Dividieren · Erklären & üben

Division mit Rest

Manchmal lassen sich ganze Gegenstände nicht restlos in gleich große Gruppen einteilen. Dann gibst du einen ganzzahligen Quotienten und einen Rest an.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quotient und Rest

Hier ist der Dividend eine ganze Zahl ab null und der Divisor eine positive ganze Zahl. Der Quotient zählt vollständige Gruppen. Der Rest zählt die übrigen Stücke.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Es gilt $\mathsf{a=b\cdot q+r}$ mit $\mathsf{0\le r<b}$ .

19 Steine in Vierergruppen. 4 · 4 + 3 = 19; Rest 3 ist kleiner als 4.

So geht es am Beispiel

19 Steine werden in Gruppen zu vier gelegt. Was bleibt?

Vier vollständige Gruppen enthalten $\mathsf{4\cdot4=16}$ Steine.

Der Rest ist $\mathsf{19-16=3}$ .

Die Grenze $\mathsf{3<4}$ ist erfüllt.

Erklärung 02

Passendes Vielfaches und Probe

Suche das größte Vielfache des Divisors, das den Dividenden nicht überschreitet. Ziehe dieses Vielfache ab. Prüfe anschließend Produkt und Rest zusammen.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Ein Rest, der mindestens so groß wie der Divisor ist, enthält noch eine weitere Gruppe.

38 geteilt durch 7. 7 · 5 = 35: Dieses Vielfache passt.; 7 · 6 = 42: Das nächste Vielfache ist zu groß.; 38 − 35 = 3: Der verbleibende Rest ist kleiner als 7.. Quotient 5, Rest 3

So geht es am Beispiel

Bestimme Quotient und Rest von 38 geteilt durch 7.

Das Vielfache $\mathsf{7\cdot5=35}$ passt noch.

Das nächste Vielfache $\mathsf{7\cdot6=42}$ ist zu groß.

Der Rest ist $\mathsf{38-35=3}$ .

Die Probe lautet $\mathsf{7\cdot5+3=38}$ .

So geht es am Beispiel

Jemand gibt für 26 geteilt durch 5 den Quotienten 4 und den Rest 6 an. Korrigiere.

Die Summe $\mathsf{5\cdot4+6=26}$ rekonstruiert zwar den Dividenden.

Die Restgrenze ist aber verletzt, weil $\mathsf{6\ge5}$ .

Eine weitere Gruppe passt: $\mathsf{5\cdot5=25}$ .

Der richtige Rest ist $\mathsf{26-25=1}$ .

Erklärung 03

Rest im Sachzusammenhang

Bei vollständig gefüllten Gruppen zählt nur q. Wenn alle Stücke in Behälter passen müssen, brauchst du bei positivem Rest einen zusätzlichen Behälter. Ist der Rest null, brauchst du keinen zusätzlichen.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Die Frage entscheidet, ob vollständige Gruppen, übrige Stücke oder alle benötigten Behälter gesucht sind.

31 Personen, sechs Plätze je Bus. Fünf volle Busse und eine Person: sechs Busse nötig.

So geht es am Beispiel

31 Personen fahren in Kleinbussen mit je sechs Plätzen. Wie viele Busse sind nötig?

Fünf volle Busse haben $\mathsf{5\cdot6=30}$ Plätze.

Es bleibt $\mathsf{31-30=1}$ Person.

Für diese Person ist ein weiterer Bus nötig: $\mathsf{5+1=6}$ .

Erklärung 04

Randfälle und Fortsetzung

Ist der Dividend kleiner als der Divisor, ist q null und der Dividend selbst der Rest. Ist die Teilung genau, ist r null. Das schriftliche Verfahren im Thema Schriftlich dividieren nutzt dieselbe Restgrenze.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Null als Rest ist erlaubt, null als Divisor nicht.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Restdarstellung für 3 geteilt durch 8.

Keine vollständige Gruppe passt, also ist q null.

Alle drei Stücke bleiben übrig.

Die Probe lautet $\mathsf{8\cdot0+3=3}$ .

Die Grenze $\mathsf{3<8}$ ist erfüllt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Division mit Rest · 1Bestimme den ganzzahligen Quotienten und den Rest von 22 geteilt durch 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Rest
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das größte passende Vielfache ist $\mathsf{5\cdot4=20}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Rest ist $\mathsf{22-20=2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{2<5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient4
2. Rest2
02
Aufgabe 2Division mit Rest · 1Bestimme Quotient und Rest von 47 geteilt durch 8. Notiere die Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Rest
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das größte passende Vielfache ist $\mathsf{8\cdot5=40}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Rest ist $\mathsf{47-40=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Grenze $\mathsf{7<8}$ stimmt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{8\cdot5+7=47}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient5
2. Rest7
3. Probe $\mathsf{8\cdot5+7=47}$
03
Aufgabe 3Division mit Rest · 1Bestimme Quotient und Rest von 4 geteilt durch 9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Rest
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es passt keine vollständige Gruppe, also ist q null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Rest ist 4 und erfüllt $\mathsf{4<9}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient0
2. Rest4
04
Aufgabe 4Division mit Rest · 2Bestimme Quotient und Rest von 36 geteilt durch 6 sowie von 0 geteilt durch 6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient bei 36
Rest bei 36
Quotient bei 0
Rest bei 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rechnung $\mathsf{6\cdot6=36}$ geht genau auf.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für null gilt $\mathsf{6\cdot0=0}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  In beiden Fällen bleibt nichts übrig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient bei 366
2. Rest bei 360
3. Quotient bei 00
4. Rest bei 00
05
Aufgabe 5Division mit Rest · 2Für 34 geteilt durch 6 werden q gleich 4 und r gleich 10 vorgeschlagen. Ist dies die gültige Restdarstellung? Begründe und korrigiere q und r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gültige Restdarstellung?
Begründung
Korrigierter Quotient
Korrigierter Rest
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Restgrenze $\mathsf{10<6}$ ist falsch.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Eine weitere Gruppe passt: $\mathsf{6\cdot5=30}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der richtige Rest ist $\mathsf{34-30=4}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{6\cdot5+4=34}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gültige Restdarstellung?Nein
2. BegründungDer Rest 10 ist größer als der Divisor 6.
3. Korrigierter Quotient5
4. Korrigierter Rest4
06
Aufgabe 6Division mit Rest · 243 Kekse werden in Tüten mit je sieben Keksen gepackt. Wie viele Tüten sind vollständig gefüllt und wie viele Kekse bleiben übrig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständig gefüllte Tüten
Übrige Kekse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sechs Tüten enthalten $\mathsf{7\cdot6=42}$ Kekse.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es bleibt $\mathsf{43-42=1}$ Keks.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vollständig gefüllte Tüten6
2. Übrige Kekse1
07
Aufgabe 7Division mit Rest · 343 Bücher müssen in Kisten mit höchstens sieben Büchern passen. Wie viele Kisten sind nötig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Benötigte Kisten
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sechs volle Kisten enthalten $\mathsf{7\cdot6=42}$ Bücher.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es bleibt $\mathsf{43-42=1}$ Buch.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Eine weitere Kiste ist nötig: $\mathsf{6+1=7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Benötigte Kisten7
2. BegründungSechs Kisten fassen nur 42 Bücher; das letzte Buch braucht eine weitere.
08
Aufgabe 8Division mit Rest · 342 Bücher kommen in Kisten mit höchstens sieben Büchern. Wie viele Kisten sind nötig? Begründe, warum keine weitere gebraucht wird.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Benötigte Kisten
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Rechnung $\mathsf{42:7=6}$ geht genau auf.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Restprobe $\mathsf{7\cdot6+0=42}$ zeigt Rest null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Benötigte Kisten6
2. BegründungAlle Bücher passen genau in sechs Kisten, es bleibt kein Buch übrig.
09
Aufgabe 9Division mit Rest · 3Der Divisor ist 9, der ganzzahlige Quotient 7 und der Rest 4. Finde den Dividenden. Ist dieser Rest zulässig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dividend
Rest zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne das Produkt $\mathsf{9\cdot7=63}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere den Rest: $\mathsf{63+4=67}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Restgrenze $\mathsf{0\le4<9}$ ist erfüllt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dividend67
2. Rest zulässig?Ja
3. BegründungDer Rest 4 ist nicht negativ und kleiner als 9.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich suche das größte passende Vielfache.
Ich prüfe den Rest gegen den Divisor.
Ich entscheide im Kontext, ob eine weitere Gruppe gebraucht wird.

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