Rechenregeln · Erklären & üben

Klammern auflösen

Bevor du eine Klammer entfernst, prüfst du das Zeichen davor und die Operation, zu der sie gehört. So bleiben Vorzeichen und Wert des Ausdrucks erhalten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Plus und Minus vor der Klammer

Ein Plus vor einer Klammer lässt die Zeichen der Summanden unverändert. Ein Minus vor der Klammer wirkt wie der Faktor minus eins: Jeder Summand wechselt sein Vorzeichen. Deshalb gilt $\mathsf{a-(b-c)=a-b+c}$ .

Bestimme das Zeichen unmittelbar vor der Klammer
Übertrage bei Minus die Gegenzahl jedes Summanden.

Bei einer Minusklammer wechseln alle inneren Summandenvorzeichen.

Minus vor x minus drei bedeutet Multiplikation jedes Summanden mit minus eins. Es entstehen minus x und plus drei.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{8+(x-3)}$ auf.

$\mathsf{8+(x-3)=8+x-3}$

$\mathsf{8+x-3=x+5}$

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{8-(x-3)}$ auf.

$\mathsf{8-(x-3)=8-x+3}$

$\mathsf{8-x+3=11-x}$

Erklärung 02

Faktor oder Divisor?

Eine Zahl oder Variable direkt vor einer Klammer bedeutet Multiplikation. Sie wird mit jedem Summanden multipliziert. Bei einem Geteiltzeichen wird dagegen durch den gesamten Klammerwert dividiert. Dieser muss ungleich null sein. Man darf $\mathsf{a:(b+c)}$ nicht zu $\mathsf{a:b+a:c}$ umformen. Für einen gemeinsamen Divisor gilt hingegen $\mathsf{(a+b):c=a:c+b:c}$ , sofern c ungleich null ist.

Unterscheide Multiplikation und Division
Bei Division erst den gesamten Nenner beziehungsweise Divisor betrachten.

Ein Klammerwert als Divisor darf nicht null sein.

Der Ausdruck dreißig geteilt durch zwei plus drei in Klammern wird zuerst im Divisor zu fünf zusammengefasst. Dreißig geteilt durch fünf ergibt sechs.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{4(2x-3)}$ auf.

$\mathsf{4\cdot2x=8x}$

$\mathsf{4\cdot(-3)=-12}$

$\mathsf{4(2x-3)=8x-12}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{30:(2+3)}$ .

$\mathsf{2+3=5}$

$\mathsf{30:5=6}$

Erklärung 03

Zwei Klammern und verschachtelte Klammern

Bei zwei multiplizierten Klammern wird jeder Summand der ersten mit jedem der zweiten multipliziert. Bei verschachtelten Klammern löst du zuerst die innere Klammer auf und behältst die äußere zunächst bei. Fasse erst nach dem vollständigen Auflösen gleichartige Terme zusammen.

Beginne innen
Erhalte äußere Zeichen, bis ihre Klammer aufgelöst wird.

Jedes Teilprodukt behält sein eigenes Vorzeichen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{(x-2)(x+3)}$ auf.

$\mathsf{x\cdot x=x^2}$

$\mathsf{x\cdot3=3x}$

$\mathsf{(-2)\cdot x=-2x}$

$\mathsf{(-2)\cdot3=-6}$

$\mathsf{(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6}$

$\mathsf{x^2+3x-2x-6=x^2+x-6}$

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{7-[2-(x+1)]}$ auf.

$\mathsf{7-[2-(x+1)]=7-[2-x-1]}$

$\mathsf{7-[2-x-1]=7-(1-x)}$

$\mathsf{7-(1-x)=7-1+x}$

$\mathsf{7-1+x=6+x}$

Erklärung 04

Potenzen von Klammern

Die Potenz einer Summe wird nicht gliedweise berechnet. Ein Quadrat bedeutet, dass der gesamte Klammerausdruck mit sich selbst multipliziert wird: $\mathsf{(a+b)^2=(a+b)(a+b)}$ . Bei reinen Zahlen kannst du zuerst den Klammerwert berechnen und diesen potenzieren. Ausmultiplizieren und Ausklammern vertieft die Umformung zwischen Summe und Produkt.

Schreibe ein Quadrat als Produkt zweier gleicher Klammern
Bilde alle Teilprodukte.

Die Hochzahl bezieht sich auf die gesamte Klammer.

Quadrat mit Seiten x plus zwei, maßstäblich für x gleich drei. Die Teilflächen sind x Quadrat, zweimal zwei x und vier. Daher enthält das Ergebnis auch den gemischten Term vier x.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{(x+2)^2}$ auf.

$\mathsf{(x+2)^2=(x+2)(x+2)}$

$\mathsf{x\cdot x=x^2}$

$\mathsf{x\cdot2=2x}$

$\mathsf{2\cdot x=2x}$

$\mathsf{2\cdot2=4}$

$\mathsf{(x+2)(x+2)=x^2+2x+2x+4}$

$\mathsf{x^2+2x+2x+4=x^2+4x+4}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Klammern auflösen · 1Löse $\mathsf{6+(2x-5)}$ auf und fasse zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{6+(2x-5)=6+2x-5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{6+2x-5=2x+1}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{2x+1}$
02
Aufgabe 2Klammern auflösen · 1Löse $\mathsf{9-(3x-4)}$ auf und fasse zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{9-(3x-4)=9-3x+4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{9-3x+4=13-3x}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{13-3x}$
03
Aufgabe 3Klammern auflösen · 1Löse $\mathsf{-3(2x+5)}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Term ohne Klammern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(-3)\cdot2x=-6x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{(-3)\cdot5=-15}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{-3(2x+5)=-6x-15}$
Ergebnis
1. Term ohne Klammern $\mathsf{-6x-15}$
04
Aufgabe 4Klammern auflösen · 2Berechne $\mathsf{48:(5+3)}$ . Ist das gleich $\mathsf{48:5+48:3}$ ? Begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis des ursprünglichen Terms
Sind die Ausdrücke gleich?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{5+3=8}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{48:8=6}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der andere Ausdruck ist eine Summe zweier Quotienten, keine Division durch acht.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis des ursprünglichen Terms6
2. Sind die Ausdrücke gleich?Nein
3. BegründungBeim ursprünglichen Term wird durch den gesamten Klammerwert acht geteilt. Die Division lässt sich nicht auf die Summanden im Divisor verteilen.
05
Aufgabe 5Klammern auflösen · 2Löse $\mathsf{(x+4)(x-2)}$ auf und fasse zusammen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot x=x^2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot(-2)=-2x}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot x=4x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{4\cdot(-2)=-8}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x^2+2x-8}$
06
Aufgabe 6Klammern auflösen · 3Löse $\mathsf{10-[3-(x-2)]}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{10-[3-(x-2)]=10-[3-x+2]}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{10-[3-x+2]=10-(5-x)}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{10-(5-x)=10-5+x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{10-5+x=5+x}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{5+x}$
07
Aufgabe 7Klammern auflösen · 3Löse $\mathsf{(x-3)^2}$ auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Term ohne Klammern
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{(x-3)^2=(x-3)(x-3)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot x=x^2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{x\cdot(-3)=-3x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{(-3)\cdot x=-3x}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{(-3)\cdot(-3)=9}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{(x-3)(x-3)=x^2-3x-3x+9}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  $\mathsf{x^2-3x-3x+9=x^2-6x+9}$
Ergebnis
1. Term ohne Klammern $\mathsf{x^2-6x+9}$
08
Aufgabe 8Klammern auflösen · 3Berechne $\mathsf{(4+2)^2}$ . Stimmt hier $\mathsf{(4+2)^2=4^2+2^2}$ ? Gib auch den Wert der rechten Seite an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert des Klammerquadrats
Urteil
Wert der rechten Seite
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{4+2=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{6^2=36}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{4^2=16}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{2^2=4}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{16+4=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert des Klammerquadrats36
2. UrteilNein
3. Wert der rechten Seite20
4. BegründungDas Quadrat der Summe enthält zusätzlich die beiden gemischten Teilprodukte. Sechsunddreißig ist nicht zwanzig.
09
Aufgabe 9Klammern auflösen · 3Betrachte $\mathsf{12:(x-2)}$ . Welcher Wert für x ist ausgeschlossen? Berechne den Term für x gleich fünf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgeschlossener Wert für x
Termwert für x gleich fünf
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Divisor darf nicht null sein: $\mathsf{x-2\ne0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daher gilt $\mathsf{x\ne2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{5-2=3}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{12:3=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ausgeschlossener Wert für x2
2. Termwert für x gleich fünf4

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich begründe den nächsten Rechenschritt.
Ich beachte jedes Vorzeichen und jede Klammer.
Ich erhalte beim Umformen den Wert des Terms.

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