Dividieren · Erklären & üben

Quotienten

Ein Quotient beschreibt eine Division oder ihren Wert. Du wählst einen Rechenweg und unterscheidest genaue Werte von ganzzahligen Ergebnissen mit Rest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quotient als Term und Wert

Der Ausdruck $\mathsf{a:b}$ heißt Quotient. Sein berechneter Wert wird ebenfalls Quotient genannt. Dabei muss $\mathsf{b\ne0}$ gelten. Das Ergebnis muss keine ganze Zahl sein.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Term und berechneter Wert beschreiben dieselbe Division.

18 : 3 = 6. Sechs Dreiergruppen ergeben 18.

So geht es am Beispiel

Was bedeutet der Quotient $\mathsf{54:6}$ ?

Gesucht ist die Zahl, die mit 6 multipliziert 54 ergibt.

Das Produkt $\mathsf{6\cdot9=54}$ bestimmt diesen Wert.

Erklärung 02

Drei Rechenwege

Im Kopf nutzt du bekannte Produkte. Halbschriftlich zerlegst du den Dividenden in günstig teilbare Summanden. Schriftlich bearbeitest du die Ziffern von links nach rechts. Das Thema Schriftlich dividieren erklärt dafür auch Nullstellen und Arbeitsgitter.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Wähle einen Weg, dessen Schritte du begründen kannst.

156 zerlegt in 150 und 6; Division beider Teile durch 3, danach Addition zu 52.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{156:3}$ halbschriftlich.

Zerlege $\mathsf{156=150+6}$ .

Teile den ersten Summanden: $\mathsf{150:3=50}$ .

Teile den zweiten Summanden: $\mathsf{6:3=2}$ .

Addiere die Teilquotienten: $\mathsf{50+2=52}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{168:4}$ schriftlich.

Die erste Ziffer 1 ist kleiner als 4, deshalb betrachte 16.

Die erste Quotientenziffer ist 4, denn $\mathsf{16:4=4}$ .

Subtrahiere das Produkt: $\mathsf{16-16=0}$ .

Hole die 8 herunter.

Die nächste Quotientenziffer ist 2, denn $\mathsf{8:4=2}$ .

Der letzte Rest ist $\mathsf{8-8=0}$ .

Die Probe ergibt $\mathsf{4\cdot42=168}$ .

Erklärung 03

Bruch und Dezimalzahl

Bei einem Bruch ist der Zähler der Dividend und der Nenner der Divisor. Der Bruchstrich bedeutet Division. Ein genauer Bruchwert kann als endliche oder periodische Dezimalzahl geschrieben werden. Brüche in Dezimalzahlen umwandeln vertieft diese Darstellung.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Für $\mathsf{b\ne0}$ gilt $\mathsf{a:b=\frac{a}{b}}$ .

Derselbe genaue Quotient. 9 : 4: Divisionsterm; 9/4: Bruch: Zähler 9, Nenner 4; 2,25: Genauer Dezimalwert. Alle drei Darstellungen haben denselben Wert.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{9:4}$ als Bruch und Dezimalzahl.

Die Bruchschreibweise ist $\mathsf{\frac{9}{4}}$ .

Zerlege den Wert als $\mathsf{\frac{8}{4}+\frac{1}{4}}$ .

Die beiden Anteile ergeben $\mathsf{2+0{,}25=2{,}25}$ .

Erklärung 04

Genauer Wert und Restdarstellung

Bei ganzen Zahlen kann eine Division als ganzzahliger Quotient q und Rest r beschrieben werden. Dann gilt $\mathsf{a=b\cdot q+r}$ mit $\mathsf{0\le r<b}$ . Der genaue Quotient ist $\mathsf{q+\frac{r}{b}}$ . Schreibe niemals die ursprüngliche Division gleich q, wenn ein Rest bleibt.

Lies die gegebenen Zahlen und die Frage genau.
Nutze die passende Umkehrrechnung zur Probe.

Die Restdarstellung enthält zwei Angaben: Quotient und Rest.

So geht es am Beispiel

Unterscheide die Darstellungen für 23 geteilt durch 5.

Das größte passende Vielfache ist $\mathsf{5\cdot4=20}$ .

Es bleiben $\mathsf{23-20=3}$ .

Die Restprobe lautet $\mathsf{23=5\cdot4+3}$ .

Der genaue Wert ist $\mathsf{4+\frac35=4{,}6}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quotienten · 1Berechne den Quotienten $\mathsf{81:9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotientenwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Produkt $\mathsf{9\cdot9=81}$ liefert den Wert.
Ergebnis
1. Quotientenwert9
02
Aufgabe 2Quotienten · 1Schreibe $\mathsf{11:4}$ als Bruch. Benenne Zähler und Nenner.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bruch
Zähler
Nenner
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Dividend wird zum Zähler 11.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Divisor wird zum Nenner 4.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Bruch $\mathsf{\frac{11}{4}}$
2. Zähler11
3. Nenner4
03
Aufgabe 3Quotienten · 2Berechne $\mathsf{234:3}$ mit der Zerlegung $\mathsf{210+24}$ . Gib beide Teilquotienten und den Gesamtwert an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Teilquotient
Zweiter Teilquotient
Gesamtwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der erste Teil ergibt $\mathsf{210:3=70}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Teil ergibt $\mathsf{24:3=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{70+8=78}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Probe lautet $\mathsf{3\cdot78=234}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Teilquotient70
2. Zweiter Teilquotient8
3. Gesamtwert78
04
Aufgabe 4Quotienten · 2Berechne $\mathsf{248:4}$ schriftlich in der Vorlage. Gib den Quotienten und die Multiplikationsprobe an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quotient
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Betrachte 24, weil 2 kleiner als 4 ist.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die erste Ziffer ist 6, denn $\mathsf{24:4=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahiere $\mathsf{24-24=0}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Hole die 8 herunter.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die letzte Ziffer ist 2, denn $\mathsf{8:4=2}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Der Rest ist $\mathsf{8-8=0}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{4\cdot62=248}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quotient62
2. Probe $\mathsf{4\cdot62=248}$
05
Aufgabe 5Quotienten · 2Schreibe $\mathsf{13:4}$ als genaue Dezimalzahl und prüfe durch Multiplikation.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Genauer Wert
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der ganze Anteil ist $\mathsf{12:4=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der übrige Anteil ist $\mathsf{1:4=0{,}25}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{3+0{,}25=3{,}25}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{4\cdot3{,}25=13}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Genauer Wert $\mathsf{3{,}25}$
2. Probe $\mathsf{4\cdot3{,}25=13}$
06
Aufgabe 6Quotienten · 2Bestimme für 29 geteilt durch 6 den ganzzahligen Quotienten und den Rest. Notiere die Restprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ganzzahliger Quotient
Rest
Restprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das größte passende Vielfache ist $\mathsf{6\cdot4=24}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Berechne den Rest: $\mathsf{29-24=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Grenze $\mathsf{5<6}$ ist erfüllt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Probe lautet $\mathsf{6\cdot4+5=29}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ganzzahliger Quotient4
2. Rest5
3. Restprobe $\mathsf{6\cdot4+5=29}$
07
Aufgabe 7Quotienten · 3Ist $\mathsf{29:6=4}$ eine richtige Gleichung? Begründe und gib den genauen Wert als Bruch an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ist die Gleichung richtig?
Begründung
Genauer Bruchwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Multiplikation $\mathsf{6\cdot4=24}$ ergibt nicht 29.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Divisionsterm entspricht dem Bruch $\mathsf{\frac{29}{6}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ist die Gleichung richtig?Nein
2. BegründungVier mal sechs ergibt nur 24, es fehlen 5.
3. Genauer Bruchwert $\mathsf{\frac{29}{6}}$
08
Aufgabe 8Quotienten · 3Berechne $\mathsf{144:6}$ mit der Zerlegung $\mathsf{120+24}$ und mit der Zerlegung $\mathsf{60+84}$ . Gib die vier Teilquotienten und beide Gesamtwerte an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
120 geteilt durch 6
24 geteilt durch 6
Gesamtwert erster Weg
60 geteilt durch 6
84 geteilt durch 6
Gesamtwert zweiter Weg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erster Weg: $\mathsf{120:6=20}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweiter Anteil: $\mathsf{24:6=4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erster Gesamtwert: $\mathsf{20+4=24}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zweiter Weg: $\mathsf{60:6=10}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zweiter Anteil: $\mathsf{84:6=14}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Zweiter Gesamtwert: $\mathsf{10+14=24}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. 120 geteilt durch 620
2. 24 geteilt durch 64
3. Gesamtwert erster Weg24
4. 60 geteilt durch 610
5. 84 geteilt durch 614
6. Gesamtwert zweiter Weg24
09
Aufgabe 9Quotienten · 3Ein Quotient hat den Dividenden 7 und den Divisor 0. Ist er definiert? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definiert?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein zugehöriger Wert müsste mit null multipliziert 7 ergeben.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jedes Produkt mit null ergibt null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definiert?Nein
2. BegründungEs gibt keine Zahl, deren Produkt mit null den Wert 7 ergibt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide einen Term von seinem Wert.
Ich kann einen Quotienten als Bruch schreiben.
Ich vergesse einen verbleibenden Rest nicht.

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