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Verteilung · Erklären & üben

Hypergeometrische Verteilung

Die hypergeometrische Verteilung zählt Treffer beim zufälligen Ziehen ohne Zurücklegen aus einem endlichen Bestand. Eine feste Anzahl Ziehungen und die Zusammensetzung des Bestands bestimmen das Modell.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bestand, Treffer und Stichprobe

Im Bestand liegen N unterscheidbare Objekte, davon K Trefferobjekte. Es werden n Objekte ohne Zurücklegen ausgewählt, alle Teilmengen dieser Größe gleich wahrscheinlich. X zählt die Treffer in der Stichprobe. Nach einem Zug verändert sich der Bestand; die Ziehungsindikatoren sind im Allgemeinen abhängig.

N ist eine positive ganze Zahl; K und n sind ganze Zahlen zwischen 0 und N. X zählt ebenfalls nur ganze Trefferzahlen.

  1. Notiere N, K und n mit ihrer Bedeutung.

  2. Prüfe die gleich wahrscheinliche Auswahl ohne Zurücklegen.

  3. Bestimme, wie wenige und wie viele Treffer möglich sind.

max⁡(0,n−(N−K))≤X≤min⁡(n,K)\mathsf{\max(0,n-(N-K))\leq X\leq\min(n,K)}

Acht unterscheidbare Losplätze,3G und5N; Auswahl2ohneZurücklegen.

So geht es am Beispiel

Ein Losbestand enthält 8 Lose, davon 3 Gewinne. Es werden 2 Lose ohne Zurücklegen gezogen. Welche Trefferzahlen sind möglich?

N=8\mathsf{N=8}, K=3\mathsf{K=3} und n=2\mathsf{n=2}. Es gibt genug Nieten für 0 Treffer.

Mehr als 2 Treffer sind bei 2 Ziehungen unmöglich.

Ergebnis

X kann 0,1 oder 2 sein.

Erklärung 02

Günstige Teilmengen zählen

Für genau k Treffer wählst du k Trefferobjekte aus K und die übrigen n minus k aus den Nichttreffern. Beide Auswahlzahlen werden multipliziert. Der Nenner zählt alle Stichproben. Die diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion wird manchmal Dichte genannt; hier sind ihre Werte echte Einzelwahrscheinlichkeiten.

  1. Zähle die Trefferauswahl.

  2. Zähle die Nichttrefferauswahl.

  3. Teile ihr Produkt durch alle Stichproben.

P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)\mathsf{P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}}

Vollständige Verteilung10/28,15/28,3/28, Summe1.

So geht es am Beispiel

Berechne für die 8 Lose mit 3 Gewinnen die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Gewinn unter 2 gezogenen Losen.

(82)=28\mathsf{\binom82=28}
(31)(51)=3⋅5=15\mathsf{\binom31\binom51=3\cdot5=15}
P(X=1)=1528≈0,5357\mathsf{P(X=1)=\frac{15}{28}\approx0{,}5357}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa 53,57 Prozent.

Erklärung 03

Mittlere Trefferzahl und Modellgrenze

Der Erwartungswert ist Stichprobengröße mal Trefferanteil des Bestands. Er muss keine mögliche ganze Trefferzahl sein. Das Thema Geometrische Verteilung behandelt dagegen die Anzahl unabhängiger Versuche bis zum ersten Erfolg bei gleichbleibender Chance; es hat keine feste Stichprobengröße.

  1. Berechne den Trefferanteil im gesamten Bestand.

  2. Multipliziere mit der Stichprobengröße.

  3. Unterscheide Mittelwert und tatsächlich gezogene Trefferzahl.

E(X)=nKN\mathsf{E(X)=n\frac KN}

So geht es am Beispiel

Wie viele Gewinne werden bei 2 Ziehungen aus 8 Losen mit 3 Gewinnen im Mittel gezogen?

E(X)=2⋅38=34=0,75\mathsf{E(X)=2\cdot\frac38=\frac34=0{,}75}

Ergebnis

Der langfristige Mittelwert beträgt 0,75 Gewinne pro Zweierauswahl.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Hypergeometrische Verteilung · EinstiegAus 12 Bauteilen, darunter 4 fehlerhafte, werden 3 zufällig ohne Zurücklegen geprüft. X zählt die fehlerhaften Teile. Nenne N, K, n und die möglichen X-Werte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Fehlerhaft ist das Treffermerkmal.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Es sind 0 bis 3 Fehler möglich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Bestand N12
    2. Trefferobjekte K4
    3. Stichprobengröße n3
    4. Mögliche Werte0,1,2,3
  2. Aufgabe 2Hypergeometrische Verteilung · EinstiegIn einer Schachtel liegen 6 Karten, davon 2 Sternkarten. Zwei Karten werden zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 1 Sternkarte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (62)=15\mathsf{\binom62=15}
      (21)(41)=8\mathsf{\binom21\binom41=8}
      P(X=1)=815\mathsf{P(X=1)=\frac8{15}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Alle Zweierauswahlen15
    2. Günstige Auswahlen8
    3. Genau 1 Sternkarte815\mathsf{\frac8{15}}
  3. Aufgabe 3Hypergeometrische Verteilung · AnwendenVier Lose enthalten 2 Gewinne und 2 Nieten. Zwei Lose werden ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für 0,1,2 Gewinne und zeichne sie in die Vorlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Beschriftete Verteilung

    Leere Wahrscheinlichkeitsskala0bis1, Trefferzahlen0,1,2.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Es gibt 6 gleich wahrscheinliche Zweierauswahlen.

      P(X=0)=1⋅16=16\mathsf{P(X=0)=\frac{1\cdot1}{6}=\frac16}
      P(X=1)=2⋅26=23\mathsf{P(X=1)=\frac{2\cdot2}{6}=\frac23}
      P(X=2)=1⋅16=16\mathsf{P(X=2)=\frac{1\cdot1}{6}=\frac16}

    Ergebnis

    1. Beschriftete VerteilungBei 0:1/6; bei 1:2/3; bei 2:1/6.
  4. Aufgabe 4Hypergeometrische Verteilung · AnwendenAus 10 Losen mit 3 Gewinnen werden 2 ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Gegenereignis besteht aus 2 Nieten.

      P(X=0)=(72)(102)=2145=715\mathsf{P(X=0)=\frac{\binom72}{\binom{10}2}=\frac{21}{45}=\frac7{15}}
      P(X≥1)=1−715=815\mathsf{P(X\geq1)=1-\frac7{15}=\frac8{15}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Kein Gewinn715\mathsf{\frac7{15}}
    2. Mindestens ein Gewinn815\mathsf{\frac8{15}}
  5. Aufgabe 5Hypergeometrische Verteilung · TransferAus 20 Teilen mit 5 markierten Teilen werden 6 ohne Zurücklegen ausgewählt. Berechne die erwartete Anzahl markierter Teile. Kann bei einer Auswahl genau der Erwartungswert auftreten?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      E(X)=6⋅520=1,5\mathsf{E(X)=6\cdot\frac5{20}=1{,}5}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Eine konkrete Trefferzahl ist ganzzahlig;1,5 ist nur der Mittelwert.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Erwartungswert1,5 markierte Teile
    2. Als Einzelergebnis?Nein; die Trefferzahl ist ganzzahlig.
  6. Aufgabe 6Hypergeometrische Verteilung · TransferEine Urne enthält 5 Kugeln, davon 4 rote. Es werden 3 ohne Zurücklegen gezogen. Jemand setzt die Wahrscheinlichkeit für 0 rote Kugeln größer als 0 an. Begründe den Fehler und nenne die möglichen Trefferzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt nur eine nicht rote Kugel. In 3 Ziehungen müssen daher mindestens 2 rote vorkommen.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die obere Grenze ist 3.

      P(X=0)=0\mathsf{P(X=0)=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Mögliche Trefferzahlen2 und 3
    2. BegründungNur eine nicht rote Kugel ist vorhanden;0 oder 1 rote sind unmöglich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich bestimme Bestand, Trefferzahl und Stichprobengröße.
  • Ich beachte mögliche Treffergrenzen.
  • Ich rechne ohne Zurücklegen mit Teilmengen statt konstanten Chancen.

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