Lineare Gleichungssysteme · Erklären & üben

Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzen löst du beide Gleichungen nach derselben Variable auf. Die beiden Ausdrücke müssen dann gleich sein. Am Ende setzt du zurück und prüfst beide Ausgangsgleichungen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleiche Variable, gleiche Ausdrücke

Ist in beiden Gleichungen y schon allein, kannst du sofort Gleichsetzen. Andernfalls stellst du zuerst beide Gleichungen nach derselben Variable um.

Ein gefundenes x ist erst die halbe Lösung. Rückeinsetzen liefert y. Eine Probe muss beide Gleichungen erfüllen.

Zwei freigestellte y-Ausdrücke führen zum Gleichsetzen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{y=2x+1\quad\textsf{und}\quad y=-x+7}$ .

$\mathsf{2x+(1)=-1x+(7)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.

$\mathsf{3x+(1)=7}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1x}$ abziehen.

$\mathsf{3x=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1}$ abziehen.

$\mathsf{x=2}$ — beide Seiten durch $\mathsf{3}$ teilen.

$\mathsf{y=2\cdot(2)+(1)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.

$\mathsf{y=5}$ — ausrechnen.

$\mathsf{5=2\cdot(2)+(1)}$ — Probe in der ersten Gleichung.

$\mathsf{5=-1\cdot(2)+(7)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.

Erklärung 02

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

Eine falsche Aussage nach dem Gleichsetzen bedeutet keine Lösung. Eine stets wahre Aussage bedeutet, dass die beiden Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben. Dann bleibt eine Variable frei.

Gleichsetzen ist besonders kurz, wenn dieselbe Variable schon freigestellt ist. Das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren dieses Blocks bieten andere passende Wege.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{y=2x+1\quad\textsf{und}\quad y=2x+4}$ .

$\mathsf{2x+1=2x+4}$ — gleichsetzen.

$\mathsf{1=4}$ — auf beiden Seiten 2x abziehen.

Die Aussage ist falsch. Es gibt kein passendes Zahlenpaar.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{y=x+3\quad\textsf{und}\quad 2y=2x+6}$ .

$\mathsf{y=x+3}$ — die zweite Gleichung durch 2 teilen.

$\mathsf{x+3=x+3}$ — gleichsetzen.

$\mathsf{3=3}$ — auf beiden Seiten x abziehen.

Die Aussage ist immer wahr. Wähle x frei und bestimme y mit einer Ausgangsgleichung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gleichsetzungsverfahren · GrundlagenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=1x+(2)\quad\textsf{und}\quad y=-1x+(8)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1x+(2)=-1x+(8)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(2)=8}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{2}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — beide Seiten durch $\mathsf{2}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=1\cdot(3)+(2)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=5}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=1\cdot(3)+(2)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=-1\cdot(3)+(8)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(3,5)\}}$
02
Aufgabe 2Gleichsetzungsverfahren · GrundlagenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=3x+(-2)\quad\textsf{und}\quad y=1x+(6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-2)=1x+(6)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(-2)=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=8}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-2}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — beide Seiten durch $\mathsf{2}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3\cdot(4)+(-2)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=10}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10=3\cdot(4)+(-2)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{10=1\cdot(4)+(6)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(4,10)\}}$
03
Aufgabe 3Gleichsetzungsverfahren · GrundlagenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=-2x+(9)\quad\textsf{und}\quad y=1x+(0)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+(9)=1x+(0)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-3x+(9)=0}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-3x=-9}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{9}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — beide Seiten durch $\mathsf{-3}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=-2\cdot(3)+(9)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=-2\cdot(3)+(9)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=1\cdot(3)+(0)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(3,3)\}}$
04
Aufgabe 4Gleichsetzungsverfahren · AnwendenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=2x+(0)\quad\textsf{und}\quad y=-1x+(6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+(0)=-1x+(6)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(0)=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{0}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — beide Seiten durch $\mathsf{3}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot(2)+(0)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4=2\cdot(2)+(0)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4=-1\cdot(2)+(6)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(2,4)\}}$
05
Aufgabe 5Gleichsetzungsverfahren · AnwendenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=\frac{1}{2}x+(1)\quad\textsf{und}\quad y=-1x+(7)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{1}{2}x+(1)=-1x+(7)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{3}{2}x+(1)=7}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-1x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{3}{2}x=6}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{1}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — beide Seiten durch $\mathsf{\frac{3}{2}}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=\frac{1}{2}\cdot(4)+(1)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=\frac{1}{2}\cdot(4)+(1)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3=-1\cdot(4)+(7)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(4,3)\}}$
06
Aufgabe 6Gleichsetzungsverfahren · AnwendenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=3x+(-5)\quad\textsf{und}\quad y=\frac{1}{2}x+(0)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+(-5)=\frac{1}{2}x+(0)}$ — die beiden Ausdrücke für y gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{5}{2}x+(-5)=0}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{\frac{1}{2}x}$ abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac{5}{2}x=5}$ — auf beiden Seiten $\mathsf{-5}$ abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — beide Seiten durch $\mathsf{\frac{5}{2}}$ teilen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3\cdot(2)+(-5)}$ — x in die erste Gleichung einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=1}$ — ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=3\cdot(2)+(-5)}$ — Probe in der ersten Gleichung.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=\frac{1}{2}\cdot(2)+(0)}$ — Probe in der zweiten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(2,1)\}}$
07
Aufgabe 7Gleichsetzungsverfahren · AnwendenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{2x+y=7\quad\textsf{und}\quad x-y=2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=7-2x}$ — in der ersten Gleichung 2x abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-y=2-x}$ — in der zweiten Gleichung x abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=x-2}$ — die zweite Gleichung mit minus 1 multiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7-2x=x-2}$ — gleichsetzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7=3x-2}$ — 2x addieren.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{9=3x}$ — 2 addieren.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — durch 3 teilen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=3-2}$ — in die umgestellte zweite Gleichung einsetzen.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=1}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\cdot3+1=7}$ — erste Probe.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3-1=2}$ — zweite Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(3,1)\}}$
08
Aufgabe 8Gleichsetzungsverfahren · VertiefenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=4x-2\quad\textsf{und}\quad 2y=8x-4}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=4x-2}$ — die zweite Gleichung durch 2 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x-2=4x-2}$ — gleichsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2=-2}$ — 4x abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Jeder reelle x-Wert ist möglich; y folgt aus der ersten Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{(t,4t-2)\mid t\in\mathbb R\}}$
09
Aufgabe 9Gleichsetzungsverfahren · VertiefenBestimme die Lösungsmenge von $\mathsf{y=-2x+5\quad\textsf{und}\quad y=-2x-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-2x+5=-2x-1}$ — gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=-1}$ — auf beiden Seiten 2x addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Aussage ist falsch.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\varnothing}$
10
Aufgabe 10Gleichsetzungsverfahren · VertiefenBei $\mathsf{y=2x+1\quad\textsf{und}\quad y=-x+7}$ findet jemand x = 2 und nennt nur diese Zahl als Lösung. Erkläre die Lücke und gib die vollständige Lösungsmenge an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler erklären
Vollständige Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein LGS in zwei Variablen verlangt ein Zahlenpaar.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=2\cdot2+1}$ — zurückeinsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{y=5}$ — ausrechnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5=-2+7}$ — zweite Gleichung prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehler erklärenDer y-Wert und die Probe in beiden Gleichungen fehlen.
2. Vollständige Lösungsmenge $\mathsf{L=\{(2,5)\}}$

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