Gemischte Zahl

Erklärung 01

Ganze und ein Reststück

1. 1

   Eine ganze Einheit festlegen.

2. 2

   Alle ganzen Einheiten gleich groß zeichnen.

3. 3

   Jede Einheit gleich teilen und volle Einheiten plus Restanteil darstellen.

$\mathsf{2\frac35=2+\frac35}$. Der Nenner beschreibt die Teilung eines Ganzen.

Erklärung 02

Gemischte Zahl wird Bruch

1. 1

   Ganze mit dem Nenner multiplizieren.

2. 2

   Den bisherigen Zähler addieren.

3. 3

   Summe über denselben Nenner schreiben.

4. 4

   Wenn möglich anschließend kürzen.

Multipliziere die Anzahl der Ganzen mit dem Nenner und addiere den Zähler. So erhältst du den neuen Zähler. Der Nenner bleibt.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{2\frac{3}{5}}$ als Bruch.

Zähle die Fünftel in den zwei Ganzen.

$$\mathsf{2\cdot5=10}$$

Addiere die drei übrigen Fünftel.

$$\mathsf{10+3=13}$$

Der Nenner bleibt 5.

$$\mathsf{2\frac{3}{5}=\frac{13}{5}}$$

Erklärung 03

Bruch wird gemischte Zahl

1. 1

   Zähler durch Nenner mit Rest teilen.

2. 2

   Quotient als ganze Zahl notieren.

3. 3

   Rest als Zähler über den alten Nenner setzen.

4. 4

   Bruchanteil falls möglich kürzen.

Der Zähler ergibt sich aus Ganzen mal Nenner plus Rest. Der Rest steht über demselben Nenner.

So geht es am Beispiel

Schreibe $\mathsf{\frac{17}{6}}$ als gemischte Zahl.

Teile 17 durch 6: Der Quotient ist 2, der Rest 5.

$$\mathsf{17=2\cdot6+5}$$

Zwei vollständige Sechsergruppen ergeben zwei Ganze. Fünf Sechstel bleiben.

$$\mathsf{\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}}$$

Erklärung 04

Prüfen und Sonderfälle

1. 1

   Prüfen: Ist der Bruchanteil kleiner als 1?

2. 2

   Zurückwandeln und vergleichen.

3. 3

   Rest 0 als ganze Zahl schreiben.

Erst korrekt umwandeln, dann gegebenenfalls kürzen.

1. 01
   Aufgabe 1Gemischte Zahl · EinstiegZerlege $\mathsf{3\frac{2}{7}}$ in eine Summe aus ganzer Zahl und Bruch. Nenne die Anzahl ganzer Einheiten und die Anzahl der Siebtel im Rest getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{3\frac27}$

   Summe

   Ganze Einheiten

   Siebtel im Rest
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Schreibweise bezeichnet eine Summe:

      $$\mathsf{3\frac27=3+\frac27}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die 3 steht für drei ganze Einheiten. Der Bruch bezeichnet zwei weitere Siebtel.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Summe
      $\mathsf{3+\frac27}$
   2. Ganze Einheiten
      3
   3. Siebtel im Rest
      2
2. 02
   Aufgabe 2Gemischte Zahl · EinstiegSchreibe $\mathsf{4\frac{2}{5}}$ als Bruch. Zeige die Anzahl der Fünftel in den Ganzen und danach die Gesamtzahl der Fünftel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{4\frac25}$

   Fünftel in den Ganzen

   Fünftel insgesamt

   Bruch
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zähle die Fünftel in vier Ganzen.

      $$\mathsf{4\cdot5=20}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Addiere zwei Fünftel.

      $$\mathsf{20+2=22}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Teilgröße bleibt ein Fünftel.

      $$\mathsf{4\frac25=\frac{22}{5}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Fünftel in den Ganzen
      20
   2. Fünftel insgesamt
      22
   3. Bruch
      $\mathsf{\frac{22}{5}}$
3. 03
   Aufgabe 3Gemischte Zahl · StandardWandle $\mathsf{2\frac{5}{8}}$ und $\mathsf{5\frac{1}{3}}$ jeweils in einen Bruch um. Schreibe zu jeder Zahl eine Zählerrechnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{2\frac58}$; $\mathsf{5\frac13}$

   $\mathsf{2\frac58}$: Zählerrechnung

   $\mathsf{2\frac58}$: Bruch

   $\mathsf{5\frac13}$: Zählerrechnung

   $\mathsf{5\frac13}$: Bruch
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Berechne für die erste Zahl die Anzahl der Achtel.

      $$\mathsf{2\cdot8+5=21}$$

      $$\mathsf{2\frac58=\frac{21}{8}}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Berechne für die zweite Zahl die Anzahl der Drittel.

      $$\mathsf{5\cdot3+1=16}$$

      $$\mathsf{5\frac13=\frac{16}{3}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{2\frac58}$: Zählerrechnung
      $\mathsf{2 \cdot 8 + 5 = 21}$
   2. $\mathsf{2\frac58}$: Bruch
      $\mathsf{\frac{21}{8}}$
   3. $\mathsf{5\frac13}$: Zählerrechnung
      $\mathsf{5 \cdot 3 + 1 = 16}$
   4. $\mathsf{5\frac13}$: Bruch
      $\mathsf{\frac{16}{3}}$
4. 04
   Aufgabe 4Gemischte Zahl · StandardWandle $\mathsf{\frac{23}{4}}$ und $\mathsf{\frac{31}{6}}$ in gemischte Zahlen um. Gib jeweils Division mit Rest und gemischte Zahl getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{\frac{23}{4}}$; $\mathsf{\frac{31}{6}}$

   $\mathsf{\frac{23}{4}}$: Quotient

   $\mathsf{\frac{23}{4}}$: Rest

   $\mathsf{\frac{23}{4}}$: gemischte Zahl

   $\mathsf{\frac{31}{6}}$: Quotient

   $\mathsf{\frac{31}{6}}$: Rest

   $\mathsf{\frac{31}{6}}$: gemischte Zahl
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Bündle 23 Viertel zu Ganzen: Quotient 5, Rest 3.

      $$\mathsf{23=5\cdot4+3}$$

      $$\mathsf{\frac{23}{4}=5\frac34}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Bündle 31 Sechstel: Quotient 5, Rest 1.

      $$\mathsf{31=5\cdot6+1}$$

      $$\mathsf{\frac{31}{6}=5\frac16}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{\frac{23}{4}}$: Quotient
      5
   2. $\mathsf{\frac{23}{4}}$: Rest
      3
   3. $\mathsf{\frac{23}{4}}$: gemischte Zahl
      $\mathsf{5\frac{3}{4}}$
   4. $\mathsf{\frac{31}{6}}$: Quotient
      5
   5. $\mathsf{\frac{31}{6}}$: Rest
      1
   6. $\mathsf{\frac{31}{6}}$: gemischte Zahl
      $\mathsf{5\frac{1}{6}}$
5. 05
   Aufgabe 5Gemischte Zahl · StandardStelle $\mathsf{2\frac{2}{3}}$ mit drei gleich großen Rechtecken dar. Ein Rechteck ist ein Ganzes. Teile jedes Rechteck in drei gleich große senkrechte Streifen, schraffiere die passende Anzahl und beschrifte die Ganzen und den Rest. Schreibe danach den zugehörigen Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Drei gleich große Rechtecke $\mathsf{42\,\mathsf{mm}\times21\,\mathsf{mm}}$.

   Teilung, Schraffur und Beschriftung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Teilung, Schraffur und Beschriftung

   Bruch
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Teile jedes Rechteck in drei senkrechte Streifen von jeweils 14 mm Breite. Schraffiere zwei Rechtecke vollständig: Das sind sechs Drittel.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Schraffiere im dritten Rechteck zwei Streifen. Beschrifte die Ganzen und den Rest.

      $$\mathsf{6+2=8}$$

      $$\mathsf{2\frac23=\frac83}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Teilung, Schraffur und Beschriftung
      

      Alle Rechtecke in drei gleich große 14-mm-Streifen teilen; zwei ganze Rechtecke und zwei Streifen im dritten schraffieren; 1 Ganzes, 1 Ganzes, $\mathsf{\frac{2}{3}}$ beschriften.

   2. Bruch
      $\mathsf{\frac{8}{3}}$
6. 06
   Aufgabe 6Gemischte Zahl · StandardEin Lösungsversuch lautet: $\mathsf{3\frac25=\frac{3+2}{3+5}=\frac58}$. Beschreibe den Fehler und berechne den richtigen Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Die Zahl ist größer als 3.

   Fehler

   Richtige Rechnung

   Richtiger Bruch

   Größenkontrolle
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die drei Ganzen müssen zuerst in Fünftel umgerechnet werden. Der Nenner darf nicht um 3 erhöht werden.

      $$\mathsf{3\cdot5+2=17}$$

      $$\mathsf{3\frac25=\frac{17}{5}}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Das Ergebnis ist größer als 3. Der falsche Bruch $\mathsf{\frac58}$ ist kleiner als 1.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Fehler
      Ganze zuerst in Fünftel umrechnen. Der Nenner darf nicht um 3 erhöht werden.
   2. Richtige Rechnung
      $\mathsf{3\cdot5+2=17}$$\mathsf{3\frac25=\frac{17}{5}}$
   3. Richtiger Bruch
      $\mathsf{\frac{17}{5}}$
   4. Größenkontrolle
      $\mathsf{\frac{17}{5}}$ ist größer als 3. Der falsche Bruch $\mathsf{\frac{5}{8}}$ ist kleiner als 1.
7. 07
   Aufgabe 7Gemischte Zahl · StandardSchreibe $\mathsf{\frac{27}{9}}$ und $\mathsf{\frac{26}{8}}$ als ganze beziehungsweise vollständig gekürzte gemischte Zahl. Zeige die Division mit Rest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{\frac{27}{9}}$; $\mathsf{\frac{26}{8}}$

   $\mathsf{27:9}$: Division mit Rest

   $\mathsf{\frac{27}{9}}$: Ergebnis

   $\mathsf{26:8}$: Division mit Rest

   $\mathsf{\frac{26}{8}}$: gemischte Zahl vor Kürzen

   $\mathsf{\frac{26}{8}}$: gekürztes Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      27 geteilt durch 9 ergibt Quotient 3 und Rest 0.

      $$\mathsf{27=3\cdot9+0}$$

      $$\mathsf{\frac{27}{9}=3}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      26 geteilt durch 8 ergibt Quotient 3 und Rest 2.

      $$\mathsf{26=3\cdot8+2}$$

      $$\mathsf{\frac{26}{8}=3\frac28}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Kürze den Bruchanteil durch 2.

      $$\mathsf{\frac28=\frac14}$$

      $$\mathsf{3\frac28=3\frac14}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{27:9}$: Division mit Rest
      27 geteilt durch 9: Quotient 3, Rest 0.$\mathsf{27=3\cdot9+0}$
   2. $\mathsf{\frac{27}{9}}$: Ergebnis
      3
   3. $\mathsf{26:8}$: Division mit Rest
      26 geteilt durch 8: Quotient 3, Rest 2.$\mathsf{26=3\cdot8+2}$
   4. $\mathsf{\frac{26}{8}}$: gemischte Zahl vor Kürzen
      $\mathsf{3\frac{2}{8}}$
   5. $\mathsf{\frac{26}{8}}$: gekürztes Ergebnis
      $\mathsf{3\frac{1}{4}}$
8. 08
   Aufgabe 8Gemischte Zahl · TransferEin Messgefäß enthält $\mathsf{\frac{11}{4}}$ Liter Wasser. Gib die Menge als gemischte Zahl an. Wie viele volle 1-Liter-Flaschen lassen sich daraus füllen und wie viel Wasser bleibt übrig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{\frac{11}{4}}$ l; jede Flasche fasst 1 l; keine Verluste.

   Division mit Rest

   Menge als gemischte Zahl mit Einheit

   Volle Flaschen

   Restmenge mit Einheit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      11 geteilt durch 4 ergibt Quotient 2 und Rest 3.

      $$\mathsf{11=2\cdot4+3}$$

      $$\mathsf{\frac{11}{4}=2\frac34}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Menge beträgt $\mathsf{2\frac34}$ Liter. Zwei volle 1-Liter-Flaschen benötigen 2 Liter. Übrig bleiben $\mathsf{\frac34}$ Liter.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Division mit Rest
      11 geteilt durch 4: Quotient 2, Rest 3.$\mathsf{11=2\cdot4+3}$
   2. Menge als gemischte Zahl mit Einheit
      $\mathsf{2\frac{3}{4}}$ l
   3. Volle Flaschen
      2
   4. Restmenge mit Einheit
      $\mathsf{\frac{3}{4}}$ l
9. 09
   Aufgabe 9Gemischte Zahl · TransferEin Band ist $\mathsf{3\frac{3}{4}}$ m lang. Es wird ohne Verschnitt in Stücke von jeweils $\mathsf{\frac{1}{4}}$ m geteilt. Wie viele Stücke entstehen? Wandle zuerst die Gesamtlänge in Viertelmeter um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Bandlänge $\mathsf{3\frac34}$ m; Stücklänge $\mathsf{\frac14}$ m; kein Verschnitt.

   Zählerrechnung

   Gesamtlänge als Bruch mit Einheit

   Stückzahl
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Zähle die Viertelmeter in der Gesamtlänge.

      $$\mathsf{3\cdot4+3=15}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Länge beträgt $\mathsf{\frac{15}{4}}$ m, also 15 Viertelmeter. Jedes Stück ist genau einen Viertelmeter lang. Es entstehen 15 Stücke.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zählerrechnung
      $\mathsf{3 \cdot 4 + 3 = 15}$
   2. Gesamtlänge als Bruch mit Einheit
      $\mathsf{\frac{15}{4}}$ m
   3. Stückzahl
      15
10. 10
    Aufgabe 10Gemischte Zahl · TransferWandle $\mathsf{\frac{29}{10}}$ in eine gemischte Zahl um. Prüfe dein Ergebnis durch Rückumwandlung und nenne die beiden benachbarten ganzen Zahlen, zwischen denen der Wert liegt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

    Gegeben

    • $\mathsf{\frac{29}{10}}$

    Division mit Rest

    Gemischte Zahl

    Rückumwandlung

    Untere ganze Zahl

    Obere ganze Zahl
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

       29 geteilt durch 10 ergibt Quotient 2 und Rest 9.

       $$\mathsf{29=2\cdot10+9}$$

       $$\mathsf{\frac{29}{10}=2\frac9{10}}$$
    2. Schritt 2 · Erklärung

       Prüfe durch Rückumwandlung.

       $$\mathsf{\frac{2\cdot10+9}{10}=\frac{29}{10}}$$
    3. Schritt 3 · Erklärung

       Der Bruchanteil liegt zwischen 0 und 1.

       $$\mathsf{0<\frac9{10}<1}$$

       $$\mathsf{2<2\frac9{10}<3}$$

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Division mit Rest
       29 geteilt durch 10: Quotient 2, Rest 9.$\mathsf{29=2\cdot10+9}$
    2. Gemischte Zahl
       $\mathsf{2\frac{9}{10}}$
    3. Rückumwandlung
       $\mathsf{\frac{2\cdot10+9}{10}=\frac{29}{10}}$
    4. Untere ganze Zahl
       2
    5. Obere ganze Zahl
       3