Rechenregeln · Erklären & üben

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Ausmultiplizieren verwandelt ein Produkt in eine Summe. Ausklammern fasst eine Summe wieder zu einem Produkt zusammen. Beide Umformungen erhalten den Wert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Jeden Summanden erreichen

Das Distributivgesetz lautet $\mathsf{a(b+c)=ab+ac}$ . Beim Ausmultiplizieren wird der Faktor mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert. Bei einer Differenz gilt entsprechend $\mathsf{a(b-c)=ab-ac}$ . Die Regeln gelten für reelle Zahlen und Variablen.

Bilde jedes Teilprodukt einzeln
Fasse erst danach gleichartige Terme zusammen.

Der Faktor wirkt auf jeden Summanden.

Rechteckhöhe sechs, Teilbreiten zehn und drei im korrekten Verhältnis. Die beiden Flächen haben sechzig und achtzehn Flächeneinheiten. Ihre Summe ist achtundsiebzig.

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{6(10+3)}$ aus.

$\mathsf{6\cdot10=60}$

$\mathsf{6\cdot3=18}$

$\mathsf{60+18=78}$

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{-3(2x-5)}$ aus.

$\mathsf{(-3)\cdot2x=-6x}$

$\mathsf{(-3)\cdot(-5)=15}$

$\mathsf{-3(2x-5)=-6x+15}$

Erklärung 02

Zwei Klammern multiplizieren

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten multipliziert. Bei je zwei Summanden entstehen vier Teilprodukte. Erst danach werden gleichartige Terme zusammengefasst.

Notiere die vier Paarungen
Achte bei jeder auf das Vorzeichen.

Jeder Summand trifft jeden Summanden.

Ein Rechteck mit Seiten x plus zwei und x plus fünf, maßstäblich für x gleich drei. Vier Teilflächen x Quadrat, fünf x, zwei x und zehn. Das Flächenmodell setzt positive Seiten voraus.

So geht es am Beispiel

Multipliziere $\mathsf{(x+2)(x+5)}$ aus.

$\mathsf{x\cdot x=x^2}$

$\mathsf{x\cdot5=5x}$

$\mathsf{2\cdot x=2x}$

$\mathsf{2\cdot5=10}$

$\mathsf{(x+2)(x+5)=x^2+5x+2x+10}$

$\mathsf{x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10}$

Erklärung 03

Gemeinsame Faktoren ausklammern

Suche einen Faktor, der in jedem Summanden enthalten ist. Schreibe ihn vor die Klammer und notiere innen die verbleibenden Faktoren. Wird ein Summand vollständig ausgeklammert, bleibt innen eine Eins. Das Ausklammern einer Variablen ist eine Produktumformung und setzt nicht voraus, dass diese Variable ungleich null ist.

Zerlege jeden Summanden als Produkt
Stelle den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.

Beim Zurückmultiplizieren muss jeder ursprüngliche Summand entstehen.

Zwei x Quadrat plus zwei x wird als zwei x mal x plus zwei x mal eins zerlegt. Der gemeinsame Faktor zwei x führt zu zwei x mal Klammer x plus eins. Die Identität gilt auch für x gleich null.

So geht es am Beispiel

Klammere aus $\mathsf{18x+12}$ die Zahl sechs aus.

$\mathsf{18x=6\cdot3x}$

$\mathsf{12=6\cdot2}$

$\mathsf{18x+12=6(3x+2)}$

So geht es am Beispiel

Klammere aus $\mathsf{x^2+4x}$ den Faktor x aus.

$\mathsf{x^2=x\cdot x}$

$\mathsf{4x=x\cdot4}$

$\mathsf{x^2+4x=x(x+4)}$

Erklärung 04

Faktorwahl und Rückweg

Auch ein negativer gemeinsamer Faktor kann ausgeklammert werden; dann ändern sich die Vorzeichen der verbleibenden Faktoren. Es gibt oft mehrere richtige Produktdarstellungen. Eine Probe durch Ausmultiplizieren zeigt die Wertgleichheit. Faktorisieren umfasst darüber hinaus weitere Wege zur Produktdarstellung, etwa binomische Formeln.

Wähle den gewünschten gemeinsamen Faktor
Multipliziere zur Kontrolle wieder aus.

Ausklammern ist Ausmultiplizieren rückwärts.

So geht es am Beispiel

Klammere aus $\mathsf{-8x+12}$ den Faktor minus vier aus.

$\mathsf{-8x=(-4)\cdot2x}$

$\mathsf{12=(-4)\cdot(-3)}$

$\mathsf{-8x+12=-4(2x-3)}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Ausmultiplizieren und Ausklammern · 1Multipliziere $\mathsf{4(7+2)}$ aus und berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot7=28}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot2=8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{28+8=36}$
Ergebnis
1. Ergebnis36
02
Aufgabe 2Ausmultiplizieren und Ausklammern · 1Multipliziere $\mathsf{5(3x+2)}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Term ohne Klammern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5\cdot3x=15x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{5\cdot2=10}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{5(3x+2)=15x+10}$
Ergebnis
1. Term ohne Klammern $\mathsf{15x+10}$
03
Aufgabe 3Ausmultiplizieren und Ausklammern · 2Multipliziere $\mathsf{-2(4x-7)}$ aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Term ohne Klammern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)\cdot4x=-8x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-2)\cdot(-7)=14}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{-2(4x-7)=-8x+14}$
Ergebnis
1. Term ohne Klammern $\mathsf{-8x+14}$
04
Aufgabe 4Ausmultiplizieren und Ausklammern · 2Multipliziere $\mathsf{(x+3)(x-4)}$ aus und fasse zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zusammengefasster Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot x=x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot(-4)=-4x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot x=3x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot(-4)=-12}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{(x+3)(x-4)=x^2-4x+3x-12}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{x^2-4x+3x-12=x^2-x-12}$
Ergebnis
1. Zusammengefasster Term $\mathsf{x^2-x-12}$
05
Aufgabe 5Ausmultiplizieren und Ausklammern · 1Klammere aus $\mathsf{20x+15}$ den Faktor fünf aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{20x=5\cdot4x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{15=5\cdot3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{20x+15=5(4x+3)}$
Ergebnis
1. Produktdarstellung $\mathsf{5(4x+3)}$
06
Aufgabe 6Ausmultiplizieren und Ausklammern · 2Klammere aus $\mathsf{6x^2-9x}$ den Faktor drei x aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{6x^2=3x\cdot2x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{-9x=3x\cdot(-3)}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{6x^2-9x=3x(2x-3)}$
Ergebnis
1. Produktdarstellung $\mathsf{3x(2x-3)}$
07
Aufgabe 7Ausmultiplizieren und Ausklammern · 2Klammere aus $\mathsf{-10a-15}$ den Faktor minus fünf aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{-10a=(-5)\cdot2a}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{-15=(-5)\cdot3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{-10a-15=-5(2a+3)}$
Ergebnis
1. Produktdarstellung $\mathsf{-5(2a+3)}$
08
Aufgabe 8Ausmultiplizieren und Ausklammern · 3Ist $\mathsf{3(x+4)=3x+4}$ für alle x richtig? Korrigiere den rechten Term und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot x=3x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3\cdot4=12}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{3(x+4)=3x+12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtiger Term $\mathsf{3x+12}$
3. BegründungDer Faktor drei muss mit beiden Summanden multipliziert werden, also auch mit der vier.
09
Aufgabe 9Ausmultiplizieren und Ausklammern · 3Klammere aus $\mathsf{2x^2+2x}$ den Faktor zwei x aus. Gilt die Umformung auch für x gleich null? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produktdarstellung
Auch für x gleich null gültig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{2x^2=2x\cdot x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{2x=2x\cdot1}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{2x^2+2x=2x(x+1)}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Bei x gleich null sind beide Seiten null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produktdarstellung $\mathsf{2x(x+1)}$
2. Auch für x gleich null gültig?Ja
3. BegründungEs wird keine Gleichung durch x geteilt. Beide Terme sind für x gleich null definiert und haben dann den Wert null.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich begründe den nächsten Rechenschritt.
Ich beachte jedes Vorzeichen und jede Klammer.
Ich erhalte beim Umformen den Wert des Terms.

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