Vierecke · Erklären & üben

Parallelogramm

Ein Parallelogramm erkennst du an zwei Paaren paralleler gegenüberliegender Seiten. Daraus folgen gleiche Gegenüberseiten, feste Winkelbeziehungen und ein gemeinsamer Diagonalenmittelpunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Seiten und Winkel

Ein Parallelogramm ist ein konvexes Viereck mit zwei Paaren paralleler gegenüberliegender Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180 Grad.

Prüfe beide Paare gegenüberliegender Seiten.
Übertrage bekannte Längen auf die Gegenseite.
Ergänze benachbarte Winkel auf 180 Grad.

$\mathsf{\alpha=\gamma,\quad\beta=\delta,\quad\alpha+\beta=180^\circ}$

Gegenüberliegende Seiten parallel; Seitenlabels a und b sind illustrative Variablenmaße.

So geht es am Beispiel

In ABCD ist der Winkel bei A 64 Grad. Bestimme die übrigen Innenwinkel.

\mathsf{\beta=180^\circ-64^\circ=116^\circ}

\mathsf{\gamma=64^\circ,\quad\delta=116^\circ}

Erklärung 02

Diagonalen und Symmetrie

Die Diagonalen halbieren sich. Ihr Schnittpunkt ist das Zentrum einer Drehung um 180 Grad. Ein allgemeines Parallelogramm braucht keine Spiegelachse. Gleich lange Diagonalen kennzeichnen innerhalb der Parallelogramme Rechtecke; senkrechte Diagonalen kennzeichnen Rauten.

Markiere den Diagonalenschnittpunkt M.
Setze die beiden Hälften derselben Diagonale gleich.
Verwechsle Halbierung nicht mit gleichen Diagonalenlängen.

$\mathsf{AM=MC,\qquad BM=MD}$

Beide Diagonalen treffen sich im gemeinsamen Mittelpunkt280/160.

So geht es am Beispiel

Die Diagonalen AC und BD messen 14 cm und 10 cm. Bestimme AM und BM.

\mathsf{AM=14:2=7\,\mathsf{cm}}

\mathsf{BM=10:2=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Sonderfälle, Kreise und Messgrößen

Rechtecke, Rauten und Quadrate sind besondere Parallelogramme. Mit der inklusiven Trapezdefinition ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Ein Parallelogramm besitzt genau dann einen Inkreis, wenn es eine Raute ist; einen Umkreis genau dann, wenn es ein Rechteck ist. Die Höhe steht senkrecht auf der zugehörigen Grundseite.

Für die Fläche Grundseite und zugehörige Höhe verwenden.
Für den Umfang die beiden verschiedenen Seitenlängen verwenden.
Kreisbedingungen nur innerhalb der Parallelogramme anwenden.

$\mathsf{A=a\cdot h_a,\qquad U=2(a+b)}$

So geht es am Beispiel

Ein Parallelogramm hat a=6 cm, b=5 cm und die zu a gehörige Höhe 4 cm. Bestimme Fläche und Umfang.

\mathsf{A=6\cdot4=24\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{U=2(6+5)=22\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Optionale Vertiefung: Nachweis im Raum

Vorkenntnisse: Punktkoordinaten im Raum, Vektoren durch Koordinatendifferenzen und skalare Vielfache. Auch ein Parallelogramm im Raum liegt vollständig in einer Ebene. Für die Eckreihenfolge A, B, C, D vergleicht man gleichgerichtete Seitenvektoren. Sind die beiden von A ausgehenden Seitenvektoren keine Vielfachen voneinander, entsteht ein echtes Viereck. Aus $\mathsf{C=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}$ folgt die gemeinsame Ebene.

Berechne die Seitenvektoren durch Endpunkt minus Anfangspunkt.
Vergleiche AB mit DC und AD mit BC; beachte die Richtung.
Prüfe, dass AB und AD keine Vielfachen sind.

$\mathsf{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC},\qquad\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}$

Beschriftetes Schrägbild der vier Beispielpunkte mit x-, y-, z-Achsen; die Eckreihenfolge bildet eine ebene Figur.

So geht es am Beispiel

Prüfe A(0|0|1), B(2|0|2), C(3|2|3), D(1|2|2) in dieser Eckreihenfolge.

\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2|0|1)=\overrightarrow{DC}}

\mathsf{\overrightarrow{AD}=(1|2|1)=\overrightarrow{BC}}

AB hat als zweite Koordinate 0, AD dagegen 2; AD ist kein Vielfaches von AB.

\mathsf{A+(2|0|1)+(1|2|1)=(3|2|3)=C}

Damit liegen alle Ecken in der von AB und AD aufgespannten Ebene; die Reihenfolge A–B–C–D bildet ein Parallelogramm.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Parallelogramm · EinstiegABCD ist ein Parallelogramm. AB=8 cm und BC=3 cm. Bestimme CD und DA.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
CD
DA
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gegenüberliegende Seiten haben gleiche Längen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. CD8 cm
2. DA3 cm
02
Aufgabe 2Parallelogramm · EinstiegDer Winkel bei A beträgt 112 Grad. Bestimme die Winkel bei B,C und D.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel B
Winkel C
Winkel D
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\beta=180^\circ-112^\circ=68^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Gegenüberliegende Winkel sind gleich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Winkel B68 Grad
2. Winkel C112 Grad
3. Winkel D68 Grad
03
Aufgabe 3Parallelogramm · AnwendenDie Diagonalen schneiden sich in M. AM=4,5 cm und BM=6 cm. Bestimme AC und BD.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
AC
BD
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{AC=2\cdot4{,}5=9\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{BD=2\cdot6=12\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. AC9 cm
2. BD12 cm
04
Aufgabe 4Parallelogramm · AnwendenZeichne A(1|1),B(7|1),C(10|5),D(4|5), beide Diagonalen und ihren Schnittpunkt M. Gib die Koordinaten von M an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parallelogramm mit Diagonalen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Parallelogramm mit Diagonalen
Schnittpunkt M
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Mittelpunkte der Diagonalen müssen übereinstimmen.
  $\mathsf{M=\left(\frac{1+10}{2}\middle|\frac{1+5}{2}\right)=(5{,}5|3)}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Parallelogramm mit DiagonalenSiehe Muster.
2. Schnittpunkt MM(5,5|3)
05
Aufgabe 5Parallelogramm · AnwendenEin Parallelogramm hat vier gleich lange Seiten, aber keinen rechten Winkel. Hat es einen Inkreis, einen Umkreis und Spiegelachsen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Inkreis
Umkreis
Spiegelachsen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Es ist eine Raute und kein Rechteck.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Raute hat einen Inkreis und ihre beiden Diagonalen als Spiegelachsen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Ein nicht rechteckiges Parallelogramm hat keinen Umkreis.
Ergebnisse & Teilantworten
1. InkreisJa, weil die Figur eine Raute ist.
2. UmkreisNein, weil sie kein Rechteck ist.
3. SpiegelachsenZwei: die beiden Diagonalen.
06
Aufgabe 6Parallelogramm · TransferEin Parallelogramm hat a=9 cm,b=5 cm und die Höhe zu a von 4 cm. Berechne Fläche und Umfang. Warum ist 9 mal 5 nicht seine Fläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Umfang
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=9\cdot4=36\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{U=2(9+5)=28\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die schräge Seite 5 cm ist nicht die senkrechte Höhe 4 cm.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche36 cm²
2. Umfang28 cm
3. BegründungDie Fläche verwendet die senkrechte Höhe zur Grundseite.
07
Aufgabe 7Parallelogramm · TransferOptionale Vektoraufgabe: A(1|0|0), B(4|1|1), C(5|3|1), D(2|2|0). Weise nach, dass ABCD in dieser Reihenfolge ein Parallelogramm ist. Begründe auch, warum die Figur nicht zu einer Geraden zusammenfällt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
AB und DC
AD und BC
Ebene und echtes Parallelogramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=(3|1|1)=\overrightarrow{DC}}$
  $\mathsf{\overrightarrow{AD}=(1|2|0)=\overrightarrow{BC}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  AD ist nicht der Nullvektor und kann wegen der dritten Koordinate 0 kein Vielfaches von AB sein.
  $\mathsf{A+(3|1|1)+(1|2|0)=(5|3|1)=C}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Punkte liegen damit in der gemeinsamen Ebene; die unabhängigen Seitenvektoren bilden ein echtes Parallelogramm.
Ergebnisse & Teilantworten
1. AB und DC $\mathsf{(3|1|1)}$
2. AD und BC $\mathsf{(1|2|0)}$
3. Ebene und echtes ParallelogrammAB und AD sind keine Vielfachen; C = A + AB + AD. Daher ebenes, nicht entartetes Parallelogramm.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe beide Parallelpaare.
Ich weiß, welche Strecken die Diagonalen halbieren.
Ich unterscheide Höhe und schräge Seite.

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