Diagramme · Erklären & üben

Boxplot

Ein Boxplot verdichtet eine Datenreihe auf Lage und Streuung. Du berechnest Quartile nach einer festgelegten Konvention und zeichnest Whisker und auffällige Einzelwerte.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was die Box zeigt und was nicht

Die Box reicht vom unteren zum oberen Quartil; die Linie darin markiert den Median. Die Länge der Box ist der Interquartilsabstand. Ein Boxplot zeigt weder jeden Messwert noch automatisch den Mittelwert. Auch die Anzahl der Beobachtungen muss zusätzlich genannt werden. Bei Bindungen können mehr als die nominellen 25 oder 50 Prozent auf einer Quartilgrenze liegen.

Lies Skala, Quartile und Median.
Verwechsle Boxlänge nicht mit Anzahl der Beobachtungen.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{IQR}}=Q_3-Q_1}$

Erklärung 02

Unsere Quartilkonvention: Median der Hälften

Sortiere die Daten. Bestimme zunächst den Median. Bei gerader Anzahl teilst du in zwei gleich große Hälften. Bei ungerader Anzahl lässt du den mittleren Wert bei der Halbierung weg. Das untere Quartil ist der Median der unteren, das obere der Median der oberen Hälfte. Andere Bücher oder Programme können andere Quartilkonventionen verwenden; bei kleinen Stichproben entstehen dann unterschiedliche Zahlen.

Sortieren und Median bestimmen.
Hälften gemäß der genannten Regel bilden.
Jeweils den Median der Hälfte berechnen.

Für alle Boxplots dieses Themas gilt die Median-der-Hälften-Regel.

Sortierte ungerade Datenreihe für die Quartilberechnung.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Quartile für die acht Werte 2,4,5,7,8,10,11,25 Minuten.

\mathsf{\operatorname{\textsf{Median}}=\frac{7+8}{2}=7{,}5}

\mathsf{Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5}

\mathsf{Q_3=\frac{10+11}{2}=10{,}5}

So geht es am Beispiel

Bestimme die Quartile der sieben Werte 1,2,4,6,8,10,12 Minuten.

Median 6 wird beim Halbieren ausgelassen. Die untere Hälfte ist 1,2,4; die obere 8,10,12.

\mathsf{Q_1=2,\qquad Q_3=10}

Erklärung 03

Whisker und mögliche Ausreißer

Wir verwenden die 1,5-IQR-Regel. Die Whisker enden beim kleinsten und größten tatsächlich beobachteten Wert innerhalb der Grenzen. Sie reichen nicht automatisch bis zu den rechnerischen Grenzwerten. Werte außerhalb werden als einzelne Punkte dargestellt. Die Markierung allein beweist weder einen Messfehler noch einen Grund zum Löschen. Ein einfacher Min-Max-Boxplot würde anders vorgehen; deshalb ist die Konvention wichtig.

Berechne IQR und Grenzwerte.
Suche die äußersten vorhandenen Werte innerhalb der Grenzen.
Zeichne Box, Median, Whisker und übrige Werte einzeln.

$\mathsf{G_u=Q_1-1{,}5\operatorname{\textsf{IQR}},\qquad G_o=Q_3+1{,}5\operatorname{\textsf{IQR}}}$

Boxplot von acht Zeiten mit Median-der-Hälften-Quartilen und markiertem Wert25.

So geht es am Beispiel

Ergänze den Boxplot der acht Werte aus Beispiel 1.

\mathsf{\operatorname{\textsf{IQR}}=10{,}5-4{,}5=6}

\mathsf{G_u=4{,}5-9=-4{,}5,\qquad G_o=10{,}5+9=19{,}5}

Die Whisker enden bei 2 und 11. Der Wert 25 liegt außerhalb und wird einzeln markiert.

Erklärung 04

Quartile, Quantile und Perzentile

Quantile sind Lagegrenzen zu einem Anteil p. Quartile beziehen sich auf 25,50 und 75 Prozent; Perzentile auf Hundertstelanteile. Das 95.Perzentil ist eine Grenze, bis zu der mindestens 95 Prozent liegen können; Bindungen können den tatsächlichen Anteil erhöhen. Für die folgenden allgemeinen empirischen Quantile verwenden wir ausdrücklich eine andere einfache Rangregel: Bei n sortierten Werten wähle den Wert an Rang aufgerundet n mal p. Ist das Produkt ganzzahlig, nimm genau diesen Rang. Diese Regel kann von unseren Boxplotquartilen abweichen; beide Konventionen dürfen nicht still vermischt werden. Mittelwert, Median und Modus werden im Thema Diagramm verglichen.

Lege die Quantilkonvention fest.
Berechne den Rang und runde ihn gegebenenfalls nach oben.
Lies den sortierten Datenwert ab, nicht den Rang als Ergebnis.

$\mathsf{q_p=x_{(\lceil np\rceil)}\quad(0<p\le1)}$

So geht es am Beispiel

Nutze die Rangregel für die acht Werte 2,4,5,7,8,10,11,25. Bestimme das 25.und 95.Perzentil.

\mathsf{8\cdot0{,}25=2\quad\Rightarrow\quad q_{0{,}25}=x_{(2)}=4}

\mathsf{8\cdot0{,}95=7{,}6\quad\Rightarrow\quad q_{0{,}95}=x_{(8)}=25}

Das 25.Perzentil nach dieser Rangregel ist 4; das untere Boxplotquartil nach der Median-der-Hälften-Regel ist 4,5. Die Differenz kommt von der ausdrücklich anderen Konvention.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Boxplot · EinstiegBestimme Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum der Daten 1,2,3,4,6,8,9,20. Verwende die Median-der-Hälften-Regel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Minimum
Unteres Quartil
Median
Oberes Quartil
Maximum
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{Q_1=\frac{2+3}{2}=2{,}5}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Median}}=\frac{4+6}{2}=5}$
  $\mathsf{Q_3=\frac{8+9}{2}=8{,}5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Minimum 1, Maximum 20.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Minimum $\mathsf{1}$
2. Unteres Quartil $\mathsf{2{,}5}$
3. Median $\mathsf{5}$
4. Oberes Quartil $\mathsf{8{,}5}$
5. Maximum $\mathsf{20}$
02
Aufgabe 2Boxplot · EinstiegFür diese Daten sind die Quartile 2,5 und 8,5. Berechne den Interquartilsabstand.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Interquartilsabstand
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{IQR}}=8{,}5-2{,}5=6}$
Ergebnis
1. Interquartilsabstand $\mathsf{6}$
03
Aufgabe 3Boxplot · StandardBestimme mit IQR 6 und Quartilen 2,5 und 8,5 die beiden 1,5-IQR-Grenzen. Ist 20 nach dieser Regel auffällig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Grenze
Obere Grenze
Einordnung von20
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G_u=2{,}5-1{,}5\cdot6=-6{,}5}$
  $\mathsf{G_o=8{,}5+1{,}5\cdot6=17{,}5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  20 liegt über 17,5 und wird deshalb einzeln markiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Grenze $\mathsf{-6{,}5}$
2. Obere Grenze $\mathsf{17{,}5}$
3. Einordnung von20Nach dieser Regel auffällig.
04
Aufgabe 4Boxplot · StandardZeichne den Boxplot der Zeiten 1,2,3,4,6,8,9,20 Minuten in die Vorlage. Verwende Median-der-Hälften-Quartile und 1,5-IQR-Whisker. Beschrifte die fünf zentralen Zeichnungswerte und den Einzelpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Boxplot
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Boxplot
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Box von 2,5 bis 8,5; Medianlinie bei 5. Die Whisker enden bei den vorhandenen Werten 1 und 9, nicht an den Grenzen−6,5 und 17,5.20 wird als Einzelpunkt markiert.
Ergebnis
1. BoxplotBox 2,5–8,5; Median 5; Whisker 1 und 9; Einzelpunkt 20.
05
Aufgabe 5Boxplot · TransferEin Boxplot hat einen Median von 10 Minuten. Darf man daraus schließen, dass auch die durchschnittliche Zeit 10 Minuten beträgt? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Boxplotmedian legt den arithmetischen Mittelwert nicht fest. Unterschiedliche Werte innerhalb der Bereiche können denselben Boxplot erzeugen, aber andere Mittelwerte haben.
Ergebnis
1. BegründungNein; Median und arithmetischer Mittelwert sind verschiedene Lagemaße.
06
Aufgabe 6Boxplot · TransferNutze die Rangregel $\mathsf{q_p=x_{(\lceil np ceil)}}$ für die Daten 2,4,5,7,8,10,11,25. Bestimme das 50.Perzentil nach genau dieser Regel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
50.Perzentil nach Rangregel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n p=8\cdot0{,}5=4}$
  $\mathsf{q_{0{,}5}=x_{(4)}=7}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Diese Quantilregel mittelt bei ganzzahligem Rang nicht. Der separat definierte Median der beiden mittleren Werte wäre 7,5.
Ergebnis
1. 50.Perzentil nach Rangregel $\mathsf{7}$
07
Aufgabe 7Boxplot · TransferBestimme für dieselben acht Werte das 80.Perzentil nach der Rangregel mit Aufrunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gewählter Rang
80.Perzentil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{8\cdot0{,}8=6{,}4}$
  $\mathsf{\lceil6{,}4\rceil=7}$
  $\mathsf{q_{0{,}8}=x_{(7)}=11}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gewählter Rang $\mathsf{7}$
2. 80.Perzentil $\mathsf{11}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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