Negative Zahlen

Erklärung 01

Zahlen unter null

1. 1

   Nullpunkt bestimmen.

2. 2

   Schrittweite prüfen.

3. 3

   Positionen von links nach rechts vergleichen.

Links ist kleiner, rechts ist größer.

Erklärung 02

Zwei Aufgaben für das Minuszeichen

1. 1

   Zahlen samt Vorzeichen lesen.

2. 2

   Rechenzeichen zwischen den Zahlen benennen.

3. 3

   Klammern erst mit einer passenden Rechenregel auflösen.

Rechenzeichen verbindet Zahlen; Vorzeichen gehört zur Zahl.

Erklärung 03

Addieren und Subtrahieren

1. 1

   Subtraktion gegebenenfalls in Addition der Gegenzahl umwandeln.

2. 2

   Richtung und Strecke festlegen.

3. 3

   Ergebnis und Vorzeichen prüfen.

Eine negative Zahl subtrahieren heißt ihre positive Gegenzahl addieren.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{-4 - (-7)}$.

Addiere statt der negativen Zahl ihre Gegenzahl.

$$\mathsf{-4-(-7)=-4+7}$$

Beginne bei −4 und gehe sieben Einheiten nach rechts. Nach vier Schritten erreichst du 0, nach drei weiteren 3.

$$\mathsf{-4+7=3}$$

Erklärung 04

Warum minus mal minus plus ergibt

1. 1

   Vorzeichen der Faktoren prüfen.

2. 2

   Positive Abstände multiplizieren.

3. 3

   Passendes Vorzeichen einsetzen.

Gleiche Vorzeichen: positives Produkt. Verschiedene Vorzeichen: negatives Produkt. Ein Faktor 0: Produkt 0.

Erklärung 05

Division rückwärts prüfen

1. 1

   Divisor auf 0 prüfen.

2. 2

   Beträge dividieren und Vorzeichen bestimmen.

3. 3

   Ergebnis durch Multiplikation prüfen.

Prüfung: Multipliziere Divisor und Quotient. Das Produkt muss den Dividend ergeben. Der Divisor darf nicht 0 sein.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-5) \cdot (-6)}$ und prüfe $\mathsf{30 : (-6)}$.

Zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. Multipliziere ihre Beträge.

$$\mathsf{5\cdot6=30}$$

$$\mathsf{(-5)\cdot(-6)=30}$$

Bestimme den Quotienten über die Umkehraufgabe.

$$\mathsf{30:(-6)=-5}$$

$$\mathsf{(-6)\cdot(-5)=30}$$

Erklärung 06

Reihenfolge bewahren

1. 1

   Innere Klammer berechnen.

2. 2

   Punktrechnung ausführen.

3. 3

   Strichrechnung ausführen und Ergebnis auf Plausibilität prüfen.

Klammern vor Punkt vor Strich.

1. 01
   Aufgabe 1Negative Zahlen · EinstiegOrdne $\mathsf{-9}$, 2, $\mathsf{-1}$, 0 und $\mathsf{-5}$ der Größe nach, beginnend mit der kleinsten Zahl. Setze außerdem $\mathsf{<}$ oder $\mathsf{>}$ ein: $\mathsf{-9\;\_\_\;-5}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Fünf ganze Zahlen.

   Geordnete Folge

   Vergleich
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Links von 0 liegen −9, −5 und −1 in dieser Reihenfolge. Danach folgen 0 und 2.

      $$\mathsf{-9<-5<-1<0<2}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Damit gilt auch:

      $$\mathsf{-9<-5}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Geordnete Folge
      $\mathsf{-9 < -5 < -1 < 0 < 2}$
   2. Vergleich
      $\mathsf{-9 < -5}$
2. 02
   Aufgabe 2Negative Zahlen · EinstiegKennzeichne in $\mathsf{6 - (-2)}$ und $\mathsf{(-3) + 5}$ jedes Minuszeichen als V (Vorzeichen) oder R (Rechenzeichen). Berechne beide Terme.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{6-(-2)}$; $\mathsf{(-3)+5}$

   Erster Term: Zeichenrollen

   Erster Term: Ergebnis

   Zweiter Term: Zeichenrolle

   Zweiter Term: Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Bei $\mathsf{6-(-2)}$ ist das erste Minus das Rechenzeichen R und das zweite das Vorzeichen V.

      $$\mathsf{6-(-2)=6+2=8}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Bei $\mathsf{(-3)+5}$ ist das Minus ein Vorzeichen V.

      $$\mathsf{-3+5=2}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erster Term: Zeichenrollen
      R, V
   2. Erster Term: Ergebnis
      8
   3. Zweiter Term: Zeichenrolle
      V
   4. Zweiter Term: Ergebnis
      2
3. 03
   Aufgabe 3Negative Zahlen · StandardBerechne a) $\mathsf{-7 + (-4)}$, b) $\mathsf{-9 + 14}$, c) $\mathsf{6 + (-10)}$. Notiere jeweils einen Zwischenschritt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Drei Additionen.

   a) Zwischenschritt

   a) Ergebnis

   b) Zwischenschritt

   b) Ergebnis

   c) Zwischenschritt

   c) Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      a) Beide Summanden sind negativ. Addiere die Abstände und setze ein Minus davor.

      $$\mathsf{-7+(-4)=-(7+4)=-11}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      b) Der positive Summand hat den größeren Abstand. Die Differenz ist positiv.

      $$\mathsf{-9+14=14-9=5}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      c) Der negative Summand hat den größeren Abstand. Die Differenz erhält ein Minus.

      $$\mathsf{6+(-10)=-(10-6)=-4}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a) Zwischenschritt
      $\mathsf{-(7+4)}$
   2. a) Ergebnis
      $\mathsf{-11}$
   3. b) Zwischenschritt
      $\mathsf{14 - 9}$
   4. b) Ergebnis
      5
   5. c) Zwischenschritt
      $\mathsf{-(10-6)}$
   6. c) Ergebnis
      $\mathsf{-4}$
4. 04
   Aufgabe 4Negative Zahlen · StandardZeichne auf der vorgegebenen Zahlengeraden den Rechenpfeil zu $\mathsf{-3 + 6}$. Markiere und beschrifte Start, Endpunkt und Änderung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Skala −5 bis 5; Schrittweite 1.

   Rechenpfeil und Beschriftung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Rechenpfeil und Beschriftung

   Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Beginne bei −3. Zeichne den Pfeil sechs Einheiten nach rechts bis 3. Beschrifte Start, Ende und die Änderung +6.

      $$\mathsf{-3+6=3}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Rechenpfeil und Beschriftung
      

      Start $\mathsf{-3}$, Pfeil sechs Einheiten nach rechts, Änderung $\mathsf{+6}$, Ende 3

   2. Ergebnis
      3
5. 05
   Aufgabe 5Negative Zahlen · StandardAm Morgen sind es $\mathsf{-6}$ °C. Bis mittags steigt die Temperatur um 9 °C, danach sinkt sie um 5 °C. Berechne beide Temperaturen und die Änderung vom Morgen bis zum Schluss.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Start −6 °C; Änderungen +9 °C und −5 °C.

   Mittags: Rechnung

   Mittags: Temperatur in °C

   Danach: Rechnung

   Danach: Temperatur in °C

   Gesamtänderung in °C
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Addiere den Temperaturanstieg am Vormittag.

      $$\mathsf{-6+9=3}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Mittags sind es 3 °C. Subtrahiere anschließend den Rückgang.

      $$\mathsf{3-5=-2}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Danach sind es −2 °C. Vergleiche Anstieg und Rückgang für die gesamte Änderung.

      $$\mathsf{9-5=4}$$
   4. Schritt 4 · Erklärung

      Zum Schluss ist es 4 °C wärmer als am Morgen.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Mittags: Rechnung
      $\mathsf{-6 + 9 = 3}$
   2. Mittags: Temperatur in °C
      3
   3. Danach: Rechnung
      $\mathsf{3 - 5 = -2}$
   4. Danach: Temperatur in °C
      $\mathsf{-2}$
   5. Gesamtänderung in °C
      $\mathsf{+4}$
6. 06
   Aufgabe 6Negative Zahlen · StandardJemand behauptet: $\mathsf{-5 - (-8) = -13}$. Erkläre den Fehler, schreibe die richtige Addition und berechne sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Falsches Ergebnis −13.

   Fehler erklären

   Richtige Addition

   Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Beim Subtrahieren von −8 musst du die Gegenzahl +8 addieren. Im falschen Versuch wurde stattdessen −8 addiert.

      $$\mathsf{-5-(-8)=-5+8}$$

      $$\mathsf{-5+8=3}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Fehler erklären
      Die Subtraktion verlangt die Gegenzahl von $\mathsf{-8}$, also $\mathsf{+8}$. Es wurde stattdessen $\mathsf{-8}$ addiert.
   2. Richtige Addition
      $\mathsf{-5 + 8}$
   3. Ergebnis
      3
7. 07
   Aufgabe 7Negative Zahlen · StandardBerechne a) $\mathsf{4\cdot(-7)}$, b) $\mathsf{(-4)\cdot(-7)}$, c) $\mathsf{(-4)\cdot0}$. Erkläre bei b) mit $\mathsf{0=[4+(-4)]\cdot(-7)}$, warum das Ergebnis positiv sein muss.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Distributivgesetz ist erlaubt.

   a) Ergebnis

   b) Ergebnis

   c) Ergebnis

   b) Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      a) Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Produkt.

      $$\mathsf{4\cdot(-7)=-28}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      b) Nutze das Distributivgesetz.

      $$\mathsf{0=[4+(-4)]\cdot(-7)}$$

      $$\mathsf{0=-28+(-4)\cdot(-7)}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Das zweite Produkt muss +28 sein, um −28 auszugleichen.

      $$\mathsf{(-4)\cdot(-7)=28}$$
   4. Schritt 4 · Erklärung

      c) Jeder Faktor 0 macht das Produkt 0.

      $$\mathsf{(-4)\cdot0=0}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a) Ergebnis
      $\mathsf{-28}$
   2. b) Ergebnis
      28
   3. c) Ergebnis
      0
   4. b) Begründung
      $\mathsf{0=[4+(-4)]\cdot(-7)}$$\mathsf{0=-28+(-4)\cdot(-7)}$Das zweite Produkt muss +28 sein, um −28 auszugleichen.
8. 08
   Aufgabe 8Negative Zahlen · TransferBerechne a) $\mathsf{(-42) : 7}$ und b) $\mathsf{(-42) : (-7)}$. Schreibe zu beiden eine Multiplikationsprobe. Beurteile c) $\mathsf{12 : 0}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Dividend −42; Divisoren 7 und −7.

   a) Quotient

   a) Multiplikationsprobe

   b) Quotient

   b) Multiplikationsprobe

   c) Urteil

   c) Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      a) Verschiedene Vorzeichen ergeben einen negativen Quotienten.

      $$\mathsf{(-42):7=-6}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Prüfe durch Multiplikation.

      $$\mathsf{7\cdot(-6)=-42}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      b) Gleiche Vorzeichen ergeben einen positiven Quotienten.

      $$\mathsf{(-42):(-7)=6}$$

      $$\mathsf{(-7)\cdot6=-42}$$
   4. Schritt 4 · Erklärung

      c) Division durch 0 ist nicht definiert. Die Multiplikationsprobe kann für keine Zahl gelingen:

      $$\mathsf{0\cdot x=12}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a) Quotient
      $\mathsf{-6}$
   2. a) Multiplikationsprobe
      $\mathsf{7 \cdot (-6) = -42}$
   3. b) Quotient
      6
   4. b) Multiplikationsprobe
      $\mathsf{(-7) \cdot 6 = -42}$
   5. c) Urteil
      nicht definiert
   6. c) Begründung
      Keine Zahl $\mathsf{x}$ erfüllt $\mathsf{0\cdot x=12}$.
9. 09
   Aufgabe 9Negative Zahlen · TransferBerechne $\mathsf{-2 \cdot (3 - 8) + (-6)}$. Zeige die Reihenfolge in drei Zeilen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • Klammer vor Punkt vor Strich.

   Rechenweg

   Ergebnis
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Berechne zuerst die Klammer.

      $$\mathsf{3-8=-5}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Führe dann die Multiplikation aus.

      $$\mathsf{(-2)\cdot(-5)=10}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Addiere zum Schluss die negative Zahl.

      $$\mathsf{10+(-6)=4}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Rechenweg
      $\mathsf{3-8=-5}$$\mathsf{(-2)\cdot(-5)=10}$$\mathsf{10+(-6)=4}$
   2. Ergebnis
      4
10. 10
    Aufgabe 10Negative Zahlen · TransferIn einem Spiel zeigt dein Punktekonto $\mathsf{-12}$ Punkte. Eine Runde bringt $\mathsf{+7}$ Punkte, die nächste $\mathsf{-4}$ Punkte. Berechne den neuen Stand. Wie viele Pluspunkte brauchst du anschließend genau, um 0 zu erreichen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

    Gegeben

    • Start −12; Änderungen +7 und −4; Ziel 0.

    Rechenweg

    Neuer Stand mit Einheit

    Benötigte Pluspunkte
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

       Addiere die Punkte der ersten Runde.

       $$\mathsf{-12+7=-5}$$
    2. Schritt 2 · Erklärung

       Addiere die Änderung der zweiten Runde.

       $$\mathsf{-5+(-4)=-9}$$
    3. Schritt 3 · Erklärung

       Der neue Stand ist −9 Punkte. Zum Ausgleich fehlen 9 Pluspunkte.

       $$\mathsf{-9+9=0}$$

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Rechenweg
       $\mathsf{-12+7=-5}$$\mathsf{-5+(-4)=-9}$$\mathsf{-9+9=0}$
    2. Neuer Stand mit Einheit
       $\mathsf{-9}$ Punkte
    3. Benötigte Pluspunkte
       9