Zahlenlehre · Erklären & üben

Zahlenmengen

Zahlen lassen sich nach ihren Eigenschaften ordnen. Hier lernst du $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ kennen, unterscheidest rationale und irrationale Zahlen und prüfst Zugehörigkeiten. In diesem Heft enthält $\mathsf{\mathbb N}$ die 0.

Zu den Aufgaben

Schritt für Schritt

Die kleinste Menge finden

Ausdruck vereinfachen.
Mengen in der festgelegten Reihenfolge prüfen.
Für alle Zugehörigkeiten auch übergeordnete Mengen angeben.

So geht es am Beispiel

Ordne $\mathsf{\frac{-18}{6}}$ ein: kleinste Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ und alle Zugehörigkeiten aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{I}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ .

Vereinfache zuerst den Bruch.

\mathsf{\frac{-18}{6}=-3}

Die −3 ist nicht natürlich, aber ganz. Die kleinste Menge ist deshalb $\mathsf{\mathbb Z}$ .

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch schreiben:

\mathsf{-3=\frac{-3}{1}}

Die Zahl ist auch rational und reell. Alle Zugehörigkeiten sind $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .

Der Bruch minus achtzehn Sechstel wird zu minus drei und anschließend Z, Q und R zugeordnet.

Erklärung 01

Mengen und unsere Null-Konvention

Eine Zahlenmenge fasst Zahlen mit einer gemeinsamen Eigenschaft zusammen. Das Zeichen $\mathsf{\in}$ bedeutet „ist Element von“. In diesem Heft gilt:

\mathsf{\mathbb N=\{0,1,2,3,\dots\}}

Manche Bücher beginnen $\mathsf{\mathbb N}$ bei 1. Deshalb muss die Konvention immer genannt werden. Die Menge $\mathsf{\mathbb Z}$ enthält alle ganzen Zahlen:

\mathsf{\mathbb Z=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}}

Konvention für $\mathsf{\mathbb N}$ lesen.
Zahl zunächst vereinfachen.
Definition der gesuchten Menge prüfen.

Hier gehört 0 zu $\mathsf{\mathbb N}$ . Eine Zahl kann gleichzeitig zu mehreren Mengen gehören.

N liegt in Z, Z in Q und Q in R. Der irrationale Bereich I liegt innerhalb R außerhalb Q.

Erklärung 02

Rationale und irrationale Zahlen

$\mathsf{\mathbb Q}$ enthält alle Zahlen, die sich als $\mathsf{\frac ab}$ mit ganzen Zahlen $\mathsf{a}$ und $\mathsf{b\ne0}$ schreiben lassen. Dazu gehören ganze Zahlen, endliche und periodische Dezimalzahlen.

$\mathsf{\mathbb R}$ umfasst $\mathsf{\mathbb Q}$ und die irrationalen Zahlen. Irrationale Zahlen wie $\mathsf{\sqrt2}$ und $\mathsf{\pi}$ haben keine solche Bruchdarstellung. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und ist nicht periodisch. Wir schreiben:

\mathsf{I=\mathbb R\setminus\mathbb Q}

Dass $\mathsf{\sqrt2}$ und $\mathsf{\pi}$ irrational sind, verwenden wir hier als bekanntes Ergebnis. Ein Beweis ist nicht Gegenstand dieses Hefts. Eine Wurzel muss aber nicht irrational sein:

\mathsf{\sqrt9=3}

Prüfen, ob sich der Ausdruck vereinfachen lässt.
Bei endlicher Dezimalzahl eine Bruchdarstellung bilden.
Bekannte irrationale Zahlen von Näherungswerten unterscheiden.

Eine Wurzel ist nicht automatisch irrational. Ein endlicher Dezimalwert wie 3,14 ist rational, auch wenn er $\mathsf{\pi}$ annähert.

So geht es am Beispiel

Ordne 0,375 ein.

Schreibe den endlichen Dezimalwert als Bruch mit Nenner 1000 und kürze.

\mathsf{0{,}375=\frac{375}{1000}=\frac38}

Der Bruch ist nicht ganzzahlig, aber ein Quotient ganzer Zahlen. Die kleinste passende Menge ist $\mathsf{\mathbb Q}$ ; die Zahl gehört zu $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{\sqrt{16}}$ und $\mathsf{\sqrt{2}}$ .

Vereinfache die erste Wurzel.

\mathsf{\sqrt{16}=4}

Die 4 ist natürlich. Dagegen ist $\mathsf{\sqrt2}$ irrational und reell. Aus der Auswahl $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ ist für $\mathsf{\sqrt2}$ die kleinste Menge $\mathsf{\mathbb R}$ . Zusätzlich gehört sie zu $\mathsf{I}$ .

Die Wurzel aus sechzehn ist natürlich; die Wurzel aus zwei irrational.

Erklärung 03

Mengen liegen ineinander

\mathsf{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}

Das Zeichen $\mathsf{\subsetneq}$ heißt „echte Teilmenge“: Alle Elemente links liegen auch rechts, aber rechts gibt es zusätzliche Elemente.

$\mathsf{-1}$ liegt in $\mathsf{\mathbb Z}$ , aber nicht in $\mathsf{\mathbb N}$ . Der Bruch $\mathsf{\frac12}$ liegt in $\mathsf{\mathbb Q}$ , aber nicht in $\mathsf{\mathbb Z}$ . Die Zahl $\mathsf{\sqrt2}$ liegt in $\mathsf{\mathbb R}$ , aber nicht in $\mathsf{\mathbb Q}$ .

Auch $\mathsf{I}$ ist eine echte Teilmenge von $\mathsf{\mathbb R}$ . Die Mengen $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{I}$ haben kein gemeinsames Element:

\mathsf{\mathbb Q\cap I=\varnothing}

Zusammen ergeben sie alle reellen Zahlen:

\mathsf{\mathbb Q\cup I=\mathbb R}

$\mathsf{I}$ ist keine Erweiterung von $\mathsf{\mathbb Q}$ .

Alle Elemente links müssen rechts zulässig sein.
Eine Zahl nennen, die nur in der größeren Menge liegt.
Elementzeichen $\mathsf{\in}$ und Teilmengenzeichen $\mathsf{\subsetneq}$ auseinanderhalten.

$\mathsf{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}$ ; $\mathsf{\mathbb Q\cap I=\varnothing}$ und $\mathsf{\mathbb Q\cup I=\mathbb R}$ .

Erklärung 04

Die kleinste Menge finden

Bei „kleinste Menge“ muss die Auswahl feststehen. Ohne weiteren Zusatz ist hier die kleinste passende Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ gemeint. Prüfe in dieser Reihenfolge und halte beim ersten Treffer an.

Bei „alle Zugehörigkeiten“ prüfst du jede angegebene Menge. Ist $\mathsf{I}$ zusätzlich aufgeführt, gehört eine irrationale Zahl zu $\mathsf{I}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .

Ausdruck vereinfachen.
Mengen in der festgelegten Reihenfolge prüfen.
Für alle Zugehörigkeiten auch übergeordnete Mengen angeben.

Kleinste Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ : zuerst $\mathsf{\mathbb N}$ prüfen, danach $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache zuerst den Bruch.

\mathsf{\frac{-18}{6}=-3}

Die −3 ist nicht natürlich, aber ganz. Die kleinste Menge ist deshalb $\mathsf{\mathbb Z}$ .

Jede ganze Zahl lässt sich als Bruch schreiben:

\mathsf{-3=\frac{-3}{1}}

Die Zahl ist auch rational und reell. Alle Zugehörigkeiten sind $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zahlenmengen · EinstiegNenne für 0, 8 und $\mathsf{-6}$ jeweils alle passenden Mengen aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{I}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
$\mathsf{\mathbb N}$ enthält hier 0.
0: Mengen
8: Mengen
$\mathsf{-6}$ : Mengen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  0 und 8 sind nach der Heft-Konvention natürlich. Deshalb gehören beide zu $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  −6 ist ganz, aber nicht natürlich. Die Zahl gehört zu $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ . Keine der drei Zahlen ist irrational.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 0: Mengen $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$
2. 8: Mengen $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$
3. $\mathsf{-6}$ : Mengen $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$
02
Aufgabe 2Zahlenmengen · EinstiegBestimme für $\mathsf{\frac{14}{7}}$ , $\mathsf{\frac{-15}{5}}$ und $\mathsf{\frac{7}{4}}$ jeweils die kleinste passende Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ . Vereinfache zuerst.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
$\mathsf{\frac{14}{7}}$ ; $\mathsf{\frac{-15}{5}}$ ; $\mathsf{\frac74}$
$\mathsf{\frac{14}{7}}$ : vereinfachter Wert
$\mathsf{\frac{14}{7}}$ : kleinste Menge
$\mathsf{\frac{-15}{5}}$ : vereinfachter Wert
$\mathsf{\frac{-15}{5}}$ : kleinste Menge
$\mathsf{\frac74}$ : vereinfachter Wert
$\mathsf{\frac74}$ : kleinste Menge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vereinfache zuerst jeden Ausdruck.
  $\mathsf{\frac{14}{7}=2}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die 2 ist natürlich: kleinste Menge $\mathsf{\mathbb N}$ .
  $\mathsf{\frac{-15}{5}=-3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die −3 ist ganz und nicht natürlich: kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Z}$ .
  $\mathsf{\frac74=1{,}75}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Wert ist rational und nicht ganzzahlig: kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. $\mathsf{\frac{14}{7}}$ : vereinfachter Wert2
2. $\mathsf{\frac{14}{7}}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb N}$
3. $\mathsf{\frac{-15}{5}}$ : vereinfachter Wert $\mathsf{-3}$
4. $\mathsf{\frac{-15}{5}}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Z}$
5. $\mathsf{\frac74}$ : vereinfachter Wert1,75
6. $\mathsf{\frac74}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$
03
Aufgabe 3Zahlenmengen · StandardSchreibe 0,6 und 0,272727… als vollständig gekürzte Brüche. Bei der zweiten Zahl wiederholt sich die Ziffernfolge 27 ohne Ende. Nenne jeweils die kleinste Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
Periode 27; $\mathsf{100\cdot0{,}\overline{27}=27{,}\overline{27}}$
0,6: gekürzter Bruch
0,6: kleinste Menge
Periodischer Wert: Rechenweg
Periodischer Wert: gekürzter Bruch
Periodischer Wert: kleinste Menge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe die endliche Dezimalzahl als Bruch und kürze.
  $\mathsf{0{,}6=\frac6{10}=\frac35}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die kleinste Menge ist $\mathsf{\mathbb Q}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für die periodische Zahl setze:
  $\mathsf{x=0{,}\overline{27}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Verschiebe das Komma um zwei Stellen, also um eine vollständige Periode.
  $\mathsf{100x=27{,}\overline{27}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Subtrahiere die ursprüngliche Zahl. Die unendlichen Nachkommastellen heben sich auf.
  $\mathsf{100x-x=27}$
  $\mathsf{99x=27}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Teile durch 99 und kürze durch 9.
  $\mathsf{x=\frac{27}{99}=\frac3{11}}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Auch hier ist die kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. 0,6: gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{3}{5}}$
2. 0,6: kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$
3. Periodischer Wert: Rechenweg $\mathsf{x=0{,}\overline{27}}$ $\mathsf{100x-x=27}$ $\mathsf{99x=27}$ $\mathsf{x=\frac{27}{99}=\frac3{11}}$
4. Periodischer Wert: gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{3}{11}}$
5. Periodischer Wert: kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$
04
Aufgabe 4Zahlenmengen · StandardBestimme jeweils die kleinste Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ : $\mathsf{\sqrt{25}}$ ; $\mathsf{-\sqrt{9}}$ ; $\mathsf{\sqrt{2}}$ ; $\mathsf{\pi}$ ; 3,14.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
$\mathsf{\sqrt2}$ und $\mathsf{\pi}$ sind irrational.
$\mathsf{\sqrt{25}}$
$\mathsf{-\sqrt9}$
$\mathsf{\sqrt2}$
$\mathsf{\pi}$
3,14
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vereinfache die Wurzeln aus Quadratzahlen.
  $\mathsf{\sqrt{25}=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die 5 gehört bereits zu $\mathsf{\mathbb N}$ .
  $\mathsf{-\sqrt9=-3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die −3 gehört als kleinste Menge zu $\mathsf{\mathbb Z}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt2}$ und $\mathsf{\pi}$ sind irrational. Ihre kleinste Menge aus der vorgegebenen Auswahl ist $\mathsf{\mathbb R}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der endliche Näherungswert hat eine Bruchdarstellung:
  $\mathsf{3{,}14=\frac{314}{100}=\frac{157}{50}}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Seine kleinste Menge ist $\mathsf{\mathbb Q}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. $\mathsf{\sqrt{25}}$ $\mathsf{\mathbb N}$
2. $\mathsf{-\sqrt9}$ $\mathsf{\mathbb Z}$
3. $\mathsf{\sqrt2}$ $\mathsf{\mathbb R}$
4. $\mathsf{\pi}$ $\mathsf{\mathbb R}$
5. 3,14 $\mathsf{\mathbb Q}$
05
Aufgabe 5Zahlenmengen · StandardVervollständige $\mathsf{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}$ : Nenne für jeden Übergang eine Zahl, die rechts, aber nicht links liegt, und begründe kurz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
Drei Übergänge: $\mathsf{\mathbb N\to\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Z\to\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb Q\to\mathbb R}$
$\mathsf{\mathbb N\to\mathbb Z}$ : Beispielzahl
$\mathsf{\mathbb N\to\mathbb Z}$ : Begründung
$\mathsf{\mathbb Z\to\mathbb Q}$ : Beispielzahl
$\mathsf{\mathbb Z\to\mathbb Q}$ : Begründung
$\mathsf{\mathbb Q\to\mathbb R}$ : Beispielzahl
$\mathsf{\mathbb Q\to\mathbb R}$ : Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für $\mathsf{\mathbb N\subsetneq\mathbb Z}$ eignet sich −1: Die Zahl ist ganz, aber wegen ihres negativen Vorzeichens nicht natürlich.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für $\mathsf{\mathbb Z\subsetneq\mathbb Q}$ eignet sich $\mathsf{\frac12}$ : Der Bruch ist rational, aber nicht ganzzahlig.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für $\mathsf{\mathbb Q\subsetneq\mathbb R}$ eignet sich $\mathsf{\sqrt2}$ : Die Zahl ist reell, aber irrational.
Ergebnisse & Teilantworten
1. $\mathsf{\mathbb N\to\mathbb Z}$ : Beispielzahl $\mathsf{-1}$
2. $\mathsf{\mathbb N\to\mathbb Z}$ : Begründung $\mathsf{-1}$ ist ganz und negativ, also nicht natürlich.
3. $\mathsf{\mathbb Z\to\mathbb Q}$ : Beispielzahl $\mathsf{\frac{1}{2}}$
4. $\mathsf{\mathbb Z\to\mathbb Q}$ : Begründung $\mathsf{\frac{1}{2}}$ ist rational, aber nicht ganzzahlig.
5. $\mathsf{\mathbb Q\to\mathbb R}$ : Beispielzahl $\mathsf{\sqrt{2}}$
6. $\mathsf{\mathbb Q\to\mathbb R}$ : Begründung $\mathsf{\sqrt{2}}$ ist reell, aber irrational.
06
Aufgabe 6Zahlenmengen · StandardTrage 3, $\mathsf{-2}$ , $\mathsf{\frac{3}{4}}$ und $\mathsf{\sqrt{2}}$ in die jeweils kleinste Region der vorgegebenen Mengenskizze ein. Zeichne zu jeder Zahl eine kurze Verbindungslinie in ihre Region.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
Regionen $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z\setminus\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Q\setminus\mathbb Z}$ , $\mathsf{I=\mathbb R\setminus\mathbb Q}$
Mengenskizze
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Mengenskizze
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zeichne die Verbindung von 3 in die Region $\mathsf{\mathbb N}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ordne −2 der Region $\mathsf{\mathbb Z}$ außerhalb von $\mathsf{\mathbb N}$ zu.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ordne $\mathsf{\frac34}$ der Region $\mathsf{\mathbb Q}$ außerhalb von $\mathsf{\mathbb Z}$ zu.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Ordne $\mathsf{\sqrt2}$ der Region $\mathsf{I}$ innerhalb von $\mathsf{\mathbb R}$ zu.
Ergebnis
1. Mengenskizze
  $\mathsf{3\longrightarrow\mathbb N}$
  $\mathsf{-2\longrightarrow\mathbb Z\setminus\mathbb N}$
  $\mathsf{\frac34\longrightarrow\mathbb Q\setminus\mathbb Z}$
  $\mathsf{\sqrt2\longrightarrow I}$
07
Aufgabe 7Zahlenmengen · StandardBeurteile: a) Jede ganze Zahl ist rational. b) Jede reelle Zahl ist rational. Begründe a) allgemein und gib zu b) ein Gegenbeispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
$\mathsf{\mathbb Z}$ und $\mathsf{\mathbb Q}$ wie definiert.
a) Urteil
a) Allgemeine Begründung
b) Urteil
b) Gegenbeispiel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  a) Die Aussage ist wahr. Jede ganze Zahl kann als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden:
  $\mathsf{z=\frac z1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  b) Die Aussage ist falsch. Als Gegenbeispiel dient $\mathsf{\sqrt2}$ : Diese Zahl ist reell und nicht rational.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Urteilwahr
2. a) Allgemeine BegründungJede ganze Zahl z lässt sich als $\mathsf{\frac z1}$ schreiben.
3. b) Urteilfalsch
4. b) Gegenbeispiel $\mathsf{\sqrt{2}}$
08
Aufgabe 8Zahlenmengen · TransferEin Buch verwendet $\mathsf{\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}}$ . Welche Antwort für die kleinste Menge von 0 aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ gilt dort? Vergleiche mit unserer Heft-Konvention.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
Fremdbuch: $\mathsf{\mathbb N}$ ohne 0; Heft: $\mathsf{\mathbb N}$ mit 0.
Im Buch
In diesem Heft
Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Im Buch gehört 0 nicht zu $\mathsf{\mathbb N}$ . Die kleinste passende Menge ist dort $\mathsf{\mathbb Z}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  In diesem Heft gehört 0 bereits zu $\mathsf{\mathbb N}$ . Deshalb ist hier $\mathsf{\mathbb N}$ die kleinste passende Menge.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Im Buch $\mathsf{\mathbb Z}$
2. In diesem Heft $\mathsf{\mathbb N}$
3. GrundIm Buch enthält $\mathsf{\mathbb N}$ die 0 nicht; in diesem Heft enthält $\mathsf{\mathbb N}$ die 0.
09
Aufgabe 9Zahlenmengen · TransferEin Kreisumfang wird mit 6,28 cm angenähert. Ist der angegebene Zahlenwert 6,28 rational oder irrational? Schreibe ihn als gekürzten Bruch und erkläre, warum die Nähe zu $\mathsf{2\pi}$ daran nichts ändert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
Gefragt ist der endliche Zahlenwert 6,28, nicht $\mathsf{2\pi}$ .
Gekürzter Bruch
Rational oder irrational?
Begründung zur Näherung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe die endliche Dezimalzahl als Bruch und kürze durch 4.
  $\mathsf{6{,}28=\frac{628}{100}=\frac{157}{25}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der angegebene Wert ist rational. Dass er $\mathsf{2\pi}$ annähert, ändert seine Bruchdarstellung nicht. Der Näherungswert ist nicht mit dem exakten Ausdruck $\mathsf{2\pi}$ gleichzusetzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gekürzter Bruch $\mathsf{\frac{157}{25}}$
2. Rational oder irrational?rational
3. Begründung zur Näherung6,28 ist ein endlicher Dezimalwert und als Bruch darstellbar. Ein Näherungswert ist nicht der exakte Wert $\mathsf{2\pi}$ .
10
Aufgabe 10Zahlenmengen · TransferGib für $\mathsf{-7}$ , $\mathsf{\frac{5}{8}}$ und $\mathsf{\sqrt{3}}$ jeweils die kleinste passende Menge aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ und zusätzlich alle Zugehörigkeiten aus $\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{I}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegeben
$\mathsf{\sqrt3}$ ist irrational.
$\mathsf{-7}$ : kleinste Menge
$\mathsf{-7}$ : alle Zugehörigkeiten
$\mathsf{\frac58}$ : kleinste Menge
$\mathsf{\frac58}$ : alle Zugehörigkeiten
$\mathsf{\sqrt3}$ : kleinste Menge
$\mathsf{\sqrt3}$ : alle Zugehörigkeiten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  −7 ist ganz, rational und reell. Die kleinste Menge ist $\mathsf{\mathbb Z}$ ; alle Zugehörigkeiten sind $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{\frac58}$ ist rational, aber nicht ganz. Die kleinste Menge ist $\mathsf{\mathbb Q}$ ; alle Zugehörigkeiten sind $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{\sqrt3}$ ist irrational und reell. Aus der vorgegebenen Auswahl ist $\mathsf{\mathbb R}$ die kleinste Menge. Alle Zugehörigkeiten sind $\mathsf{I}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. $\mathsf{-7}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Z}$
2. $\mathsf{-7}$ : alle Zugehörigkeiten $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$
3. $\mathsf{\frac58}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb Q}$
4. $\mathsf{\frac58}$ : alle Zugehörigkeiten $\mathsf{\mathbb Q}$ , $\mathsf{\mathbb R}$
5. $\mathsf{\sqrt3}$ : kleinste Menge $\mathsf{\mathbb R}$
6. $\mathsf{\sqrt3}$ : alle Zugehörigkeiten $\mathsf{I}$ , $\mathsf{\mathbb R}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

$\mathsf{\mathbb N}$ , $\mathsf{\mathbb Z}$ , $\mathsf{\mathbb Q}$ und $\mathsf{\mathbb R}$ anhand ihrer Definition unterscheiden.
Die hier verwendete N-Konvention ausdrücklich anwenden.
Irrationale Zahlen als $\mathsf{\mathbb R}$ ohne $\mathsf{\mathbb Q}$ erkennen.
Kleinste Menge aus einer angegebenen Auswahl und alle Zugehörigkeiten unterscheiden.
Echte Teilmengenbeziehungen mit Gegenbeispielen begründen.

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