Dreiecke berechnen · Erklären & üben

Höhe Dreieck berechnen

Die Höhe ist das Lot eines Eckpunkts auf die gegenüberliegende Seitengerade. Entscheidend ist, zu welcher Seite die Höhe gehört. Ein schräger Schenkel ist keine Höhe.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Höhe aus der Fläche

Wähle zum Beispiel die Seite $\mathsf{c=AB}$ . Die Höhe $\mathsf{h_c}$ geht von $\mathsf{C}$ senkrecht auf die Gerade $\mathsf{AB}$ , nötigenfalls auf deren Verlängerung. Aus der Flächenformel folgt eine einfache Umstellung.

Verdopple die Fläche.
Teile durch die positive zugehörige Seitenlänge.

$\mathsf{h_c=\frac{2A}{c}}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{A=30\,\mathsf{cm}^2}$ und $\mathsf{c=10\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{h_c}$ .

\mathsf{h_c=\frac{2\cdot30}{10}\,\mathsf{cm}=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Besondere Dreiecke

Im gleichschenkligen Dreieck halbiert die Höhe die Basis. Mit Schenkel $\mathsf{s}$ und Basis $\mathsf{g}$ gilt $\mathsf{h=\sqrt{s^2-(g/2)^2}}$ . Beim gleichseitigen Dreieck wird daraus $\mathsf{h=\frac{\sqrt3}{2}s}$ . Im rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten gegenseitig Höhen; die Hypotenusenhöhe ist dagegen $\mathsf{h_r=pq/r}$ .

Zeichne das passende rechtwinklige Hilfsdreieck.
Nutze Pythagoras oder den Vergleich der beiden Flächenformeln.

$\mathsf{h=\sqrt{s^2-\left(\frac g2\right)^2}}$

So geht es am Beispiel

Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel $\mathsf{13\,\mathsf{cm}}$ und Basis $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Basishöhe.

\mathsf{g/2=5\,\mathsf{cm}}

\mathsf{h=\sqrt{13^2-5^2}\,\mathsf{cm}=12\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Optional: eine Höhe mit Sinus

Voraussetzung: Sinus und Winkel im Gradmaß. Sind $\mathsf{b=AC}$ und der eingeschlossene Winkel $\mathsf{\alpha}$ zwischen $\mathsf{b}$ und $\mathsf{c=AB}$ bekannt, gilt $\mathsf{h_c=b\sin\alpha}$ . Das folgt aus dem rechtwinkligen Hilfsdreieck, nicht aus einem eigenständigen Sinussatz für Höhen. Beim stumpfen Winkel nutzt du den Ergänzungswinkel; dessen Sinus ist gleich.

Ordne die bekannte Seite als Hypotenuse des Hilfsdreiecks zu.
Multipliziere sie mit dem Sinus des zugehörigen Winkels.

$\mathsf{h_c=b\sin\alpha}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{b=10\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=30^\circ}$ . Bestimme $\mathsf{h_c}$ .

\mathsf{h_c=10\cdot\sin30^\circ\,\mathsf{cm}=10\cdot\frac12\,\mathsf{cm}=5\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Optional: alle drei Seiten sind bekannt

Für drei Seiten kannst du zunächst die Fläche mit Heron bestimmen. Dazu ist $\mathsf{s=(a+b+c)/2}$ der halbe Umfang, hier keine einzelne Seitenlänge. Die Seiten müssen die strenge Dreiecksungleichung erfüllen. Anschließend folgt die gewünschte Höhe aus der Fläche.

Berechne den halben Umfang und die Fläche.
Teile die doppelte Fläche durch die gewählte Grundseite.

$\mathsf{A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

So geht es am Beispiel

Die Seiten messen $\mathsf{13\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{14\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{15\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Höhe zur Seite $\mathsf{14\,\mathsf{cm}}$ .

\mathsf{s=\frac{13+14+15}{2}\,\mathsf{cm}=21\,\mathsf{cm}}

\mathsf{A=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}\,\mathsf{cm}^2=84\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{h=\frac{2\cdot84}{14}\,\mathsf{cm}=12\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Höhe Dreieck berechnen · basis $\mathsf{A=42\,\mathsf{cm}^2}$ und $\mathsf{c=12\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme $\mathsf{h_c}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zugehörige Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_c=\frac{2\cdot42}{12}\,\mathsf{cm}=7\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Zugehörige Höhe $\mathsf{h_c=7\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Höhe Dreieck berechnen · standardEin gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel $\mathsf{10\,\mathsf{cm}}$ und Basis $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Basishöhe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Basishöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g/2=6\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{h=\sqrt{10^2-6^2}\,\mathsf{cm}=8\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Basishöhe $\mathsf{h=8\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Höhe Dreieck berechnen · standardEin gleichseitiges Dreieck hat Seitenlänge $\mathsf{8\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme die Höhe exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\sqrt{8^2-4^2}\,\mathsf{cm}=\sqrt{48}\,\mathsf{cm}=4\sqrt3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{h=4\sqrt3\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Höhe Dreieck berechnen · standardZeichne im Dreieck $\mathsf{A(0|0)}$ , $\mathsf{B(4|0)}$ , $\mathsf{C(6|3)}$ die Höhe zur Seite $\mathsf{AB}$ . Verlängere dazu die Grundseitengerade und markiere den rechten Winkel. Eine Einheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Außenliegende Höhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Außenliegende Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Lotfuß ist $\mathsf{H(6|0)}$ und liegt außerhalb der Seite $\mathsf{AB}$ .
  $\mathsf{h_c=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Außenliegende HöheVerlängerung von $\mathsf{AB}$ bis $\mathsf{H(6|0)}$ ; Lot $\mathsf{CH}$ und rechter Winkel bei $\mathsf{H}$ .
05
Aufgabe 5Höhe Dreieck berechnen · vertiefungOptional mit Sinus: $\mathsf{b=8\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{\alpha=30^\circ}$ . Berechne $\mathsf{h_c}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h_c=8\sin30^\circ\,\mathsf{cm}=4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe $\mathsf{h_c=4\,\mathsf{cm}}$
06
Aufgabe 6Höhe Dreieck berechnen · transferEin rechtwinkliges Dreieck hat Katheten $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ sowie Hypotenuse $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Höhe auf die Hypotenuse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenusenhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{3\cdot4}{2}\,\mathsf{cm}^2=6\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{h_r=\frac{2\cdot6}{5}\,\mathsf{cm}=2{,}4\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Hypotenusenhöhe $\mathsf{h_r=2{,}4\,\mathsf{cm}}$
07
Aufgabe 7Höhe Dreieck berechnen · vertiefungOptional mit Heron: Die Seiten sind $\mathsf{13\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{14\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{15\,\mathsf{cm}}$ . Berechne die Höhe zur Seite $\mathsf{15\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhe zur Seite 15 cm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=21\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{A=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}\,\mathsf{cm}^2=84\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{h=\frac{168}{15}\,\mathsf{cm}=11{,}2\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Höhe zur Seite 15 cm $\mathsf{h=11{,}2\,\mathsf{cm}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich zeichne ein Lot auf die zugehörige Seitengerade.
Ich lasse auch außenliegende Höhen zu.
Ich wähle das Verfahren passend zu den gegebenen Daten.

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