Bruchrechnung · Erklären & üben

Brüche addieren

Brüche lassen sich addieren, wenn ihre Teile gleich groß sind. Du lernst passende gemeinsame Nenner und zwei Wege für gemischte Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleichnamige Brüche addieren

Haben Brüche denselben Nenner, zählst du gleich große Teile zusammen. Addiere die Zähler und behalte den Nenner. Hier verwenden wir positive ganze Nenner; Nenner null ist ausgeschlossen.

Prüfe, ob die Nenner gleich sind.
Addiere die Zähler.
Behalte den Nenner und kürze bei Bedarf.

$\mathsf{\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b}}$ für $\mathsf{b\ne0}$ .

Gleich große Teile zusammenzählen. 2 von 7 Teilen: Erster Anteil: zwei Siebtel. 3 von 7 Teilen: Zweiter Anteil: drei Siebtel. 5 von 7 Teilen: Summe: fünf Siebtel. Alle drei Streifen stellen dasselbe große Ganze dar.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac27+\frac37}$ .

Beide Brüche zählen Siebtel.

Addiere die gezählten Teile: $\mathsf{2+3=5}$ .

Erklärung 02

Wechselseitig erweitern

Bei verschiedenen Nennern kannst du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten erweitern und umgekehrt. Das Nennerprodukt ist dann ein gemeinsamer Nenner. Multipliziere beim Erweitern immer Zähler und Nenner mit demselben Faktor.

Multipliziere jeden Bruch mit dem jeweils anderen Nenner in Zähler und Nenner.
Addiere die neuen Zähler.

$\mathsf{\frac ab+\frac cd=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}}$ für $\mathsf{b\ne0}$ , $\mathsf{d\ne0}$ .

Zwei Drittel plus ein Viertel. 8 von 12 Teilen: Zwei Drittel entsprechen acht Zwölfteln.. 3 von 12 Teilen: Ein Viertel entspricht drei Zwölfteln.. 11 von 12 Teilen: Summe: elf Zwölftel. Gemeinsamer Nenner: 3 · 4 = 12

So geht es am Beispiel

Addiere $\mathsf{\frac23+\frac14}$ durch wechselseitiges Erweitern.

Erweitere den ersten Bruch mit 4: $\mathsf{\frac23=\frac8{12}}$ .

Erweitere den zweiten Bruch mit 3: $\mathsf{\frac14=\frac3{12}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac8{12}+\frac3{12}=\frac{11}{12}}$ .

Erklärung 03

Einen kleineren gemeinsamen Nenner nutzen

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner. Wenn ein Nenner schon ein Vielfaches des anderen ist, reicht es, nur einen Bruch zu erweitern. Jeder gemeinsame Nenner funktioniert, ein kleinerer spart Rechenarbeit.

Suche ein gemeinsames Vielfaches.
Bestimme die Erweiterungsfaktoren.
Addiere die gleichnamigen Brüche.

Der Erweiterungsfaktor ist gemeinsamer Nenner geteilt durch bisherigen Nenner.

Drei Achtel plus ein Sechstel. 9 von 24 Teilen: Drei Achtel entsprechen neun Vierundzwanzigsteln.. 4 von 24 Teilen: Ein Sechstel entspricht vier Vierundzwanzigsteln.. 13 von 24 Teilen: Summe: dreizehn Vierundzwanzigstel. Kleinster gemeinsamer Nenner: 24

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac38+\frac16}$ mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner.

Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24.

Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist 24.

Erweitere $\mathsf{\frac38=\frac9{24}}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac16=\frac4{24}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac9{24}+\frac4{24}=\frac{13}{24}}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\frac25+\frac3{10}}$ .

10 ist bereits ein Vielfaches von 5.

Erweitere nur $\mathsf{\frac25=\frac4{10}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac4{10}+\frac3{10}=\frac7{10}}$ .

Erklärung 04

Gemischte Zahlen: Anteile getrennt addieren

Bei nichtnegativen gemischten Zahlen kannst du die ganzen Anteile und die Bruchteile getrennt addieren. Wird der Bruchanteil mindestens ein Ganzes, wandle ihn um und zähle das zusätzliche Ganze mit.

Addiere die ganzen Anteile.
Addiere die Bruchteile mit gemeinsamem Nenner.
Übertrage nötige ganze Einheiten.

Ein ganzer Nenner voller Bruchteile ergibt eine weitere ganze Einheit.

Die Bruchsumme siebzehn Zwölftel wird in zwölf Zwölftel und fünf Zwölftel aufgeteilt. Zusammen mit drei ursprünglichen Ganzen ergibt das vier und fünf Zwölftel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{1\frac34+2\frac23}$ mit getrennten Anteilen.

Addiere die ganzen Anteile: $\mathsf{1+2=3}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac34=\frac9{12}}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac23=\frac8{12}}$ .

Addiere die Bruchteile: $\mathsf{\frac9{12}+\frac8{12}=\frac{17}{12}}$ .

Wandle um: $\mathsf{\frac{17}{12}=1\frac5{12}}$ .

Addiere das zusätzliche Ganze: $\mathsf{3+1=4}$ .

Erklärung 05

Gemischte Zahlen: alles in Brüche umwandeln

Du kannst gemischte Zahlen auch zuerst als unechte Brüche schreiben. Danach gelten die normalen Regeln für die Bruchaddition. Am Ende darfst du wieder eine gemischte Zahl bilden. Ganze Zahlen können als Bruch mit Nenner 1 oder direkt mit dem benötigten Nenner geschrieben werden.

Wandle die ganzen Anteile in passende Bruchteile um.
Addiere die gleichnamigen Brüche.
Kürze und stelle den Wert bei Bedarf gemischt dar.

Beide korrekten Wege ergeben denselben Wert.

So geht es am Beispiel

Berechne erneut $\mathsf{1\frac34+2\frac23}$ , diesmal mit unechten Brüchen.

Wandle die erste Zahl um: $\mathsf{1\frac34=\frac74}$ .

Wandle die zweite Zahl um: $\mathsf{2\frac23=\frac83}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac74=\frac{21}{12}}$ .

Erweitere $\mathsf{\frac83=\frac{32}{12}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac{21}{12}+\frac{32}{12}=\frac{53}{12}}$ .

Wandle zurück: $\mathsf{\frac{53}{12}=4\frac5{12}}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{2+\frac56}$ .

Schreibe $\mathsf{2=\frac{12}{6}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac{12}{6}+\frac56=\frac{17}{6}}$ .

Erklärung 06

Fehler vermeiden und weiterrechnen

Bei der Addition wird der Nenner nicht addiert. Er beschreibt die Teilgröße. Wenn du einen Bruch erweiterst, musst du auch den Zähler verändern. Für Brüche subtrahieren gilt dieselbe Vorbereitung mit einem gemeinsamen Nenner; erst die Verrechnung der Zähler ändert sich.

Prüfe den Wert jedes erweiterten Bruchs.
Prüfe, dass der gemeinsame Nenner erhalten bleibt.

Gleichnamig machen verändert die Darstellung, nicht den Wert.

So geht es am Beispiel

Ist $\mathsf{\frac15+\frac25=\frac3{10}}$ richtig?

Fünftel bleiben Fünftel: $\mathsf{\frac15+\frac25=\frac35}$ .

Die Addition der Nenner würde die Größe der Teile verändern.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Brüche addieren · 1Berechne $\mathsf{\frac29+\frac49}$ und kürze.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzte Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac29+\frac49=\frac69}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Kürze durch 3: $\mathsf{\frac69=\frac23}$ .
Ergebnis
1. Gekürzte Summe $\mathsf{\frac23}$
02
Aufgabe 2Brüche addieren · 1Addiere $\mathsf{\frac12+\frac25}$ durch wechselseitiges Erweitern. Gib beide erweiterten Brüche und die Summe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster erweiterter Bruch
Zweiter erweiterter Bruch
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac12=\frac5{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac25=\frac4{10}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac5{10}+\frac4{10}=\frac9{10}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster erweiterter Bruch $\mathsf{\frac5{10}}$
2. Zweiter erweiterter Bruch $\mathsf{\frac4{10}}$
3. Summe $\mathsf{\frac9{10}}$
03
Aufgabe 3Brüche addieren · 2Berechne $\mathsf{\frac7{12}+\frac18}$ mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Gib diesen Nenner und das Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kleinster gemeinsamer Nenner
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  24 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 8.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac7{12}=\frac{14}{24}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac18=\frac3{24}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac{14}{24}+\frac3{24}=\frac{17}{24}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kleinster gemeinsamer Nenner24
2. Summe $\mathsf{\frac{17}{24}}$
04
Aufgabe 4Brüche addieren · 2Berechne $\mathsf{\frac3{10}+\frac25}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac25=\frac4{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac3{10}+\frac4{10}=\frac7{10}}$ .
Ergebnis
1. Summe $\mathsf{\frac7{10}}$
05
Aufgabe 5Brüche addieren · 2Berechne $\mathsf{\frac56+\frac7{12}}$ . Gib die gekürzte Summe als unechten Bruch und als gemischte Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unechter Bruch
Gemischte Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac56=\frac{10}{12}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac{10}{12}+\frac7{12}=\frac{17}{12}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Trenne ein Ganzes ab: $\mathsf{\frac{17}{12}=1\frac5{12}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Unechter Bruch $\mathsf{\frac{17}{12}}$
2. Gemischte Zahl $\mathsf{1\frac5{12}}$
06
Aufgabe 6Brüche addieren · 3Berechne $\mathsf{2\frac56+1\frac34}$ mit getrennten ganzen Anteilen und Bruchteilen. Gib die Summe der ganzen Anteile, die Summe der Bruchteile und das endgültige gemischte Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe der ursprünglichen ganzen Anteile
Summe der Bruchteile
Endgültige gemischte Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die ganzen Anteile ergeben $\mathsf{2+1=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac56=\frac{10}{12}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac34=\frac9{12}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Bruchteile ergeben $\mathsf{\frac{10}{12}+\frac9{12}=\frac{19}{12}}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Daraus wird $\mathsf{1\frac7{12}}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere die ganze Einheit: $\mathsf{3+1=4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe der ursprünglichen ganzen Anteile3
2. Summe der Bruchteile $\mathsf{\frac{19}{12}}$
3. Endgültige gemischte Zahl $\mathsf{4\frac7{12}}$
07
Aufgabe 7Brüche addieren · 3Berechne $\mathsf{1\frac25+2\frac16}$ über unechte Brüche. Gib beide umgewandelten Ausgangszahlen und das Ergebnis als gemischte Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Ausgangszahl als Bruch
Zweite Ausgangszahl als Bruch
Gemischtes Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Wandle $\mathsf{1\frac25=\frac75}$ um.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Wandle $\mathsf{2\frac16=\frac{13}{6}}$ um.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac75=\frac{42}{30}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{13}{6}=\frac{65}{30}}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac{42}{30}+\frac{65}{30}=\frac{107}{30}}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Wandle zurück: $\mathsf{\frac{107}{30}=3\frac{17}{30}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Ausgangszahl als Bruch $\mathsf{\frac75}$
2. Zweite Ausgangszahl als Bruch $\mathsf{\frac{13}{6}}$
3. Gemischtes Ergebnis $\mathsf{3\frac{17}{30}}$
08
Aufgabe 8Brüche addieren · 2Berechne $\mathsf{3+\frac7{10}}$ . Gib das Ergebnis als unechten Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unechter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe $\mathsf{3=\frac{30}{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac{30}{10}+\frac7{10}=\frac{37}{10}}$ .
Ergebnis
1. Unechter Bruch $\mathsf{\frac{37}{10}}$
09
Aufgabe 9Brüche addieren · 3Jemand schreibt $\mathsf{\frac13+\frac14=\frac27}$ . Ist das richtig? Berechne die richtige Summe und begründe den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung richtig?
Richtige Summe
Fehlerbegründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac13=\frac4{12}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac14=\frac3{12}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac4{12}+\frac3{12}=\frac7{12}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Nenner werden zum gemeinsamen Nenner erweitert, nicht addiert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechnung richtig?Nein
2. Richtige Summe $\mathsf{\frac7{12}}$
3. FehlerbegründungDrittel und Viertel sind verschieden groß. Erst gemeinsame Zwölftel bilden, dann die Zähler addieren.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich addiere nur Zähler gleichnamiger Brüche.
Ich kann einen gemeinsamen Nenner bestimmen.
Ich rechne gemischte Zahlen auf zwei Wegen.
Ich fasse zusätzliche ganze Einheiten zusammen.

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