Zufallsvariablen · Erklären & üben

Dichtefunktion

Die Dichte beschreibt, wie Wahrscheinlichkeit über einen Zahlenbereich verteilt ist. Die Verteilungsfunktion sammelt die Fläche bis zu einer Grenze. Du prüfst Dichten und wechselst zwischen beiden Darstellungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Dichte prüfen und normieren

Eine Dichte ist nicht negativ; ihre gesamte Fläche beträgt 1. Im diskreten Fall gibt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion dagegen die Wahrscheinlichkeit einzelner Werte an. Für eine stetige Gleichverteilung ist die Dichte konstant innerhalb des Intervalls und außerhalb 0.

Prüfe Nichtnegativität.
Berechne die gesamte Fläche.
Bestimme unbekannte Faktoren so, dass die Fläche 1 wird.

$\mathsf{f(x)\geq0,\qquad\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1}$

Ansteigende Dreiecksdichte von(0;0)bis(4;0,5), Gesamtfläche1.

So geht es am Beispiel

Eine Dichte hat auf dem Intervall von 0 bis 4 die Form $\mathsf{f(x)=cx}$ und ist sonst 0. Bestimme c.

Unter dem Graphen liegt ein Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 4 c.

\mathsf{\frac12\cdot4\cdot4c=1}

\mathsf{c=\frac18}

Der Faktor ist positiv; deshalb ist die Funktion im Bereich nicht negativ.

Erklärung 02

Fläche bis zur Grenze sammeln

Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens x ist. Sie ist monoton nicht fallend. Ihre Werte liegen zwischen 0 und 1. Wo die Dichte stetig ist, ist sie die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Sammle die Fläche von links bis zur Grenze.
Beachte die Bereiche vor, innerhalb und nach dem Träger.
Berechne Intervallwahrscheinlichkeiten als Differenz.

$\mathsf{F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt}$

So geht es am Beispiel

Bestimme zur Dichte x/8 auf 0 bis 4 die Verteilungsfunktion.

Vor 0 wurde noch keine Fläche gesammelt.

\mathsf{F(x)=0\quad(x<0)}

Innerhalb des Intervalls wird integriert.

\mathsf{F(x)=\int_0^x\frac{t}{8}\,dt=\frac{x^2}{16}\quad(0\leq x\leq4)}

Ab 4 ist die gesamte Fläche gesammelt.

\mathsf{F(x)=1\quad(x>4)}

Erklärung 03

Intervall und Erwartungswert

Eine Intervallwahrscheinlichkeit ist die Differenz zweier Werte der Verteilungsfunktion. Der Erwartungswert gewichtet die Werte mit der Dichte. Er beschreibt den langfristigen Durchschnitt, nicht den höchsten Punkt der Dichte.

Setze beide Grenzen in F ein.
Subtrahiere die kleinere kumulierte Fläche.
Für den Erwartungswert integriere Wert mal Dichte.

$\mathsf{P(a<X\leq b)=F(b)-F(a),\qquad E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)\,dx}$

So geht es am Beispiel

Verwende weiterhin die Dichte x/8 auf 0 bis 4. Berechne die Wahrscheinlichkeit für 1 bis 3 und den Erwartungswert.

\mathsf{P(1\leq X\leq3)=\frac9{16}-\frac1{16}=\frac12}

Für den Mittelwert wird zusätzlich mit x gewichtet.

\mathsf{E(X)=\int_0^4\frac{x^2}{8}\,dx=\left[\frac{x^3}{24}\right]_0^4=\frac83}

Erklärung 04

Weitere Formen einordnen

Die Normaldichte ist glockenförmig und symmetrisch; ihre Intervallflächen werden im Thema Sigma-Regeln behandelt. Eine Exponentialdichte modelliert nicht negative Wartezeiten mit einer bestimmten Abklingeform. Sie ist keine allgemeine Beschreibung jeder Wartezeit.

Wähle ein Modell anhand seiner Voraussetzungen.
Verwechsle die Form der Dichte nicht mit der kumulierten Verteilungsfunktion.

$\mathsf{f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad(x\geq0,\ \lambda>0)}$

So geht es am Beispiel

Für eine Exponentialdichte mit $\mathsf{\lambda=2}$ gilt $\mathsf{F(x)=1-e^{-2x}}$ für nicht negative x. Bestimme den Wert bei 0.

\mathsf{F(0)=1-e^0=0}

Bis zum Beginn des Bereichs ist noch keine Fläche gesammelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Dichtefunktion · EinstiegEine Funktion ist auf 0 bis 3 konstant 0,4 und sonst 0. Prüfe, ob sie eine Dichte ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Prüfung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Funktion ist nicht negativ.
  $\mathsf{3\cdot0{,}4=1{,}2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Gesamtfläche ist nicht 1; damit ist die Normierung verletzt.
Ergebnis
1. PrüfungKeine Dichte: Gesamtfläche 1,2 statt 1.
02
Aufgabe 2Dichtefunktion · EinstiegEine Funktion ist auf 2 bis 7 konstant c und sonst 0. Bestimme c so, dass sie eine Dichte ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichtehöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Bereich hat Breite 5.
  $\mathsf{5c=1}$
  $\mathsf{c=\frac15}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Dieser Wert ist nicht negativ.
Ergebnis
1. Dichtehöhe $\mathsf{c=\frac15}$
03
Aufgabe 3Dichtefunktion · ÜbungFür die Gleichverteilung auf 0 bis 4 zeichne die Verteilungsfunktion in die Vorlage. Zeichne auch die Abschnitte links von 0 und rechts von 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verteilungsfunktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Verteilungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bis 0 bleibt F gleich 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Von 0 bis 4 wächst F linear mit Steigung 1/4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ab 4 bleibt F gleich 1.
Ergebnis
1. VerteilungsfunktionF=0 für x<0; F=x/4 für 0≤x≤4; F=1 für x>4.
04
Aufgabe 4Dichtefunktion · ÜbungEine stetige Variable hat $\mathsf{F(1)=0{,}15}$ und $\mathsf{F(5)=0{,}8}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit zwischen 1 und 5 sowie oberhalb 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwischen 1 und 5
Oberhalb 5
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Differenz entfernt die bereits bis 1 gesammelte Fläche.
  $\mathsf{P(1<X\leq5)=0{,}8-0{,}15=0{,}65}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Oberhalb 5 bleibt die Ergänzung zu 1.
  $\mathsf{P(X>5)=1-0{,}8=0{,}2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zwischen 1 und 5 $\mathsf{65\%}$
2. Oberhalb 5 $\mathsf{20\%}$
05
Aufgabe 5Dichtefunktion · TransferEine Dichte ist $\mathsf{f(x)=x/2}$ auf 0 bis 2 und sonst 0. Berechne den Erwartungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Integrand für den Erwartungswert ist x mal f(x).
  $\mathsf{E(X)=\int_0^2\frac{x^2}{2}\,dx}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Stammfunktion lautet x³/6.
  $\mathsf{E(X)=\left[\frac{x^3}{6}\right]_0^2=\frac43}$
Ergebnis
1. Erwartungswert $\mathsf{\frac43}$
06
Aufgabe 6Dichtefunktion · TransferEine Kandidatin für eine Verteilungsfunktion fällt zwischen zwei Stellen von 0,7 auf 0,6. Kann das eine Verteilungsfunktion sein? Begründe mithilfe der Ereignisse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründetes Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beim Verschieben der Grenze nach rechts kommen mögliche Werte hinzu; vorhandene fallen nicht weg.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Wahrscheinlichkeit für „höchstens die Grenze“ kann daher nicht sinken.
Ergebnis
1. Begründetes UrteilNein. Eine Verteilungsfunktion muss monoton nicht fallend sein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Nichtnegativität und Gesamtfläche 1.
Ich unterscheide Dichte und Verteilungsfunktion.
Ich berechne Intervallwahrscheinlichkeiten durch Differenzen von F.

AT Academy · Version 2026-10-21