Berechnen von Wahrscheinlichkeiten · Erklären & üben

Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel ordnet Fälle nach zwei Ja-Nein-Merkmalen. Innere Felder zeigen Schnittmengen, die Ränder zeigen Summen. So bleiben die Bezugsgruppen sichtbar.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vier innere Felder und die Ränder

Jeder Fall gehört genau in ein inneres Feld. Die Zeilen unterscheiden B und nicht B; die Spalten A und nicht A. Randsummen zählen jeweils ein Merkmal, die Gesamtsumme zählt alle Fälle.

Ordne die beiden Merkmale den Zeilen und Spalten zu.
Ergänze jede Randzahl als Summe; fehlende Zellen erhältst du durch Subtraktion.

$\mathsf{H(A)=H(A\cap B)+H(A\cap\overline B)}$

Vollständige absolute Tafel mit Gesamtzahl 100 und inneren Feldern 30,20,15,35.

So geht es am Beispiel

Von 100 Personen erfüllen 30 beide Merkmale A und B. Insgesamt erfüllen 50 das Merkmal B und 45 das Merkmal A. Ergänze die übrigen inneren Felder.

Nur B ergibt sich aus der B-Zeilensumme.

\mathsf{50-30=20}

Nur A ergibt sich aus der A-Spaltensumme.

\mathsf{45-30=15}

Die verbleibenden Personen erfüllen keines der Merkmale.

\mathsf{100-30-20-15=35}

Erklärung 02

Von Anzahlen zu Anteilen

Eine relative Vierfeldertafel entsteht, indem du jede Anzahl durch dieselbe positive Gesamtzahl teilst. Die Gesamtsumme ist dann eins beziehungsweise 100 Prozent. Die innere Zelle bleibt ein Anteil an allen Fällen.

Teile jede innere Zelle und jeden Rand durch die Gesamtzahl.
Prüfe die Zeilen- und Spaltensummen.

$\mathsf{h(A\cap B)=\frac{H(A\cap B)}{n},\quad n>0}$

Zugehörige relative Tafel; Gesamtsumme eins.

So geht es am Beispiel

Wandle die Tafel mit inneren Feldern 30, 20, 15 und 35 bei insgesamt 100 Personen in relative Häufigkeiten um.

Teile jede Anzahl durch 100.

\mathsf{\frac{30}{100}=0{,}30,\quad\frac{20}{100}=0{,}20}

\mathsf{\frac{15}{100}=0{,}15,\quad\frac{35}{100}=0{,}35}

Die Summe aller vier Anteile ist eins.

\mathsf{0{,}30+0{,}20+0{,}15+0{,}35=1}

Erklärung 03

Ein anderer Nenner für eine Bedingung

Für A unter der Bedingung B teilst du die gemeinsame Zelle durch die positive B-Randzahl. Die gesamte Gruppe ist dann nicht mehr der Nenner. Für Unabhängigkeit kannst du die gemeinsame Wahrscheinlichkeit mit dem Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeiten vergleichen.

Lies die Schnittzelle und die zur Bedingung gehörende Randzahl ab.
Teile erst danach; verwechsle bedingte und gemeinsame Wahrscheinlichkeit nicht.

$\mathsf{P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0}$

Auf B eingeschränkte Gruppe, A-Anteil 30 von 50, also 0,6.

So geht es am Beispiel

Eine Person wird gleich wahrscheinlich aus der Gruppe der Tafel gewählt. Berechne A unter B und vergleiche mit A insgesamt.

Innerhalb von B liegen 30 A-Fälle unter 50 Personen.

\mathsf{P(A\mid B)=\frac{30}{50}=0{,}6}

In der Gesamtgruppe erfüllen 45 von 100 Personen A.

\mathsf{P(A)=\frac{45}{100}=0{,}45}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vierfeldertafel · basisIn einer Tafel stehen in der B-Zeile 12 für A und 8 für nicht A. Bestimme die B-Randsumme.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B-Randsumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Addiere die beiden disjunkten Teilgruppen.
  $\mathsf{H(B)=12+8=20}$
Ergebnis
1. B-Randsumme20
02
Aufgabe 2Vierfeldertafel · basisBei insgesamt 80 Fällen erfüllen 18 beide Merkmale. Insgesamt erfüllen 30 das Merkmal B und 40 das Merkmal A. Berechne „nur B“, „nur A“ und „keines“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nur B
Nur A
Keines
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nur B:
  $\mathsf{30-18=12}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nur A:
  $\mathsf{40-18=22}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Keines:
  $\mathsf{80-18-12-22=28}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nur B12
2. Nur A22
3. Keines28
03
Aufgabe 3Vierfeldertafel · sichernEine absolute Tafel hat inneren Inhalt 12, 8, 18 und 12 bei insgesamt 50 Fällen. Gib die vier relativen Häufigkeiten in derselben Reihenfolge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Feld
Zweites Feld
Drittes Feld
Viertes Feld
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Teile jede Anzahl durch die Gesamtzahl 50.
  $\mathsf{12/50=0{,}24}$
  $\mathsf{8/50=0{,}16}$
  $\mathsf{18/50=0{,}36}$
  $\mathsf{12/50=0{,}24}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Feld $\mathsf{0{,}24}$
2. Zweites Feld $\mathsf{0{,}16}$
3. Drittes Feld $\mathsf{0{,}36}$
4. Viertes Feld $\mathsf{0{,}24}$
04
Aufgabe 4Vierfeldertafel · anwendenErgänze alle fehlenden inneren Felder und Randzahlen in der Vorlage. Die Gesamtzahl ist 60. Prüfe danach beide Arten von Randsummen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Kontrolle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die gemeinsame Zelle ist 18; die B-Zeile hat Summe 24. Daher nur B:
  $\mathsf{24-18=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die A-Spalte hat Summe 30. Daher nur A:
  $\mathsf{30-18=12}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Keines:
  $\mathsf{60-18-6-12=24}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die übrigen Randsummen sind 36 für nicht B und 30 für nicht A.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungSiehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
2. KontrolleBeide Spalten ergeben 30; die Zeilen ergeben 24 und 36; insgesamt 60.
05
Aufgabe 5Vierfeldertafel · vertiefenAus der ausgefüllten Tafel der Aufgabe 4 wird ein Fall gleich wahrscheinlich gewählt. Berechne A unter B sowie B unter A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
A unter B
B unter A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für die Bedingung B ist der Nenner 24.
  $\mathsf{P(A\mid B)=18/24=3/4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für die Bedingung A ist der Nenner 30.
  $\mathsf{P(B\mid A)=18/30=3/5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. A unter B $\mathsf{3/4=75\,\%}$
2. B unter A $\mathsf{3/5=60\,\%}$
06
Aufgabe 6Vierfeldertafel · transferEine relative Tafel hat in der B-Zeile 0,12 und 0,18, in der Nicht-B-Zeile 0,28 und 0,42; die A-Spalte steht jeweils zuerst. Prüfe, ob A und B unabhängig sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Randwahrscheinlichkeiten sind:
  $\mathsf{P(A)=0{,}12+0{,}28=0{,}4}$
  $\mathsf{P(B)=0{,}12+0{,}18=0{,}3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vergleiche die Schnittzelle mit dem Produkt.
  $\mathsf{P(A)P(B)=0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12=P(A\cap B)}$
Ergebnis
1. UrteilA und B sind unabhängig, weil die Schnittwahrscheinlichkeit dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten entspricht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich ergänze eine Vierfeldertafel durch Zeilen- und Spaltensummen.
Ich unterscheide absolute und relative Häufigkeiten.
Ich wähle für bedingte Wahrscheinlichkeiten die passende Randzahl.

AT Academy · Version 2026-10-21