Diagramme · Erklären & üben

Histogramm

Ein Histogramm fasst quantitative Messwerte in Klassen zusammen. Die Fläche jedes Rechtecks steht hier für die absolute Häufigkeit; deshalb spielt die Klassenbreite eine entscheidende Rolle.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Klassen statt Kategorien

Klassen sind aneinander anschließende Wertebereiche einer quantitativen Größe. In diesem Thema sind sie links geschlossen und rechts offen; nur die letzte Klasse enthält auch ihren rechten Rand. Ein Randwert wird damit genau einmal zugeordnet. Die Rechtecke liegen ohne Kategorienlücken nebeneinander. Ein Boxplot bietet dagegen eine kompakte Zusammenfassung über Lagewerte und Streuung.

Lege eindeutige Grenzen fest.
Zähle jeden Wert genau einmal.

Histogrammfläche und Balkenhöhe sind nicht dasselbe.

Erklärung 02

Gleiche Klassenbreiten

Bei gleicher Breite sind Rechteckhöhen proportional zu den Häufigkeiten. Wir verwenden bereits hier die Häufigkeitsdichte: absolute Häufigkeit geteilt durch Klassenbreite. So bleibt die Flächenregel bei jeder Breite gleich. Bei Minuten auf der waagerechten Achse hat die Höhe die Einheit Personen pro Minute.

Teile die Anzahl durch die Klassenbreite.
Prüfe: Breite mal Höhe ergibt wieder die Anzahl.

$\mathsf{\textsf{Häufigkeitsdichte}=\frac{\textsf{absolute Häufigkeit}}{\textsf{Klassenbreite}}}$

Histogramm gleich breiter Klassen mit Höhen0,4;0,8;0,6.

So geht es am Beispiel

Die Klassen 0 bis 10,10 bis 20 und 20 bis 30 Minuten enthalten 4,8 und 6 Personen. Bestimme die Höhen.

\mathsf{h_1=4:10=0{,}4}

\mathsf{h_2=8:10=0{,}8}

\mathsf{h_3=6:10=0{,}6}

Erklärung 03

Bei verschiedenen Breiten zählt die Fläche

Unterschiedlich breite Klassen dürfen nicht einfach mit ihren absoluten Häufigkeiten als Höhen gezeichnet werden. Eine breitere Klasse würde sonst zusätzlich durch ihre Breite vergrößert. Bei Häufigkeitsdichte als Höhe ergibt die Summe der Flächen die Gesamtzahl. Bei relativer Häufigkeitsdichte wäre die Gesamtfläche stattdessen 1. Innerhalb einer Klasse sind die einzelnen Messwerte nicht mehr erkennbar.

Berechne jede Klassenbreite einzeln.
Trage die Klassenränder maßstäblich ab.
Vergleiche Häufigkeiten über Flächen und Konzentrationen über Höhen.

$\mathsf{\textsf{Rechteckfläche}=\textsf{Breite}\cdot\textsf{Dichte}=\textsf{Häufigkeit}}$

Ungleiche Klassenbreiten5,10,15 bei jeweils Dichte1.

So geht es am Beispiel

Die Klassen 0 bis 5,5 bis 15 und 15 bis 30 Minuten enthalten 5,10 und 15 Personen. Vergleiche ihre Höhen und Flächen.

\mathsf{h_1=5:5=1,\qquad h_2=10:10=1,\qquad h_3=15:15=1}

Alle drei Höhen sind gleich. Wegen der Breiten 5,10 und 15 sind ihre Flächen und damit ihre Häufigkeiten unterschiedlich.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Histogramm · EinstiegEs gelten die Klassen $\mathsf{[0;5)}$ , $\mathsf{[5;10)}$ und $\mathsf{[10;20]}$ . Ordne die Werte 5 und 20 zu.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klasse für5
Klasse für20
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die 5 gehört zur zweiten Klasse, da deren linker Rand enthalten ist. Die 20 gehört zur letzten Klasse, deren rechter Rand ausdrücklich eingeschlossen wurde.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klasse für5[5;10)
2. Klasse für20[10;20]
02
Aufgabe 2Histogramm · EinstiegZwei Klassen sind jeweils 10 Minuten breit und enthalten 6 beziehungsweise 9 Personen. Bestimme die beiden Häufigkeitsdichten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Dichte pro Minute
Zweite Dichte pro Minute
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_1=6:10=0{,}6}$
  $\mathsf{h_2=9:10=0{,}9}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Dichte pro Minute $\mathsf{0{,}6}$
2. Zweite Dichte pro Minute $\mathsf{0{,}9}$
03
Aufgabe 3Histogramm · StandardDie Klassen 0 bis 5,5 bis 10 und 10 bis 20 Minuten enthalten 4,6 und 10 Personen. Berechne die drei Rechteckhöhen für ein Histogramm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe erste Klasse
Höhe zweite Klasse
Höhe dritte Klasse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_1=4:5=0{,}8}$
  $\mathsf{h_2=6:5=1{,}2}$
  $\mathsf{h_3=10:10=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Höhe erste Klasse $\mathsf{0{,}8}$
2. Höhe zweite Klasse $\mathsf{1{,}2}$
3. Höhe dritte Klasse $\mathsf{1}$
04
Aufgabe 4Histogramm · StandardZeichne das Histogramm der Klassen 0 bis 5,5 bis 10 und 10 bis 20 Minuten mit Häufigkeiten 4,6 und 10. Verwende die vorbereitete Dichteachse und beschrifte die Höhen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Histogramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Histogramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Breiten sind 5,5 und 10 Minuten; die letzte Klasse ist doppelt so breit. Die Höhen sind 0,8;1,2 und 1.
  $\mathsf{5\cdot0{,}8+5\cdot1{,}2+10\cdot1=20}$
Ergebnis
1. HistogrammBenachbarte Rechtecke mit Breiten 5,5,10 und Höhen 0,8;1,2;1.
05
Aufgabe 5Histogramm · TransferIn der Klasse 10 bis 20 Minuten liegen 10 Personen. Kannst du daraus genau bestimmen, wie viele zwischen 10 und 12 Minuten liegen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Klassenhäufigkeit verrät nicht, wo die zehn einzelnen Werte innerhalb der Klasse liegen. Ein Flächenanteil von 2/10 wäre nur unter einer zusätzlichen gleichmäßigen Verteilungsannahme eine Schätzung.
Ergebnis
1. BegründungNein; genaue Lage innerhalb der Klasse ist unbekannt.
06
Aufgabe 6Histogramm · TransferBei den Klassen aus Aufgabe 3 hat die zweite die höchste Dichte. Welche Klasse enthält die meisten Personen und warum ist das kein Widerspruch?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klasse mit größter Häufigkeit
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die dritte Klasse enthält 10 Personen, die zweite nur 6. Die dritte ist doppelt so breit; ihre Fläche ist deshalb trotz geringerer Höhe größer.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klasse mit größter Häufigkeit10 bis 20 Minuten
2. ErklärungHäufigkeit entspricht der Fläche, Dichte der Höhe.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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