Dezimalzahlen · Erklären & üben

Dezimalzahl in Bruch

Eine endliche oder periodische Dezimalzahl lässt sich exakt als Bruch schreiben. Entscheidend ist, ob die Ziffernfolge endet oder welcher Block sich unendlich wiederholt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zehnerbruch bilden und kürzen

Die Zahl der Nachkommastellen bestimmt den Nenner: eine Stelle bedeutet Zehntel, zwei Stellen Hundertstel, drei Stellen Tausendstel. Der Zähler entsteht aus den Ziffern ohne Komma.

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe positive ganze Zahl. Das Vorzeichen bleibt erhalten.

Zähle die Nachkommastellen.
Schreibe den Zehnerbruch.
Kürze vollständig.

Endliche Dezimalzahlen werden zu Brüchen mit Zehnerpotenzen im Nenner.

Zwei gleich große Rechtecke: links 45 von 100, rechts 9 von 20 Teilflächen markiert. Beide zeigen denselben Anteil 0,45.

So geht es am Beispiel

Wandle 0,45 in einen vollständig gekürzten Bruch um.

$\mathsf{0{,}45=\frac{45}{100}}$

$\mathsf{\frac{45}{100}=\frac9{20}}$

So geht es am Beispiel

Wandle 2,375 um.

$\mathsf{2{,}375=\frac{2375}{1000}}$

$\mathsf{\frac{2375}{1000}=\frac{19}{8}}$

Erklärung 02

Die Periode durch Subtraktion entfernen

Bei $\mathsf{0{,}\overline6}$ wiederholt sich die Sechs unendlich. Der Überstrich bezeichnet genau diesen wiederholten Block. Eine endliche Zahl wie 0,666 hat einen anderen Wert.

Verschiebe das Komma um eine volle Periodenlänge. Danach stehen hinter dem Komma dieselben unendlichen Ziffernfolgen. Beim Subtrahieren fallen sie weg.

Setze den gesuchten Wert gleich x.
Multipliziere mit einer passenden Zehnerpotenz.
Subtrahiere die Ausgangsgleichung.
Teile durch den Faktor vor x.

Eine zweistellige Periode erfordert zunächst den Faktor hundert.

Bei sechs als einstelliger Periode stimmen nach Verschiebung die Nachkommastellen überein.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{0{,}\overline6}$ um.

$\mathsf{x=0{,}\overline6}$

$\mathsf{10x=6{,}\overline6}$

$\mathsf{10x-x=6}$

$\mathsf{9x=6}$

$\mathsf{x=\frac69}$

$\mathsf{x=\frac23}$

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{1{,}\overline{27}}$ um.

$\mathsf{x=1{,}\overline{27}}$

$\mathsf{100x=127{,}\overline{27}}$

$\mathsf{100x-x=126}$

$\mathsf{99x=126}$

$\mathsf{x=\frac{126}{99}}$

$\mathsf{x=\frac{14}{11}}$

Erklärung 03

Den nichtperiodischen Anfang berücksichtigen

Bei $\mathsf{0{,}1\overline6}$ gehört die Eins nicht zur Periode. Verschiebe zuerst diesen Anfang vor das Komma. Verschiebe dann zusätzlich eine volle Periodenlänge.

Subtrahiere die beiden verschobenen Gleichungen, damit identische Nachkommastellen verschwinden.

Verschiebe den nichtperiodischen Anfang.
Verschiebe zusätzlich die Periode.
Subtrahiere und löse nach x auf.

Die beiden Verschiebungen müssen denselben periodischen Nachkommateil haben.

Die Ziffer eins vor der Periode muss zunächst über das Komma verschoben werden.

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{0{,}1\overline6}$ um.

$\mathsf{x=0{,}1\overline6}$

$\mathsf{10x=1{,}\overline6}$

$\mathsf{100x=16{,}\overline6}$

$\mathsf{100x-10x=15}$

$\mathsf{90x=15}$

$\mathsf{x=\frac{15}{90}}$

$\mathsf{x=\frac16}$

So geht es am Beispiel

Wandle $\mathsf{2{,}03\overline4}$ um.

$\mathsf{x=2{,}03\overline4}$

$\mathsf{100x=203{,}\overline4}$

$\mathsf{1000x=2034{,}\overline4}$

$\mathsf{1000x-100x=1831}$

$\mathsf{900x=1831}$

$\mathsf{x=\frac{1831}{900}}$

Erklärung 04

Exakt oder nur abgekürzt?

Häufige exakte Werte sind $\mathsf{0{,}5=\frac12}$ , $\mathsf{0{,}25=\frac14}$ und $\mathsf{0{,}\overline3=\frac13}$ . Ein gerundeter Wert wie 0,33 ersetzt ein Drittel nicht exakt.

Der Bruch bleibt auch dann derselbe Wert, wenn er größer als eins oder negativ ist. Weiterlernen: Bruchrechnen behandelt das Rechnen mit den entstandenen Brüchen.

Prüfe den Periodenstrich.
Unterscheide exakte Gleichheit und Näherung.

Abschneiden einer Periode verändert den Wert.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{0{,}3}$ und $\mathsf{0{,}\overline3}$ .

$\mathsf{0{,}3=\frac3{10}}$

$\mathsf{0{,}\overline3=\frac13}$

$\mathsf{\frac3{10}=\frac9{30}}$

$\mathsf{\frac13=\frac{10}{30}}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle 0,8 in einen vollständig gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0{,}8=\frac{8}{10}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{8}{10}=\frac45}$
Ergebnis
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac45}$
02
Aufgabe 2Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle 0,125 in einen vollständig gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0{,}125=\frac{125}{1000}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{125}{1000}=\frac18}$
Ergebnis
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac18}$
03
Aufgabe 3Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle 3,06 in einen vollständig gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3{,}06=\frac{306}{100}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{306}{100}=\frac{153}{50}}$
Ergebnis
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{153}{50}}$
04
Aufgabe 4Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle −0,35 in einen vollständig gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gekürzter Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-0{,}35=\frac{-35}{100}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{-35}{100}=-\frac7{20}}$
Ergebnis
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{-\frac7{20}}$
05
Aufgabe 5Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle $\mathsf{0{,}\overline4}$ in einen gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0{,}\overline4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10x=4{,}\overline4}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10x-x=4}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9x=4}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac49}$
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac49}$
06
Aufgabe 6Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle $\mathsf{0{,}\overline{18}}$ in einen gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0{,}\overline{18}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{100x=18{,}\overline{18}}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{100x-x=18}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{99x=18}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{18}{99}}$
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac2{11}}$
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac2{11}}$
07
Aufgabe 7Dezimalzahl in Bruch · ÜbungWandle $\mathsf{0{,}2\overline7}$ in einen gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0{,}2\overline7}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10x=2{,}\overline7}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{100x=27{,}\overline7}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{100x-10x=25}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{90x=25}$
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{25}{90}}$
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac5{18}}$
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac5{18}}$
08
Aufgabe 8Dezimalzahl in Bruch · TransferWandle $\mathsf{1{,}04\overline6}$ in einen gekürzten Bruch um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{x=1{,}04\overline6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{100x=104{,}\overline6}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{1000x=1046{,}\overline6}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{1000x-100x=942}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  $\mathsf{900x=942}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  $\mathsf{x=\frac{942}{900}}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  $\mathsf{x=\frac{157}{150}}$
Ergebnis
1. Bruch $\mathsf{\frac{157}{150}}$
09
Aufgabe 9Dezimalzahl in Bruch · TransferSchreibe $\mathsf{0{,}3}$ und $\mathsf{0{,}\overline3}$ jeweils als Bruch. Sind die Werte gleich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endlicher Wert
Periodischer Wert
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}3=\frac3{10}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{0{,}\overline3=\frac13}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die erste Darstellung endet; die zweite enthält unendlich viele Dreien.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Endlicher Wert $\mathsf{\frac3{10}}$
2. Periodischer Wert $\mathsf{\frac13}$
3. UrteilNein.
4. BegründungEine endliche Drei nach dem Komma und unendlich viele Dreien ergeben verschiedene Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich zähle die Nachkommastellen beziehungsweise die Periodenlänge.
Ich richte vor der Subtraktion die periodischen Teile aus.
Ich kürze den entstandenen Bruch vollständig.

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