Vierecke · Erklären & üben

Raute

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Ihre Winkel müssen keine rechten Winkel sein. Die beiden Diagonalen liefern besonders nützliche rechtwinklige Dreiecke.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vier gleiche Seiten

Eine Raute ist ein konvexes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Sie ist ein Parallelogramm und zugleich ein Drachenviereck. Gegenüberliegende Winkel sind gleich; Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180 Grad. Das Quadrat ist eine besondere Raute.

Prüfe alle vier Seitenlängen.
Übertrage die Eigenschaften des Parallelogramms.
Verlange rechte Winkel nur für ein Quadrat.

$\mathsf{U=4a}$

So geht es am Beispiel

Eine Raute hat Seiten von 7 cm. Berechne den Umfang.

\mathsf{U=4\cdot7=28\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Diagonalen und Fläche

Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Beide Diagonalen sind Spiegelachsen. Die Raute ist auch punktsymmetrisch zu ihrem Schnittpunkt. Die Fläche kann mit Grundseite und Höhe oder mit den ganzen Diagonalen bestimmt werden.

Wähle eine Formel passend zu den gegebenen Größen.
Verwende bei Pythagoras halbe Diagonalen.
Verwende für das halbe Diagonalenprodukt die ganzen Längen.

$\mathsf{A=a h_a=\frac{e f}{2}}$

Beide Diagonalenhälften paarweise gleich; Diagonalen senkrecht.

So geht es am Beispiel

Eine Raute hat Diagonalen von 6 cm und 8 cm. Berechne Fläche und Seitenlänge.

\mathsf{A=6\cdot8:2=24\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{a=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Inkreis immer, Umkreis nur beim Quadrat

Jede nicht entartete Raute besitzt einen Inkreis. Sein Mittelpunkt ist der Diagonalenschnittpunkt. Die Höhe ist doppelt so groß wie sein Radius. Einen Umkreis besitzt eine Raute genau dann, wenn sie ein Quadrat ist: Gleich große gegenüberliegende Winkel müssen dafür zusammen 180 Grad ergeben.

Halbiere die Höhe für den Inkreisradius.
Prüfe für einen Umkreis, ob die Raute vier rechte Winkel hat.

$\mathsf{r=\frac{h_a}{2}}$

So geht es am Beispiel

Eine Raute hat Seite 5 cm und Fläche 24 cm². Bestimme Höhe und Inkreisradius.

\mathsf{h_a=24:5=4{,}8\,\mathsf{cm}}

\mathsf{r=4{,}8:2=2{,}4\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Optionale Vertiefung: Raute im Raum

Vorkenntnisse: Punktkoordinaten, Seitenvektoren, skalare Vielfache und Vektorlänge. Weise zuerst ein ebenes, nicht entartetes Parallelogramm in der Reihenfolge A, B, C, D nach. Sind zusätzlich zwei benachbarte Seiten gleich lang, sind alle vier Seiten gleich lang: Die Figur ist eine Raute. Benachbarte Seiten müssen dabei nicht senkrecht sein.

Vergleiche AB mit DC und AD mit BC.
Schließe parallele benachbarte Seitenvektoren aus.
Vergleiche die Längen von AB und AD.

$\mathsf{\lVert(u_1|u_2|u_3)\rVert=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}}$

Beschriftetes Schrägbild der vier Beispielpunkte mit x-, y-, z-Achsen; die Eckreihenfolge bildet eine ebene Figur.

So geht es am Beispiel

Prüfe A(0|0|0), B(2|1|1), C(3|3|2), D(1|2|1).

\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2|1|1)=\overrightarrow{DC}}

\mathsf{\overrightarrow{AD}=(1|2|1)=\overrightarrow{BC}}

Die Vektoren sind keine Vielfachen: Wegen der dritten Koordinate wäre der Faktor 1 nötig, doch die ersten Koordinaten unterscheiden sich.

\mathsf{A+(2|1|1)+(1|2|1)=(3|3|2)=C}

\mathsf{|AB|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt6}

\mathsf{|AD|=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt6}

Damit ist ABCD ein ebenes Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten, also eine Raute.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Raute · EinstiegEine Raute hat Seiten von 6,5 cm. Berechne ihren Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{U=4\cdot6{,}5=26\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Umfang26 cm
02
Aufgabe 2Raute · EinstiegIn einer Raute beträgt ein Innenwinkel 72 Grad. Bestimme den benachbarten und den gegenüberliegenden Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Nachbarwinkel
Gegenüberliegender Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{180^\circ-72^\circ=108^\circ}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der gegenüberliegende Winkel ist gleich groß.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Nachbarwinkel108 Grad
2. Gegenüberliegender Winkel72 Grad
03
Aufgabe 3Raute · AnwendenDie Diagonalen einer Raute sind 10 cm und 24 cm lang. Berechne Fläche und Seitenlänge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Seitenlänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=10\cdot24:2=120\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{a=\sqrt{5^2+12^2}=13\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche120 cm²
2. Seitenlänge13 cm
04
Aufgabe 4Raute · AnwendenZeichne A(1|3),B(5|6),C(9|3),D(5|0) und beide Spiegelachsen. Bestimme die beiden Diagonalenlängen und die Fläche in Gittereinheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Raute mit Spiegelachsen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Raute mit Spiegelachsen
Diagonale AC
Diagonale BD
Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  AC ist 8 und BD ist 6 Gittereinheiten lang.
2. Schritt 2 · Erklärung
  AC und BD stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich.
  $\mathsf{A=8\cdot6:2=24}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Raute mit SpiegelachsenSiehe Musterzeichnung.
2. Diagonale AC8 Gittereinheiten
3. Diagonale BD6 Gittereinheiten
4. Fläche24 Flächeneinheiten
05
Aufgabe 5Raute · AnwendenEine Raute hat Seite 10 cm und Höhe 8 cm. Bestimme Fläche und Inkreisradius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche
Inkreisradius
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=10\cdot8=80\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{r=8:2=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fläche80 cm²
2. Inkreisradius4 cm
06
Aufgabe 6Raute · TransferEine Raute hat Winkel von 60 und 120 Grad. Kann ein Kreis durch alle vier Ecken gehen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gegenüberliegende Winkel sind gleich; zwei 60-Grad-Winkel ergeben 120 Grad, nicht 180 Grad.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nur eine quadratische Raute hat einen Umkreis.
Ergebnis
1. Urteil mit BegründungNein. Die Raute ist kein Quadrat; ihre gegenüberliegenden Winkel ergänzen sich nicht auf 180 Grad.
07
Aufgabe 7Raute · TransferOptionale Vektoraufgabe: A(1|0|1), B(3|2|2), C(5|3|4), D(3|1|3). Weise in der Reihenfolge ABCD ein Parallelogramm und anschließend eine Raute nach.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
AB und DC
AD und BC
Länge AB
Länge AD
Begründung der Raute
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2|2|1)=\overrightarrow{DC}}$
  $\mathsf{\overrightarrow{AD}=(2|1|2)=\overrightarrow{BC}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Vektoren sind keine Vielfachen: Die erste Koordinate verlangt Faktor 1, die zweite widerspricht diesem Faktor.
  $\mathsf{A+(2|2|1)+(2|1|2)=(5|3|4)=C}$
  $\mathsf{|AB|=\sqrt{4+4+1}=3}$
  $\mathsf{|AD|=\sqrt{4+1+4}=3}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Somit ist ABCD ein ebenes Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten und daher eine Raute.
Ergebnisse & Teilantworten
1. AB und DC $\mathsf{(2|2|1)}$
2. AD und BC $\mathsf{(2|1|2)}$
3. Länge AB3 Längeneinheiten
4. Länge AD3 Längeneinheiten
5. Begründung der RauteNicht parallele Seitenvektoren spannen die Ebene auf; C = A + AB + AD. Das Parallelogramm hat gleich lange benachbarte Seiten.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Vier gleiche Seiten reichen für eine Raute.
Ich verwende die richtigen ganzen oder halben Diagonalen.
Ich weiß, wann eine Raute einen Umkreis hat.

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