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Vierecke · Erklären & üben

Drachenviereck

Bei einem Drachenviereck liegen gleich lange Seiten paarweise nebeneinander. Seine Symmetrieachse und senkrechten Diagonalen helfen beim Rechnen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Benachbarte Seitenpaare

Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. In diesem Thema und im Haus betrachten wir konvexe Drachen; eine Raute ist als Spezialfall zugelassen. Einspringende Figuren mit derselben Seitenbedingung heißen oft Pfeilvierecke und werden hier nicht in diese Familie eingeordnet.

  1. Benenne A und C an den Treffpunkten gleicher Seitenpaare.

  2. Prüfe AB=AD und BC=CD.

  3. Prüfe die Konvexität.

AB=AD=a,BC=CD=b\mathsf{AB=AD=a,\qquad BC=CD=b}

Konvexer Drachen mit PaarenAB/AD undBC/CD; Seiten13/15 im Verhältnis.

So geht es am Beispiel

Ein konvexes ABCD hat AB=AD=6 cm und BC=CD=9 cm. Bestimme den Umfang.

U=6+9+9+6=30 cm\mathsf{U=6+9+9+6=30\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Der Umfang beträgt 30 cm.

Erklärung 02

Diagonalen und Fläche

Die Diagonale AC ist eine Symmetrieachse. Sie halbiert BD und steht senkrecht auf BD. BD halbiert AC im Allgemeinen nicht. Die vier rechtwinkligen Teildreiecke ergeben zusammen das halbe Produkt der ganzen Diagonalen.

  1. Verwende die vollständigen Längen e=AC und f=BD.

  2. Multipliziere sie.

  3. Halbiere das Produkt.

A=e⋅f2\mathsf{A=\frac{e\cdot f}{2}}

Senkrechte DiagonalenAC14 undBD24, Abschnitte5/9 bzw12/12.

So geht es am Beispiel

Ein konvexer Drachen hat Diagonalen von 14 cm und 24 cm. Berechne die Fläche.

A=14⋅242=168 cm2\mathsf{A=\frac{14\cdot24}{2}=168\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

168 cm²

Erklärung 03

Inkreis und Einordnung

Jeder nicht entartete konvexe Drachen besitzt einen Inkreis, der alle vier Seiten berührt. Sein Mittelpunkt liegt auf einer Symmetrieachse. Ein Umkreis existiert nicht immer. Eine Raute ist zugleich Drachen und Parallelogramm; ein allgemeiner Drachen hat keine parallelen Gegenseiten.

Weiterlernen im Thema Trapez: Vergleiche die Merkmale. Beim Drachen werden benachbarte Seitenlängen geprüft, beim Trapez parallele Gegenseiten. Mit unserer inklusiven Definition gehört eine Raute zu beiden Familien; ein Drachen ist nicht automatisch ein Trapez.

  1. Verwechsle die Lage des Inkreismittelpunkts nicht mit dem Diagonalenschnittpunkt.

  2. Bei gegebenem Inkreisradius zerlege die Fläche in vier Dreiecke.

A=U⋅r2\mathsf{A=\frac{U\cdot r}{2}}

So geht es am Beispiel

Ein konvexer Drachen hat Fläche 168 cm² und Umfang 56 cm. Bestimme seinen Inkreisradius.

r=2AU=33656=6 cm\mathsf{r=\frac{2A}{U}=\frac{336}{56}=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

Der Radius ist 6 cm.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Drachenviereck · EinstiegEin konvexes Viereck hat in der Umlaufrichtung Seiten 5 cm,8 cm,8 cm,5 cm. Begründe die Drachenzuordnung und berechne den Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die beiden 5-cm-Seiten treffen sich bei A, die beiden 8-cm-Seiten bei C.

      U=2(5+8)=26 cm\mathsf{U=2(5+8)=26\,\mathsf{cm}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. BegründungZwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.
    2. Umfang26 cm
  2. Aufgabe 2Drachenviereck · EinstiegDie Diagonalen eines konvexen Drachens sind 10 cm und 7 cm lang. Berechne seine Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=10⋅7:2=35 cm2\mathsf{A=10\cdot7:2=35\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Fläche35 cm²
  3. Aufgabe 3Drachenviereck · AnwendenEin Drachen hat Fläche 72 cm² und die Diagonale AC=12 cm. Berechne BD.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      BD=2⋅7212=12 cm\mathsf{BD=\frac{2\cdot72}{12}=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Diagonale BD12 cm
  4. Aufgabe 4Drachenviereck · AnwendenZeichne A(4|6),B(7|2),C(4|0),D(1|2) und beide Diagonalen. Kennzeichne die Symmetrieachse. Berechne die Fläche in Flächeneinheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Drachen mit Diagonalen und Achse

    Leeres Netz.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      AC ist senkrecht und 6 Einheiten lang, BD waagerecht und 6 Einheiten lang.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      AC ist die Symmetrieachse; die Abschnitte von AC sind 4 und 2 Einheiten lang.

      A=6⋅6:2=18\mathsf{A=6\cdot6:2=18}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Drachen mit Diagonalen und AchseSiehe Muster; AC ist die Symmetrieachse.
    2. Fläche18 Flächeneinheiten
  5. Aufgabe 5Drachenviereck · AnwendenEin konvexer Drachen hat Umfang 40 cm und Inkreisradius 3 cm. Berechne den Flächeninhalt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      A=40⋅3:2=60 cm2\mathsf{A=40\cdot3:2=60\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Fläche60 cm²
  6. Aufgabe 6Drachenviereck · TransferPrüfe: „Bei jedem Drachen halbieren sich beide Diagonalen gegenseitig.“ Nutze die Figur aus Aufgabe 4 als Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      BD wird durch AC in zwei Abschnitte von je 3 Einheiten geteilt.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      AC wird durch BD in Abschnitte von 4 und 2 Einheiten geteilt.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Behauptung gilt für Rauten, aber nicht für jeden Drachen.

    Ergebnis

    1. Urteil mit GegenbeispielFalsch: In Aufgabe 4 wird AC in 4 und 2 Einheiten geteilt, also nicht halbiert.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe benachbarte Seitenpaare.
  • Ich weiß, welche Diagonale die andere halbiert.
  • Ich verwende ganze Diagonalen für die Flächenformel.

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