Bernoulliverteilung

Erklärung 01

Ein Versuch, zwei Werte

1. 1

   Definiere den Erfolg vor dem Versuch.

2. 2

   Ordne Erfolg den Wert 1, Misserfolg den Wert 0 zu.

3. 3

   Lege p begründet fest.

$\mathsf{P(X=1)=p,\qquad P(X=0)=1-p}$

Erklärung 02

Masse und Verteilungsfunktion

1. 1

   Unter 0 liegt die Summe bei 0.

2. 2

   Ab 0 bis unter 1 ist nur der Misserfolg erfasst.

3. 3

   Ab 1 sind beide möglichen Werte erfasst.

$\mathsf{F(x)=\begin{cases}0&x<0\\1-p&0\leq x<1\\1&x\geq1\end{cases}}$

Erklärung 03

Mittelwert und Streuung

1. 1

   Gewichte die Werte 0 und 1 mit ihren Chancen.

2. 2

   Berechne die Varianz und danach die positive Wurzel.

$\mathsf{E(X)=p,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=p(1-p),\qquad\sigma=\sqrt{p(1-p)}}$

Erklärung 04

Mehrere Versuche sind ein anderes Modell

1. 1

   Prüfe, ob X einen einzelnen Erfolg markiert oder mehrere Erfolge zählt.

2. 2

   Prüfe bei mehreren Ziehungen, ob zurückgelegt wird.

Ein Bernoulli-Indikator hat nur die Werte 0 und 1.

1. 01
   Aufgabe 1Bernoulliverteilung · EinstiegEin fairer Würfel wird einmal geworfen. Erfolg bedeutet „durch 3 teilbar“. Gib p und die Wahrscheinlichkeit für $\mathsf{X=0}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erfolgswahrscheinlichkeit

   Misserfolgswahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Erfolg tritt bei 3 oder 6 ein.

      $$\mathsf{p=\frac26=\frac13}$$

      $$\mathsf{P(X=0)=1-\frac13=\frac23}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erfolgswahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac13}$
   2. Misserfolgswahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac23}$
2. 02
   Aufgabe 2Bernoulliverteilung · EinstiegEin Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit 0,06 fehlerhaft. X ist 1 bei einem Fehler, sonst 0. Y ist 1 bei einem fehlerfreien Teil, sonst 0. Bestimme die Parameter beider Indikatoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Parameter von X

   Parameter von Y
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Der Erfolg ist jeweils durch die Definition festgelegt.

      $$\mathsf{p_X=0{,}06}$$

      $$\mathsf{p_Y=1-0{,}06=0{,}94}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Parameter von X
      $\mathsf{0{,}06}$
   2. Parameter von Y
      $\mathsf{0{,}94}$
3. 03
   Aufgabe 3Bernoulliverteilung · AnwendenZeichne die Wahrscheinlichkeitsfunktion für $\mathsf{p=0{,}25}$ in die Vorlage. Beschrifte beide Säulen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Wahrscheinlichkeitsfunktion

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Wahrscheinlichkeitsfunktion
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Bei 1 liegt die Höhe 0,25; bei 0 die Gegenwahrscheinlichkeit 0,75.

      $$\mathsf{0{,}75+0{,}25=1}$$

   Ergebnis

   1. Wahrscheinlichkeitsfunktion
      Säule bei 0 mit Höhe 0,75; bei 1 mit Höhe 0,25.
4. 04
   Aufgabe 4Bernoulliverteilung · AnwendenEin Bernoulli-Modell hat $\mathsf{p=0{,}65}$. Bestimme $\mathsf{F(0)}$, $\mathsf{F(0{,}9)}$ und $\mathsf{F(1)}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   F(0)

   F(0,9)

   F(1)
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{F(0)=1-0{,}65=0{,}35}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bis unter 1 kommt kein neuer Wert hinzu.

      $$\mathsf{F(0{,}9)=0{,}35}$$

      $$\mathsf{F(1)=1}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. F(0)
      $\mathsf{0{,}35}$
   2. F(0,9)
      $\mathsf{0{,}35}$
   3. F(1)
      $\mathsf{1}$
5. 05
   Aufgabe 5Bernoulliverteilung · TransferBerechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung eines Bernoulli-Indikators mit $\mathsf{p=0{,}5}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartungswert

   Varianz

   Standardabweichung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{E(X)=0{,}5}$$

      $$\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25}$$

      $$\mathsf{\sigma=\sqrt{0{,}25}=0{,}5}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartungswert
      $\mathsf{0{,}5}$
   2. Varianz
      $\mathsf{0{,}25}$
   3. Standardabweichung
      $\mathsf{0{,}5}$
6. 06
   Aufgabe 6Bernoulliverteilung · TransferEine faire Münze wird dreimal unabhängig geworfen. X zählt die Köpfe, Y ist 1 bei mindestens einem Kopf und sonst 0. Welche Variable ist Bernoulli-verteilt? Bestimme ihren Parameter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Variable mit Bernoulliverteilung

   Parameter
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      X kann 0,1,2,3 annehmen und ist kein einzelner Bernoulli-Indikator.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Y markiert genau ein Ereignis mit 0 oder 1. Das Gegenereignis sind drei Zahlen.

      $$\mathsf{p_Y=1-\left(\frac12\right)^3=\frac78}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Variable mit Bernoulliverteilung
      Y; X hat vier mögliche Werte.
   2. Parameter
      $\mathsf{\frac78}$