Verteilung · Erklären & üben

Geometrische Verteilung

Die geometrische Verteilung beschreibt, wie lange du bei unabhängigen Wiederholungen auf den ersten Erfolg wartest. Hier zählt X alle Versuche einschließlich des erfolgreichen Versuchs.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bis zum ersten Erfolg

Jeder Versuch gelingt mit derselben Wahrscheinlichkeit p. Die Versuche sind unabhängig. X zählt den erfolgreichen Versuch mit; seine Werte beginnen bei 1. Es wird vorausgesetzt, dass p größer als 0 und höchstens 1 ist. Bei $\mathsf{p=1}$ gelingt bereits der erste Versuch sicher.

Definiere den Erfolg.
Prüfe Unabhängigkeit und unveränderte Erfolgswahrscheinlichkeit.
Lege fest, ob alle Versuche oder nur Misserfolge gezählt werden.

$\mathsf{X\in\{1,2,3,\ldots\},\qquad0<p\leq1}$

Folge MME und Faktoren0,8;0,8;0,2 für p0,2.

So geht es am Beispiel

Ein unabhängiger Versuch gelingt mit Wahrscheinlichkeit 0,2. Der erste Erfolg tritt im dritten Versuch ein. Welche Folge ist dazu nötig?

Zuerst müssen zwei Misserfolge auftreten; dann ein Erfolg.

Die Folge lautet M–M–E.

\mathsf{P(X=3)=0{,}8^2\cdot0{,}2=0{,}128}

Erklärung 02

Einzelwert und angesammelte Chance

Für den ersten Erfolg im k-ten Versuch müssen zuerst k minus 1 Misserfolge auftreten. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion multipliziert diese Chancen mit p. „Später als k“ bedeutet k Misserfolge. Das Gegenereignis liefert die Verteilungsfunktion an ganzzahligen Grenzen. Bei nicht ganzzahligen x bleibt sie bis zum nächsten möglichen Wert konstant.

Zähle die Misserfolge vor dem Erfolg.
Nutze für höchstens k das Gegenereignis X größer als k.

$\mathsf{P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad F(k)=1-(1-p)^k\quad(k\geq1,\ 0<p<1)}$

Kumulative Chancen0,2;0,36;0,488 gegenüber Massen0,2;0,16;0,128.

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{p=0{,}2}$ : Wie wahrscheinlich gelingt der erste Erfolg spätestens im dritten Versuch?

\mathsf{P(X>3)=0{,}8^3=0{,}512}

\mathsf{P(X\leq3)=1-0{,}512=0{,}488}

Erklärung 03

Zählkonvention und Kennwerte

Für X mit Startwert 1 ist der Erwartungswert der Kehrwert von p. Die Varianz misst die Streuung der Versuchszahl. Zählt Y nur die Misserfolge vor dem ersten Erfolg, beginnt Y bei 0 und ist um 1 kleiner als X. Der Mittelwert verschiebt sich um 1; die Varianz bleibt gleich.

Benenne zuerst die Zählkonvention.
Setze p in die passende Erwartungswertformel ein.
Ändere bei einer Verschiebung nicht die Varianz.

$\mathsf{E(X)=\frac1p,\quad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{1-p}{p^2},\quad Y=X-1}$

So geht es am Beispiel

Für $\mathsf{p=0{,}25}$ werden entweder alle Versuche X oder nur die Misserfolge Y gezählt. Bestimme die beiden Erwartungswerte und die Varianz.

\mathsf{E(X)=\frac1{0{,}25}=4}

\mathsf{E(Y)=4-1=3}

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\operatorname{\textsf{Var}}(Y)=\frac{0{,}75}{0{,}25^2}=12}

Erklärung 04

Wann das Modell nicht passt

Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich die Chancen. Dieses Experiment ist im Allgemeinen nicht geometrisch verteilt. Für eine feste Stichprobengröße und die Anzahl gezogener Treffer führt das Thema Hypergeometrische Verteilung weiter. Auch ein erzwungener Erfolg nach einer festen Höchstzahl passt nicht zur unbegrenzten geometrischen Wartezeit.

Prüfe, ob frühere Versuche die nächste Chance ändern.
Prüfe, ob eine feste Abbruchgrenze das Modell verändert.

Eine lange erfolglose Folge macht den nächsten unabhängigen Erfolg nicht wahrscheinlicher.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Geometrische Verteilung · EinstiegEin Versuch gelingt unabhängig mit $\mathsf{p=0{,}4}$ . X zählt Versuche bis zum ersten Erfolg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sofort und für den ersten Erfolg im zweiten Versuch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Versuch
Erst im zweiten Versuch
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(X=1)=0{,}4}$
  $\mathsf{P(X=2)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Versuch $\mathsf{0{,}4}$
2. Erst im zweiten Versuch $\mathsf{0{,}24}$
02
Aufgabe 2Geometrische Verteilung · EinstiegEin unabhängiger Versuch gelingt mit $\mathsf{p=0{,}3}$ . Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Versuche nötig sind, und die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Versuche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mehr als 3 Versuche
Höchstens 3 Versuche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(X>3)=0{,}7^3=0{,}343}$
  $\mathsf{P(X\leq3)=1-0{,}343=0{,}657}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mehr als 3 Versuche $\mathsf{0{,}343}$
2. Höchstens 3 Versuche $\mathsf{0{,}657}$
03
Aufgabe 3Geometrische Verteilung · AnwendenZeichne für $\mathsf{p=0{,}5}$ die Wahrscheinlichkeiten des ersten Erfolgs in Versuch 1,2,3,4 in die Vorlage. Gib auch die Wahrscheinlichkeit an, dass mehr als 4 Versuche nötig sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vier eingezeichnete Massen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vier eingezeichnete Massen
Nicht dargestellter Rest
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede weitere Einzelwahrscheinlichkeit halbiert sich.
  $\mathsf{P(X=1)=\frac12,\quad P(X=2)=\frac14}$
  $\mathsf{P(X=3)=\frac18,\quad P(X=4)=\frac1{16}}$
  $\mathsf{P(X>4)=\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vier eingezeichnete MassenHöhen 0,5;0,25;0,125;0,0625.
2. Nicht dargestellter Rest $\mathsf{\frac1{16}=0{,}0625}$
04
Aufgabe 4Geometrische Verteilung · AnwendenBei $\mathsf{p=0{,}2}$ zählt X alle Versuche bis zum Erfolg und Y nur die Misserfolge davor. Berechne beide Erwartungswerte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartete Versuchszahl
Erwartete Misserfolgszahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=\frac1{0{,}2}=5}$
  $\mathsf{E(Y)=E(X)-1=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartete Versuchszahl5 Versuche
2. Erwartete Misserfolgszahl4 Misserfolge
05
Aufgabe 5Geometrische Verteilung · TransferFür X mit Startwert 1 und $\mathsf{p=0{,}5}$ : Berechne die Varianz und die Standardabweichung. Runde die Standardabweichung auf zwei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Varianz
Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{0{,}5}{0{,}5^2}=2}$
  $\mathsf{\sigma=\sqrt2\approx1{,}41}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Varianz $\mathsf{2}$
2. StandardabweichungEtwa 1,41 Versuche
06
Aufgabe 6Geometrische Verteilung · TransferEin Spiel gelingt in jedem unabhängigen Versuch mit Wahrscheinlichkeit 0,2. Nach vier Misserfolgen meint jemand: „Jetzt ist ein Erfolg wahrscheinlicher.“ Beurteile die Aussage und nenne die nächste Erfolgswahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Nächste Erfolgswahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Unabhängigkeit bedeutet, dass frühere Misserfolge die Chance des nächsten Versuchs nicht ändern.
  $\mathsf{P(\textsf{Erfolg im naechsten Versuch}\mid\textsf{vier Misserfolge})=0{,}2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. BeurteilungFalsch unter den Modellannahmen; es gibt keinen erzwungenen Ausgleich.
2. Nächste Erfolgswahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}2}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich nenne meine Zählkonvention.
Ich unterscheide genau k, höchstens k und später als k.
Ich prüfe unabhängige Wiederholungen mit konstanter Chance.

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