Euro und fünf Kilogramm für zwanzig Euro auf gleichen Kilopreis. Prüfe zusätzlich drei Kilogramm für fünfzehn Euro. Passen alle drei zu einem proportionalen Modell? Begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kilopreis erstes Paar
Kilopreis zweites Paar
Kilopreis drittes Paar
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das erste Paar ergibt $\mathsf{8:2=4}$ Euro je Kilogramm.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das zweite ergibt $\mathsf{20:5=4}$ Euro je Kilogramm.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das dritte ergibt $\mathsf{15:3=5}$ Euro je Kilogramm.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kilopreis erstes Paar4 Euro/kg
2. Kilopreis zweites Paar4 Euro/kg
3. Kilopreis drittes Paar5 Euro/kg
4. UrteilNein.
5. BegründungDas dritte Paar hat einen anderen Kilopreis.
06
Aufgabe 6Dreisatz · TransferVier gleiche Maschinen benötigen für einen Auftrag 6 h. Alle Maschinen arbeiten gleichzeitig mit gleicher konstanter Leistung. Es gibt keine Ausfälle, Rüstzeiten oder gegenseitige Behinderung. Kim rechnet für zwei Maschinen 3 h. Finde den Richtungsfehler und korrigiere.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtige Zeit
Richtungsfehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die halbe Maschinenzahl braucht für denselben Auftrag doppelte Zeit.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zeit ist $\mathsf{6\cdot2=12}$ Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtige Zeit12 h
2. RichtungsfehlerKim hat die Zeit halbiert, obwohl die verfügbare Leistung halbiert wurde.
07
Aufgabe 7Dreisatz · TransferEin Tarif verlangt 4 Euro Grundpreis und 3 Euro je Stunde. Bestimme die Kosten für 2 und 4 Stunden und prüfe Proportionalität. Begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Preis für 2 h
Preis für 4 h
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwei Stunden kosten $\mathsf{4+3\cdot2=10}$ Euro.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vier Stunden kosten $\mathsf{4+3\cdot4=16}$ Euro.
3. Schritt 3 · Erklärung
  16 ist nicht das Doppelte von 10.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Preis für 2 h10 Euro
2. Preis für 4 h16 Euro
3. UrteilNicht proportional.
4. BegründungEin fester Grundpreis kommt hinzu.
08
Aufgabe 8Dreisatz · TransferEine Angabe lautet nur: „Zwei Personen streichen einen Raum in 6 h.“ Darf man für vier Personen sicher 3 h vorhersagen? Nenne zwei fehlende Modellannahmen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Annahme 1
Annahme 2
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Angabe sagt nichts über die Leistung der zusätzlichen Personen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Auch Behinderung oder unveränderliche Trockenzeiten können das Ergebnis beeinflussen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein, aus der Angabe allein folgt das nicht.
2. Annahme 1Alle Personen müssten gleich leistungsfähig sein.
3. Annahme 2Sie müssten ohne Behinderung und feste Zusatzzeiten parallel arbeiten können.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich begründe die Modellwahl.
Ich kann proportionale und antiproportionale Dreizeilenrechnungen aufstellen.
Ich gleiche Einheiten an und prüfe die Ergebnisrichtung.

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